.03 Треугольники и четырёхугольники

Способ 1.

 

Пусть в трапеции угол равен а

Пусть — точка пересечения прямых и точка — середина точка — середина

 

 

По замечательному свойству трапеции точки лежат на одной прямой.

Пусть Тогда

Рассмотрим треугольник По теореме о сумме углов треугольника

Значит,

Тогда треугольник — прямоугольный. Тогда треугольник тоже прямоугольный.

В треугольнике отрезок — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

В треугольнике отрезок — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

Значит,

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3, поэтому

 

Способ 2.

Пусть в трапеции угол равен а

Пусть — середина точка — середина

Пусть тогда

 

Проведем тогда — параллелограмм, так как как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

Проведем тогда — параллелограмм, так как как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

Значит,

как соответственные углы при и секущей

как соответственные углы при и секущей

Рассмотрим треугольник По теореме о сумме углов треугольника

Значит,

Тогда треугольник — прямоугольный.

В треугольнике — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

Значит,