Тема №17. Четырёхугольники

05 Свойства трапеции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#48619Максимум баллов за задание: 1

В трапеции $ABCD$ $AB = CD, ∠BDA = 22∘$ и $∠BDC =45∘.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$AB = CD,$ значит, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Так как углы при основании равнобедренной трапеции равны, то

∠BAD = ∠CDA = ∠BDC + ∠BDA = 45∘ +22∘ = 67∘

$PIC$

В треугольнике $ABD$ по теореме о сумме углов треугольника

∠ABD = 180∘− ∠BDA − ∠BAD = 180∘ − 22∘− 67∘ = 91∘

Ответ: 91

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#57249Максимум баллов за задание: 1

Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O, BC = 6, AD = 14, AC = 30.$ Найдите $AO.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AO = x.$ Тогда $CO =30 − x.$

Рассмотрим треугольники $BCO$ и $DAO.$ В них $∠BCO = ∠DAO$ как накрест лежащие при $BC ∥AD$ и секущей $AC,$ $∠BOC = ∠DOA$ как вертикальные. Тогда треугольники $BCO$ и $DAO$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

BC- = OC- AD AO -6 = 30−-x 14 x 3 30-− x 7 = x 3x= 210− 7x 10x =210 x= 21

Тогда $AO = 21.$

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#77269Максимум баллов за задание: 1

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD,$ $∠BDA = 35∘$ и $∠BDC = 58∘.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$BCAD$

Показать ответ и решение

Найдем угол $ADC :$

∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = ∘ ∘ ∘ = 35 +58 =93 .

Так как трапеция равнобокая, то $∠BAD$ также равен $93∘.$ По сумме углов в треугольнике $BAD$ найдём величину угла $ABD :$

∠ABD = 180∘ − ∠BAD − ∠BDA = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 93 − 35 =52

Ответ: 52

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#104713Максимум баллов за задание: 1

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD,$ $∘ ∠BDA = 14$ и $∘ ∠BDC = 106.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для равнобедренной трапеции имеем:

∠BAD = ∠CDA = ∠BDA +∠BDC = =106∘+ 14∘ = 120∘

$PIC$

По сумме углов треугольника $ABD$ получаем

∠ABD = 180∘− ∠BAD − ∠ADB = = 180∘− 120∘ − 14∘ = 46∘

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#92682Максимум баллов за задание: 1

Дана трапеция $ABCD$ с прямым углом $C.$ Известно, что $∠BDC =45∘,$ $∠ABC = 135∘$ и $AD = 30.$ Найдите $BC.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $BCD.$ В нем $∠BCD = 90∘,$ $∠CDB = 45∘.$ Тогда $∠CBD = 45∘.$ Следовательно, треугольник $BCD$ — равнобедренный, то есть $BC =CD.$

$PIC$

Значит,

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 135∘− 45∘ = 90∘.

По условию $ABCD$ — трапеция и $∠BCD = 90∘,$ следовательно, $∠CDA = 90∘.$ Тогда

∘ ∘ ∘ ∠BDA = ∠CDA − ∠CDB =90 − 45 = 45 .

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $∠ABD =90∘,$ $∠BDA = 45∘.$ Тогда $∠BAD = 45∘.$ Следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный, то есть $AB = BD.$