Тема №25. Геометрические задачи повышенной сложности

03 Треугольники и четырёхугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №25. геометрические задачи повышенной сложности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#54962

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Пусть $AD ∩BE = O.$ По условию $BE ⊥AD,$ значит, $∠BOD = 90∘.$ По условию $AD =BE = 96.$

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нём $BO$ — высота и биссектриса. Тогда треугольник $ABD$ равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника, то есть $AB = BD.$ В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой. Значит,

AO = OD = 1AD = 1⋅96= 48 2 2

Так как $AD$ — медиана, то

CD = BD = AB ⇒ BC = 2AB

Продлим медиану $AD$ на её длину: $AD = DK = 96.$ Соединим точки $B$ и $K.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $KDB.$ Так как $AD = DK$ по построению, $BD = DC,$ и $∠BDK = ∠ADC$ как вертикальные, то треугольники $ADC$ и $KDB$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда $∠BKD = ∠CAD$ как соответственные элементы равных треугольников. Значит, $BK ∥AC.$

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ Тогда по свойству биссектрисы

AE- = AB-= 1 EC BC 2

Пусть $AE =x.$ Тогда $EC = 2x$ и $AC =AE +EC =3x.$ Из равенства треугольников $ADC$ и $KDB$ получаем, что $BK = AC = 3x.$

Рассмотрим треугольники $AOE$ и $KOB.$ $∠AOE =∠KOB$ как вертикальные, $∠OAE = ∠OKB.$ Тогда треугольники $AOE$ и $KOB$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

BO-= BK-= 3x = 3 OE AE x

Тогда

3 3 BO = 4 BE = 4 ⋅96 =72 1 1 OE = 4 BE = 4 ⋅96 =24

В треугольнике $ABO$ по теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2 =482+ 722 = 62⋅82+ 82⋅92 = 2 2 2 2 √ -- = 8(36+ 81)= 8 ⋅117 = 8 ⋅3 ⋅13 ⇒ AB = 24 13

Найдём $BC :$

√ -- √-- BC = 2AB =2 ⋅24 13= 48 13

В треугольнике $AOE$ по теореме Пифагора

AE2 =AO2 + OE2 = 482+ 242 = 242 ⋅22 +242 = ( ) √- = 242 22+ 1 = 242⋅5 ⇒ AE = 24 5

Тогда

AC = 3AE = 3 ⋅24√5-= 72√5

Ответ:

$√-- √ -- √- 24 13; 48 13; 72 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105138

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO5√5√5151010513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅20= 10. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅20= 5

Следовательно,

BO = BE − OE = 20− 5= 15.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 102 +152 = = √100+-225= √325-= 5√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AE = AO2 +OE2 = 102+ 52 = √------- √ --- √- = 100+ 25= 125 = 5 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 20 AO = 10= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx211x00$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 20 =5 4 4 BO = 3OE = 15

$√√ -- ABCDEO551010515 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 102 +152 = = √100+-225= √325-= 5√13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 10 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- EA = AO2 +EO2 = 102+ 52 = = √100+-25= √125-= 5√5.

Таким образом, $√- x = EA = 5 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 15 5.

Ответ:

$√ -- √ -- √- 5 13; 10 13; 15 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105144

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K.$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 19,$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 7.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Опустим из точки $K$ перпендикуляр $KH$ на сторону $AB.$ По условию расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 7, то есть $KH = 7.$

Проведем высоту параллелограмма $MN$ к стороне $BC,$ проходящую через точку $K.$

$17ABCDHMN9K$

Рассмотрим треугольники $△ AHK$ и $△ ANK.$ В них $∠AHK = 90∘ = ∠ANK,$ так как $KH ⊥ AB$ и $KN ⊥ AD,$ следовательно, треугольники $△ AHK$ и $△ ANK$ — прямоугольные.

