Тема №22. Графики функций

04 Гиперболы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#124490

Постройте график функции

-4x−-5- y = 4x2− 5x.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

4x2− 5x⁄= 0 x(4x − 5)⁄= 0 x ⁄=0; x⁄= 5 4

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

4x− 5 4x− 5 1 y = 4x2−-5x = x(4x-− 5)-= x.

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−2--|−1-|−0,5-|0,5-|1-|2--| -y--−-0,5--−1---−2---2---1--0,5-

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = 5 ⇒ y = 1= 4. 4 54 5

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy455402−−211−−2121$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$45 16 xy5402−211−y22 = 25x$

Нам подходит только одно положение прямой $y = kx,$ при котором она проходит через выколотую точку $( 5 4) 4;5 .$ Найдем, чему равно $k :$

4= k ⋅ 5 5 4 16 k = 25

Ответ:

${ } k ∈ 16 25$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#124492

Постройте график функции

-6x+-7- y = 6x2+ 7x.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

6x2+ 7x⁄= 0 x(6x + 7)⁄= 0 x ⁄= 0; x⁄= − 7 6

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

6x+ 7 6x+ 7 1 y = 6x2+-7x = x(6x-+7)-= x.

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−2--|−1-|−0,5-|0,5-|1-|2--| -y--−-0,5--−1---−2---2---1--0,5-

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x =− 7 ⇒ y = -1-= − 6. 6 − 76 7

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy−−012−−12−− 67 761212$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$67 36 xy−−012−12−y7622 = 49x$

Нам подходит только одно положение прямой $y = kx,$ при котором она проходит через выколотую точку $( 7 6) − 6;−7 .$ Найдем, чему равно $k :$

6 ( 7) −7 = k⋅ − 6 k = 36 49

Ответ:

${ } k ∈ 36 49$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#58401

Постройте график функции $y = 5−-x+-5-. x2+ 5x$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x2+ 5x ⁄= 0 x(x+ 5)⁄= 0 x⁄= 0; x ⁄= −5

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

y = 5−--x+-5- =5 − 1. x(x +5) x

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|−-6|−-1-|− 1|1-|1-|-6-| |y-|51-|-6--|72-|23-|4-|45-| -----6------------------6--

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = −5 ⇒ y = 5 − 1-=5,2. −5

Тогда $(− 5;5,2)$ — выколотая точка.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$5046713−−−16xy,2651$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции общих точек.

$xyyy((01−155==2)1)5,2 55,2$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−5;5,2),$ значит $m = 5,2.$

Положение 2: прямая $y = m$ совпадает с горизонтальной асимптотой $y = 5,$ значит $m = 5.$

Следовательно, ответ

m ∈ {5;5,2}.

Ответ:

$m ∈ {5;5,2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124504

Постройте график функции

-x−-1 y = −5− x2− x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x2− x ⁄=0 x(x− 1)⁄= 0 x ⁄= 0; x⁄= 1

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

y = −5−--x−-1- =− 5− 1. x(x − 1) x

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|−-2-|−-1|−-1-|-1-|--2--| |y-|−4,5-|−-4|-−23-|−27-|−-5,5-| ----------------------------

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x= 1 ⇒ y = −5− 1 = −6. 1

Тогда $(1;−6)$ — выколотая точка.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$−01−−−−−−12xy6713421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции общих точек.

$xyyy(1(20−1−1−−==))1156−− 56$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ совпадает с горизонтальной асимптотой $y = −5,$ значит $m = − 5.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(1;−6),$ значит $m = − 6.$

Следовательно, ответ

m ∈{− 6;− 5}.

Ответ:

$m ∈ {−6;−5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2