Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

03 Уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#41981Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $|2− 5x|= 16.$

Показать ответ и решение

[ |2− 5x|= 16 ⇔ 2 − 5x = 16 2 − 5x = −16

Решим совокупность уравнений:

$pict$

Ответ:

$− 2,8; 3,6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#41983Максимум баллов за задание: 2

Найдите целочисленные решения уравнения $x2− 3x− |x − 2|+ 1= 0.$

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 x2 − 3x − (x − 2)+ 1, если x − 2≥ 0 x − 3x− |x − 2|+ 1= x2 − 3x +(x − 2)+ 1, если x − 2< 0

Тогда при $x≥ 2$ уравнение примет вид

2 x − 3x − (x− 2)+ 1= 0 x2− 3x− x+ 2+ 1 =0 x2− 4x+ 3= 0 2 D = 16− 4⋅3= 4 = 2 x1,2 = 4±-2 2 x1 = 3 x2 = 1 — не соответствует условию x≥ 2

Таким образом, $x = 3$ — целочисленное решение уравнения.

Рассмотрим случай $x < 2:$

x2− 3x+ x− 2+ 1 =0 x2− 2x− 1= 0 ( √-)2 D = 4+ 4 ⋅1 = 8= 2 2 √- x1,2 = 2±-2-2- √- 2 x1 =1 + 2 — не соответствует условию x< 2 x2 = 1− √2

$√ - x= 1 − 2$ не является целочисленным решением, поэтому ответ: $x = 3.$

Ответ: 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#41984Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $|x − 2|+ 3x= |x− 5|+ 18.$

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

|x − 2|+ 3x =|x− 5|+ 18 |x− 2|+ 3x− |x − 5|− 18= 0

Найдем нули модулей:

1. $|x − 2|= 0 ⇔ x = 2;$

2. $|x − 5|= 0 ⇔ x = 5.$

Раскроем модули:

( |{ (x − 2)+ 3x= (x− 5)+ 18, если x ≥5 |x− 2|+ 3x− |x − 5|− 18= (x − 2)+ 3x= − (x − 5)+ 18, если 2 ≤ x< 5 |( −(x− 2)+3x = −(x− 5)+ 18, если x< 2

Рассмотрим случай $x ≥ 5:$

x − 2+ 3x− x+ 5− 18= 0 3x =15 x =5

Рассмотрим случай $2 ≤ x< 5:$

x − 2+ 3x+ x− 5− 18= 0 5x =25 x = 5 — не соответствует условию 2≤ x< 5

Рассмотрим случай $x < 2:$

−x +2 +3x +x − 5− 18 = 0 3x =21 x= 7 — не соответствует условию x <2

Таким образом, $x = 5$ — единственный корень уравнения.

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#41985Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $|1− x|+ 4x= |x|+ 15.$

Показать ответ и решение

Так как $|1− x|= |x − 1|,$ то можем преобразовать уравнение

|1− x|+ 4x= |x|+ 15 |x − 1|+ 4x− |x|− 15 =0

Найдем нули модулей:

1. $|x − 1|= 0 ⇔ x = 1;$

2. $|x|= 0 ⇔ x = 0.$

Раскроем модули:

( |{(x− 1)+ 4x− x− 15, если x ≥ 1 |x− 1|+4x − |x|− 15 = − (x − 1)+ 4x− x − 15, если 0≤ x< 1 |(− (x − 1)+ 4x+ x − 15, если x< 0

Рассмотрим случай $x ≥ 1:$

x− 1+ 4x− x − 15 =0 4x =16 x =4

Рассмотрим случай $0 ≤ x< 1:$

− x+ 1+ 4x− x− 15= 0 2x =14 x = 7 — не соответствует условию 0≤ x< 1

Рассмотрим случай $x < 0:$

− x+ 1+ 4x+ x− 15= 0 4x =14 x = 14 4 x = 3,5 — не соответствует условию x< 0

Значит, решением уравнения является $x= 4.$

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#41986Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $|x2+ 2x+ 3|= 3x+ 45.$

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение совокупности:

2 x − x− 42= 0 2 D = 1+ 4⋅42= 169= 13 x1,2 = 1-±13 2 x1 = 7 x2 = −6

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 5x+ 48= 0 D = 25 − 4 ⋅48 < 0 ⇒ уравнение не имеет корней

Вернемся к системе:

( [ |{ x= 7 [ x= −6 ⇔ x = 7 |( x≥ −15 x = −6

Ответ:

$− 6; 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#41987Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $|x +3|= |2x2 +x − 5|.$

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение совокупности:

2 2x − 8= 0 x2− 4= 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

x2− 4= 0 (x− 2)(x +2)= 0 [ x= 2 x= −2

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x + 2x − 2= 0 x2+ x− 1= 0 D =1 +4 ⋅1= 5 √- x1,2 = −-1±2-5 √- x1 = -5−-1- 2 √5-+-1 x2 = − 2

Вернемся к совокупности:

⌊ [ x = 2 2x2 − 8 = 0 ||x = −√2 2x2 +2x − 2 = 0 ⇔ |⌈x = -5−21 x = − √5+1 2

Ответ:

$√ - √ - − 2; −-5+-1;--5−-1; 2 2 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2