В прямоугольных треугольниках $△ AHK$ и $△ ANK$ равны углы $∠HAK$ и $∠NAK,$ так как $AK$ — биссектриса угла $∠HAN$ , гипотенуза $AK$ — общая. Поэтому прямоугольные треугольники $△ AHK$ и $△ ANK$ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $NK = HK = 7.$

Рассмотрим треугольники $△ HBK$ и $△ MBK.$ В них $∘ ∠BHK = 90 = ∠BMK,$ так как $KH ⊥ AB$ и $KM ⊥BC,$ следовательно, треугольники $△ HBK$ и $△ MBK$ — прямоугольные.

В прямоугольных треугольниках $△ HBK$ и $△ MBK$ равны углы $∠HBK$ и $∠MBK,$ так как $BK$ — биссектриса угла $∠HBM$ , гипотенуза $BK$ — общая. Поэтому прямоугольные треугольники $△ HBK$ и $△ MBK$ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $MK =HK = 7.$

Значит,

MN = KM + KN =7 +7 = 14.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому

SABCD = BC ⋅MN = 19⋅14= 266.

Ответ: 266

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105148

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K.$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 12,$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 9.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Опустим из точки $K$ перпендикуляр $KH$ на сторону $AB.$ По условию расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 9, то есть $KH = 9.$

Проведем высоту параллелограмма $MN$ к стороне $BC,$ проходящую через точку $K.$

$ABCDHNMK192$

Значит,

MN = KM + KN =9 +9 = 18.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому

SABCD = BC ⋅MN = 12⋅18= 216.

Ответ: 216

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105201

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 16 и 34, а основание $BC$ равно 2. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB.$ Найдите площадь трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим середину $AB$ за точку $M.$ Тогда $BM = AM.$ Пусть $DM$ пересекает прямую $BC$ в точке $P.$

$CPDABEM3221332640$

Рассмотрим треугольники $PBM$ и $DAM.$ $∠PBM = ∠DAM$ как накрест лежащие при $PC ∥AD$ и секущей $AB,$ $∠PMB = ∠AMD$ как вертикальные. Тогда треугольники $P BM$ и $DAM$ равны по двум углам и стороне между ними.

Так как $PC ∥ AD,$ то $∠CP D = ∠PDA$ как накрест лежащие при $PC ∥AD$ и секущей $PD.$ Так как $DM$ — биссектриса $∠CDA,$ то

∠CP D = ∠P DA = ∠CDP.

Значит, треугольник $P CD$ — равнобедренный. Тогда

PC = CD = 34.

Из равенства треугольников $P BM$ и $DAM$ $BP = AD$ как соответственные элементы. Тогда

AD =BP = CP − BC = 34− 2= 32.

Проведём прямую $CE,$ параллельную прямой $AB.$ Так как $BC ∥ AE,$ $AB ∥ CE,$ то $ABCE$ — параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма

$pict$

Следовательно,

ED = AD − AE = 32− 2= 30.

По теореме Пифагора для треугольника $CED :$

2 2 2 2 2 CD = CE +ED =16 + 30 = = 256+ 900 = 1156 =342.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $CED$ — прямоугольный, $∘ ∠CED = 90 .$ Тогда чертеж имеет вид:

$322133ABCDPEM2640$

Значит, $CE$ — высота трапеции $ABCD.$ Найдём площадь трапеции:

BC + AD 2+ 32 SABCD = ----2--- ⋅CE = --2--⋅16= 272.

Ответ: 272

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105203

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 24 и 25, а основание $BC$ равно 9. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB.$ Найдите площадь трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим середину $AB$ за точку $M.$ Тогда $BM = AM.$ Пусть $DM$ пересекает прямую $BC$ в точке $P.$

$CPDABEM199227645$

Так как $PC ∥ AD,$ то $∠CP D = ∠PDA$ как накрест лежащие при $PC ∥AD$ и секущей $PD.$ Так как $DM$ — биссектриса $∠CDA,$ то

∠CP D = ∠P DA = ∠CDP.

Значит, треугольник $P CD$ — равнобедренный. Тогда

PC = CD = 25.

Из равенства треугольников $P BM$ и $DAM$ $BP = AD$ как соответственные элементы. Тогда

AD =BP = CP − BC = 25− 9= 16.

$pict$

Следовательно,

ED = AD − AE = 16 − 9 = 7.

