Тема 19. Анализ геометрических высказываний

19.01 Анализ геометрических высказываний

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела анализ геометрических высказываний

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27492

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2.: Основания равнобедренной трапеции равны.
3.: Все высоты равностороннего треугольника равны.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1) Центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне этого треугольника.

2) В равнобедренной трапеции равны боковые стороны, основания равны не всегда.

3) Высоты в равностороннем треугольнике равны, значит, верно третье утверждение.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28210

Какое из следующих утверждений верно?

1) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

2) В параллелограмме есть два равных угла.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1) Расстояние между точкой на окружности и центром окружности равно радиусу этой окружности, значит, точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей только тогда, когда радиусы этих окружностей равны. Следовательно, первое утверждение ложно.

2) По свойству параллелограмма противоположные углы параллелограмма равны, значит, в параллелограмме есть два равных угла. Следовательно, второе утверждение верно.

3) Площадь прямоугольного треугольника по формуле площади треугольника через высоту равна половине произведения катетов. Значит, третье утверждение ложно.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37289

Какие из следующих утверждений верны?

1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

2) Все диаметры окружности равны между собой.

3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать ответ и решение

Верны утверждения 2 и 3.

Утв. 1: Диагонали делятся точкой пересечения пополам у параллелограмма, а не у трапеции.

Утв. 2: Каждый диаметр равен удвоенному радиусу окружности, значит, все диаметры равны между собой.

Утв. 3: Если в треугольнике нет угла, который не превышает $∘ 60 ,$ то все углы треугольника больше $∘ 60 ,$ значит, сумма углов этого треугольника больше $3 ⋅60∘ = 180∘.$ Противоречие. Следовательно, в треугольнике всегда есть угол, который не превышает $60∘.$

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38712

Какие из следующих утверждений верны?

1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать ответ и решение

Утверждение 1 неверно, не хватает условия равенства углов, заключенных между равными сторонами.

Утверждение 2 верно.

Утверждение 3 тоже верно по неравенству треугольника.

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40190

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то это квадрат.
2.: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3.: Смежные углы всегда равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Нет, т.к. по признаку квадрата необходимо еще, чтобы диагонали делились точкой пересечения пополам.
2.: Да. Сумма углов треугольника равна $180∘.$ Если в треугольнике один угол равен $90∘,$ то сумма двух других равна $180∘− 90∘ = 90∘.$
3.: Нет, т.к. по свойству смежных углов их сумма равна $180∘,$ но они не обязательно равны

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41480

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2.: Основания равнобедренной трапеции равны.
3.: Все высоты равностороннего треугольника равны.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе треугольника, центр описанной около тупоугольного прямоугольника окружности лежит вне треугольника, поэтому это утвержедние неверно.
2.: У равнобедренной трапеции равны боковые стороны, поэтому это утверждение неверно.
3.: Все высоты равностороннего треугольника равны, поэтому это увтерждение верно.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#42119

Какие из следуюших утверждений верны?

1.: Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2.: Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3.: Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать ответ и решение

1.: Так как квадрат — частный случай прямоугольника, то это утверждение неверно.
2.: По свойствву параллелограмма противоположные стороны параллелограмма равны. Так как дано, что равны соседние стороны, то в параллелограмме равны все стороны. Значит, это ромб по определению, то есть утверждение верно.
3.: Длина диаметра равна удвоенному радиусу. Значит, все длины диаметров равны, то есть утверждение верно.

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#42339

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Тангенс любого острого угла меньше единицы.
2.: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3.: Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Неверно, например, $∘ √ - tg60 = 3> 1.$
2.: Неверно. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
3.: Верно по свойству серединного перпендикуляра.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42500

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
2.: Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
3.: Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Верно.
2.: Неверно, легко нарисовать контрпример.
3.: Неверно, косинус угла — это, наоборот, отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42859

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
2.: Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
3.: Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

В ответ запишите номер выбранного утверждения

Показать ответ и решение

1.: Если угол острый, то смежный с ним угол является тупым, поэтому это утверждение неверно.
2.: По свойсту ромба если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом, поэтому это увтерждение верно.
3.: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому это утверждение неверно.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#43611

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Боковые стороны любой трапеции равны.
2.: Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
3.: Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Боковые стороны равны у равнобедренной трапеции, поэтому первое утверждение неверно.
2.: Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон, значит, это утверждение верно.
3.: Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности — середина гипотенузы, а центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. Значит, это утверждение неверно.

