Тема №17. Четырёхугольники

06 Площади четырёхугольников

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#22462Максимум баллов за задание: 1

Боковая сторона трапеции равна 10, а угол между ней и большим основанием равен $∘ 30 .$ Найдите площадь трапеции, если её основания равны 6 и 18.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем высоту $BH.$ Тогда треугольник $ABH$ – прямоугольный, причем $∘ ∠BAH =30 .$ Тогда катет, противолежащий углу $30∘$ равен, половине гипотенузы, то есть

BH = 10= 5 2

Тогда площадь трапеции можно найти по формуле

SABCD = 1⋅(AD + BC) ⋅BH = 1(18+ 6)⋅5= 60 2 2

Ответ: 60

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#22463Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 9 и 72, одна из боковых сторон равна 30, а синус угла между ней и одним из оснований равен $5 9.$ Найдите площадь трапеции.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH.$

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть

sin ∠BAH = BH-- ⇔ BH = AB ⋅sin∠BAH = 30⋅ 5 = 50 AB 9 3

Тогда площадь трапеции можно найти по формуле

SABCD = 1⋅(AD + BC)⋅BH = 1(72+ 9)⋅ 50= 675 2 2 3

Ответ: 675

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#37288Максимум баллов за задание: 1

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 21 и 6.

Показать ответ и решение

Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно,

1 S = 2 ⋅21⋅6 =63

Ответ: 63

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#38711Максимум баллов за задание: 1

Периметр квадрата равен 68. Найдите площадь этого квадрата.

Показать ответ и решение

Все четыре стороны квадрата равны между собой, поэтому длина одной стороны равна

68 a = 4 = 17

Тогда площадь квадрата равна

a2 = 17⋅17 =289

Ответ: 289

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#43934Максимум баллов за задание: 1

Сторона ромба равна 5, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем высоту $KM$ через точку $O$ пересечения диагоналей ромба $ABCD.$ Рассмотрим треугольники $AOM$ и $COK.$

1.: $AO = OC,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠OAM = ∠OCK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC.$
3.: $∠AOM = ∠COK$ как вертикальные.

$PIC$

Тогда треугольники $AOM$ и $COK$ равны по стороне и прилежащим к ней двум углам. $OM = OK$ как соответственные элементы равных треугольников.

Так как $OK ⊥BC,$ $OM ⊥ AD$ и $AD ∥BC,$ то $OM ⊥ BC.$ Прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны, значит, точки $O, K, M$ лежат на одной прямой, то есть $KM$ — высота ромба.

KM = OK +OM = 2+ 2= 4

Площадь параллелограмма (ромб — частный случай параллелограмма) равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = KM ⋅AD = 5⋅4= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#45462Максимум баллов за задание: 1

Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между ними равен $30∘.$ Найдите площадь этого параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, то

1 ∘ 1 S = 2 ⋅7⋅24⋅sin30 = 7⋅12 ⋅2 = 42

Ответ: 42

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#46316Максимум баллов за задание: 1

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 92. Точка $E$ — середина стороны $AB.$ Найдите площадь трапеции $DAEC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — середина $CD.$ Так как $AB = CD$ по свойству параллелограмма, то $AE = BE =CK = KD.$ $AB ∥ CD,$ значит, по признаку параллелограмма $BEKC,$ $AEKD,$ $AECK$ — параллелограммы.

$PIC$

Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника равной площади, поэтому

SBCE = SCEK SCEK = SAEK SAEK = SKAD

Тогда

1 3 3 SBEC = 4SABCD ⇒ SDAEC = 4 SABCD = 4 ⋅92= 69

Ответ: 69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#54124Максимум баллов за задание: 1

Две стороны параллелограмма равны 10 и 12, а один из углов этого параллелограмма равен $30∘.$ Найдите площадь этого параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними:

∘ 1 S = 10 ⋅12 ⋅sin30 = 120⋅2 = 60

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#77263Максимум баллов за задание: 1

Сторона квадрата равна $√- 5 3.$ Найдите площадь этого квадрата.

Показать ответ и решение

Площадь квадрата можно найти по формуле $S = x2,$ где $x$ — длина его стороны. Таким образом, площадь квадрата со стороной $√ - 5 3$ равняется

( √-)2 S = 5 3 = 25⋅3 =75

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#77264Максимум баллов за задание: 1

Периметр квадрата равен 44. Найдите площадь этого квадрата.

Показать ответ и решение

Периметр квадрата в четыре раза длиннее его стороны. Таким образом, сторона квадрата из условия равна $44:4= 11.$ Площадь квадрата можно найти по формуле $S =x2,$ где $x$ — длина его стороны. Значит, площадь квадрата равняется

S = 112 = 121

Ответ: 121

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#98352Максимум баллов за задание: 1

Периметр квадрата равен 32. Найдите площадь этого квадрата.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Периметр это сумма длин всех сторон. Пусть длина одной стороны квадрата равна $a.$ Тогда $a+ a+ a+ a= 4a =32,$ то есть $a= 8.$ Мы нашли сторону, но нужно найти площадь. Площадь квадрата — это квадрат стороны. Тогда наш ответ равен $8 ⋅8 = 64.$