По теореме Пифагора для треугольника $CED :$

CD2 = CE2 + ED2 = 242+ 72 = = 576 +49 = 625 = 252.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $CED$ — прямоугольный, $∠CED = 90∘.$ Тогда чертеж имеет вид:

$CPDABEM199227645$

Значит, $CE$ — высота трапеции $ABCD.$ Найдём площадь трапеции:

S = BC-+-AD- ⋅CE = 9+-16⋅24= 300. ABCD 2 2

Ответ: 300

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105314

Углы при одном из оснований трапеции равны $7∘$ и $83∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 11. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $83∘,$ а $∠CDA = 7∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 7∘− 83∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 11, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $83∘,$ а $∠CDA = 7∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$ANDBMCCEKa2a2a2a2bbb−2−2−2aaa$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 83$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =7$ как соответственные углы при $CD ∥MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠M∘EK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 83 − 7 = 90.

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 14.

Значит,

$pict$

Ответ: 25; 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105315

Углы при одном из оснований трапеции равны $39∘$ и $51∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $51∘,$ а $∠CDA = 39∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 39∘ − 51∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $51∘,$ а $∠CDA = 39∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$ANDBMCCEKa2a2a2a2bbb−2−2−2aaa$

a BM = AE = 2.

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 51$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =39$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 51 − 39 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 19.

Значит,

$pict$

Ответ: 22; 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105614

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $41:40,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 18.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$44ABCHFE441001xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 40 AB-= F-B = 41

Пусть $AH = 40y,$ тогда $41⋅AH 41 ⋅40y AB = --40-- = --40---= 41y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 40y 40 cos∠A = AB = 41y = 41

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘---(---)2 = 1 − 40 = 9- 41 41

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 18 R = 2sin∠A-= 2⋅-9-= 41. 41

Ответ: 41

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105615

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $13:12,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$11ABCHFE113223xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 12 AB-= F-B = 13

Пусть $AH = 12y,$ тогда $13⋅AH 13 ⋅12y AB = --12-- = --12---= 13y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 12y 12 cos∠A = AB = 13y = 13

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘---(---)2 = 1 − 12 = 5- 13 13

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 10 R = 2sin∠A-= 2⋅-5-= 13. 13

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38486

Медиана $BM$ и биссектриса $AP$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K,$ длина стороны $AC$ относится к длине стороны $AB$ как $2:3.$ Найдите отношение площади треугольника $AKM$ к площади треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AC = 2x,$ $AB = 3x,$ тогда $AM = MC = x.$ Пусть также $SABC = S.$ Так как медиана треугольника делит его на два равновеликих, то

1 SABM = SCBM = 2S.

Так как биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, прокорциональные прилежащим сторонам, то $BK :MK = AB :AM =3 :1.$ Заметим, что $△ ABK$ и $△ AMK$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A.$ Следовательно, их площади относятся как основания, то есть

SABK :SAMK = 3:1.

Следовательно,

1 1 1 1 SAMK = 4SABM = 4 ⋅2S = 8S.

Следовательно,

SAMK :S = 1:8 = 0,125.

Ответ: 0,125

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40950

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O.$ Точка $F$ принадлежит отрезку $AC.$ Известно, что $BO = 19, DO = 16, AC = 24.$ Найдите $AF,$ если площадь треугольника $FCD$ в три раза меньше площади четырехугольника $ABCD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота. Так как у треугольников $AOD$ и $ABD$ общая высота, проведенная к основаниям $OD$ и $BD$ соответственно, то

SAOD-= OD-= ---OD--- = --16--= 16 SABD BD OB + OD 19+ 16 35

Так как у треугольников $COD$ и $CBD$ общая высота, проведенная к основаниям $OD$ и $BD$ соответственно, то

SCOD-= OD-= ---OD--- = --16--= 16 SCBD BD OB + OD 19+ 16 35

Тогда

SACD = SAOD+SCOD = 16SABD +16SCBD = 16 ⋅(SABD +SCBD )= 16SABCD 35 35 35 35

По условию

-SFCD- = 1 ⇒ SFCD = 1SABCD SABCD 3 3

Тогда

1 1 SFCD-= 136SABCD-= -316 = -35- = 35 SACD 35SABCD 35- 3⋅16 48

С другой стороны,

SFCD-= F-C, SACD AC

так как треугольники $F CD$ и $ACD$ имеют общую высоту, проведенную к основаниям $F C$ и $AC$ соответственно.