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#43936

Какие из следующих утверждений верны?

1. Все высоты равностороннего треугольника равны.

2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3. В любой ромб можно вписать окружность.

Показать ответ и решение

1.: В равностороннем треугольнике все высоты равны, поэтому это утверждение верно.
2.: Угол вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу, поэтому это утверждение неверно.
3.: Так как у ромба все стороны равны, то суммы противоположных сторон равны. По признаку описанного четырёхугольника в ромб можно вписать окружность, поэтому это утверждение верно.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#44279

Какие из следующих утверждений верны?

1.: Основания любой трапеции параллельны.
2.: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
3.: Все углы ромба равны.

В ответ запишите номера выбраннных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать ответ и решение

1.: Основания любой трапеции параллельны по определению, поэтому это утверждение верно.
2.: Это аксиома планиметрии, поэтому это утверждение верно.
3.: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, поэтому это утверждение неверно.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45340

Какое из следующих утверждений верно?

1.: У любой трапеции боковые стороны равны.
2.: Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
3.: Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Боковые стороны равны только у равнобедренной трапеции, поэтому это утверждение неверно.
2.: Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Так как ромб — частный случай параллелограмма, то это утверждение верно.
3.: Равнобедренный треугольник может быть и остроугольным, и прямоугольным, и тупоугольным, поэтому это утверждение неверно.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#45464

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2.: Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3.: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Это первый признак подобия треугольников, поэтому первое утверждение верно.
2.: Это утверждение неверно, так как если центры окружностей расположены на достаточно большом расстоянии друг от друга, то окружности не пересекаются.
3.: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, поэтому это утверждение неверно.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#45679

Какое из следующих утверждений неверно?

1.: Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
2.: Все равносторонние треугольники подобны.
3.: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Показать ответ и решение

1.: Через заданную точку плоскости можно провести бесконечное число прямых, поэтому это утверждение неверно.
2.: В равностороннем треугольнике все углы по $60∘.$ Тогда все равносторонние треугольники будут подобны по двум углам. Значит, это утверждение верно.
3.: Сумма углов треугольника равна $180∘,$ поэтому сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $180∘− 90∘ = 90∘.$ Значит, это утверждение верно.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#46326

Какие из следующих утверждений верны?

1.: Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2.: Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3.: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать ответ и решение

1.: Площадь треугольника равна половине произведения сторон треугольника на синус угла между ними: $1 S = 2ab⋅sin α$
Так как $sin α≤ 1,$ то площадь треугольника не больше, чем половина произведения его сторон. Значит, это утверждение верно.
2.: Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, это утверждение неверно.
3.: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой, притом только одну. Значит, данное утверждение верно.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#46936

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2.: Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3.: Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

В ответ запишите номер выбраннного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: Это первый признак подобия треугольников, поэтому данное утверждение верно.
2.: Сумма углов любого треугольника равна $180∘,$ поэтому это утверждение неверно.
3.: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Биссектриса, проведенная к боковой стороне является медианой только в равностороннем треугольнике. Значит, это утверждение неверно.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#46986

Какое из следующих утверждений верно?

1.: Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
2.: Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3.: Основания любой трапеции параллельны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать ответ и решение

1.: По неравенству треугольника длина любой стороны меньше суммы двух других его сторон. Так как $1+ 2< 4,$ то такого треугольника не существует. Значит, данное утверждение неверно.
2.: Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, поэтому это утверждение неверно.
3.: По определению основания трапеции параллельны, поэтому это утверждение верно.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#48621

Какие из следующих утверждений верны?

1.: Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
2.: Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
3.: Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать ответ и решение

1.: Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности. По определению радиуса данное утверждение верно.
2.: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Значит, это утверждение неверно.
3.: Так как $1 +2 < 4,$ то по неравенству треугольника такого треугольника не существует. Значит, это утверждение верно.

Ответ: 13

Предыдущий раздел

Следующий раздел