Значит,

FC- 35- 35 35 AC = 48 ⇒ FC = 48 ⋅AC = 48 ⋅24= 17,5

Найдем $AF :$

AF = AC − F C = 24 − 17,5= 6,5

Ответ: 6,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#48627

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O.$ Точка $F$ принадлежит отрезку $AC.$ Известно, что $BO =10, DO = 14, AC = 18.$ Найдите $AF,$ если площадь треугольника $FBC$ в четыре раза меньше площади четырехугольника $ABCD.$

Показать ответ и решение

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота. Так как у треугольников $COB$ и $COD$ общая высота, проведенная к основаниям $OB$ и $OD$ соответственно, то

SCOB-= OB- = 10 SCOD OD 14

Пусть $S = 10x. COB$ Тогда $S =14x. COD$

Так как у треугольников $AOB$ и $AOD$ общая высота, проведенная к основаниям $OB$ и $OD$ соответственно, то

S BO 10 SAOB-= OD- = 14 AOD

Пусть $SAOB = 10y.$ Тогда $SAOD = 14y.$

$PIC$

Посчитаем площадь четырёхугольника:

SABCD = SBOC + SCOD +SAOD + SAOB = =10x +14x +10y+ 14y = 24x+ 24y

По условию площадь треугольника $BCF$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $ABC,$ значит,

1 1 SBCF = 4SABCD = 4 ⋅(24x + 24y)= 6x +6y

Найдём площадь треугольника $ABF :$

SABF = SABC − SBCF =SAOB + SBOC − SBCF = = 10y +10x − (6x+ 6y)= 4x+ 4y

У треугольников $ABF$ и $BCF$ общая высота, проведённая к основаниям $AF$ и $CF$ соответственно. Значит,

AF- SABF- 4x-+4y 4(x+-y) 4 2 CF = SBFC = 6x +6y = 6(x+ y) = 6 = 3

Тогда

AC-= AF-+ F-C = 1+ 3 = 5 ⇒ AF = 2AC AF AF AF 2 2 5

Найдем $AF :$

2 2 AF = 5AC = 5 ⋅18= 7,2

Ответ: 7,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#55506

В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ под углом $α.$ Точка $F$ принадлежит отрезку $AC.$ Известно, что $BO = 19, DO = 16, AC = 24.$ Найдите $AF,$ если площадь треугольника $FCD$ в три раза меньше площади четырёхугольника $ABCD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота. Так как у треугольников $AOD$ и $ABD$ общая высота, проведённая к основаниям $OD$ и $BD$ соответственно, то

SAOD-= OD-= ---OD--- = --16--= 16 SABD BD OB + OD 19+ 16 35

Так как у треугольников $COD$ и $CBD$ общая высота, проведённая к основаниям $OD$ и $BD$ соответственно, то

SCOD-= OD-= ---OD--- = --16--= 16 SCBD BD OB + OD 19+ 16 35

Тогда

SACD = SAOD+SCOD = 16SABD +16SCBD = 16 ⋅(SABD +SCBD )= 16SABCD 35 35 35 35

По условию

-SFCD- = 1 ⇒ SFCD = 1SABCD SABCD 3 3

Тогда

1 1 SFCD-= 136SABCD-= -316 = -35- = 35 SACD 35SABCD 35- 3⋅16 48

С другой стороны,

SFCD-= F-C, SACD AC

так как треугольники $F CD$ и $ACD$ имеют общую высоту, проведённую к основаниям $F C$ и $AC$ соответственно.

Значит,

FC- 35- 35 35 AC = 48 ⇒ FC = 48 ⋅AC = 48 ⋅24= 17,5

Найдем $AF :$

AF = AC − F C = 24 − 17,5= 6,5

Ответ: 6,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#45957

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковые стороны равны меньшему основанию $BC.$ К диагоналям трапеции провели перпендикуляры $BH$ и $CE.$ Найдите площадь четырёхугольника $BCEH,$ если площадь трапеции $ABCD$ равна 36.

Показать ответ и решение

Так как $AB = BC = CD$ по условию, то треугольники $ABC$ и $BCD$ — равнобедренные. По свойству равнобедренного треугольника $BH$ — высота и медиана треугольника $ABC,$ то есть $AH = HC;$ $CE$ — высота и медиана треугольника $BCD,$ то есть $BE = ED.$ Так как диагонали равнобедренной трапеции равны, то

AH = HC = 1AC = 1BD = BE = ED 2 2

Пусть $BC =a, AD = b.$ Пусть точка $M$ — середина $AB,$ точка $N$ — середина $CD.$ Тогда в треугольнике $ABC :$ $MH$ — средняя линия, в треугольнике $ACD :$ $HN$ — средняя линия, в треугольнике $ABD :$ $ME$ — средняя линия. По свойству средней линии

1 a MH = 2BC = 2, MH ∥ BC 1 b HN = 2AD = 2, HN ∥AD 1 b ME = 2AD = 2, ME ∥AD

Так как $BC ∥ AD,$ то $MH ∥AD.$ Так как две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны, то точки $M, H, N$ лежат на одной прямой, точки $M, E, N$ лежат на одной прямой. Значит, точки $M, H, E, N$ лежат на средней линии трапеции $ABCD.$ По свойству средней линии $MN ∥ AD ∥BC.$ Значит, $HE ∥BC ∥ AD.$

Найдём $HE :$

HE =ME − MH = b− a = b−-a 2 2 2

$PIC$

Проведём через точку $E$ высоту $KL$ трапеции $ABCD.$ Тогда $∠BKE = ∠ELD = 90∘.$

Рассмотрим треугольники $BKE$ и $DLE.$ $∠KBE = ∠LDE$ как накрест лежащие при параллельных прямых, $∠BEK = ∠DEL$ как вертикальные, $BE =ED.$ Тогда треугольники $BKE$ и $DLE$ равны по двум углам и стороне между ними. Значит, $1 KE =EL = 2KL$ как соответственные элементы равных треугольников.

Найдём площадь трапеции $BCEH :$

b−a SBCEH = BC-+-HE- ⋅KE = a+--2--⋅ 1KL = 2 2 2 b+a2- 1 1 b-+a 1 1 = 2 ⋅2KL = 4 ⋅ 2 ⋅KL = 4SABCD = 4 ⋅36= 9

Ответ: 9

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#45958

В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $√- 24 2$ см и $√- 7 2$ см.

Показать ответ и решение

$EF$ — отрезок, параллельный основаниям $BC$ и $AD$ и делящий $ABCD$ на две трапеции одинаковой площади.

Пусть $AB ∩ CD = K.$ Так как соответственные углы при параллельных прямых равны, то

∠KBC = ∠KEF = ∠KAD

$PIC$

Рассмотрим треугольники $BKC$ и $AKD.$ $∠K$ — общий, $∠KBC = ∠KAD.$ Тогда $△ KBC ∼ △KAD$ по двум углам. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

( )2 ( √- )2 SBKC- = BC- = -7√2- = -49 SAKD AD 24 2 576

Пусть $SBKC = 49x.$ Тогда $SAKD = 576x.$ По условию $SBCFE = SAEFD,$ поэтому

1 SAEFD = SBCFE = 2SABCD = 1 1 527x = 2 (SAKD − SBKC )= 2(576x − 49x)=-2-

Тогда $SEKF = SBKC + SBCFE = 49x+ 527x= 625x. 2 2$

Рассмотрим треугольники $BKC$ и $EKF.$ $∠K$ — общий, $∠KBC = ∠KEF.$ Тогда $△ BKC ∼ △EKF$ по двум углам.

SBKC ( BC )2 ∘ SBKC-- BC SEKF-= EF- ⇒ SEKF- = EF- ⇒ ∘---- √- √- ⇒ 49x-= 7-2- ⇒ 7-⋅√2 = 7-2- ⇒ EF = 25 6252x EF 25 EF

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2