Тема №25. Геометрические задачи повышенной сложности

04 Окружности и многоугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №25. геометрические задачи повышенной сложности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#105690Максимум баллов за задание: 2

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $AC.$ Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию некоторая окружность касается продолжений боковых сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC.$ Значит, она вписана в угол $ABC.$ Тогда центр этой окружности $S$ лежит на биссектрисе угла $ABC.$

$ABCMIS?668$

Треугольник $ABC$ равнобедренный, значит, биссектриса его угла, лежащего напротив основания, то есть биссектриса $BS,$ содержит высоту и медиану этого треугольника. Пусть $BS$ пересекает основание $AC$ в точке $M.$ Тогда $BM ⊥ AC$ и

1 AM = CM = 2AC = 6.

Мы доказали, что $SM ⊥AC,$ а в условии сказано, что окружность касается $AC,$ значит, точка $M$ и есть точка касания, то есть $SM$ — радиус, значит, $SM = 8.$

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC.$ Он является точкой пересечения биссектрис треугольника, значит, лежит на $BM.$ Тогда, так как $BM ⊥ AC,$ отрезок $IM$ — это радиус вписанной окружности.

Тогда $AI$ — биссектриса угла $BAC,$ значит,

1 ∠IAC = 2 ∠BAC.

С другой стороны, $AS$ — биссектриса внешнего угла треугольника $ABC,$ так как по условию окружность вписана во внешний угол треугольника $ABC,$ то есть

∠SAM = 1 (180∘− ∠BAC )= 2 = 90∘− 1∠BAC = 90∘− ∠IAC. 2

Рассмотрим треугольник $IMA.$ У него есть прямой угол $IMA,$ поэтому по сумме углов треугольника

∠AIM = 180∘− ∠IMA − ∠IAC = 90∘− ∠IAC = ∠SAM.

Рассмотрим треугольники $IMA$ и $AMS.$ В них есть прямые углы $IMA$ и $AMS,$ а также равные углы $AIM$ и $SAM.$ Значит, треугольники $IMA$ и $AMS$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

IM AM AM--= SM--.

Следовательно,

AM2-- 62 36 9 IM = SM = 8 = 8 = 2 = 4,5.

Ответ: 4,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#45469Максимум баллов за задание: 2

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM =8$ и $MB = 13.$ Касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC,$ проходит через точку $C$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $CD = x,$ $AD = y.$ Тогда $BD = AD + AM + BM = y+ 21.$

Так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, то $⌣ ∠ACD = 12AC.$ $⌣ ∠ABC = 12AC$ как вписанный угол. Следовательно, $∠ACD = ∠DBC,$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $ACD.$ $∠D$ — общий, $∠ACD = ∠DBC.$ Тогда $△ CBD ∼ △ACD$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

BC- CD- BD- BC- x AC = AD = CD ⇒ AC = y

В треугольнике $ABC$ по свойству биссектрисы

BC-= BM-- ⇒ x = 13 AC AM y 8

По теореме о касательной и секущей

2 2 CD = AD ⋅BD ⇒ x = y⋅(y+ 21)

Составим систему:

{ { x2 = y2+ 21y y = 8x13 x = 13- ⇔ x2 =(8x)2+ 21⋅ 8x y 8 13 13

Решим второе уравнение системы:

(8x)2 8x x2 = 13 +21 ⋅13 169x2 = 64x2 +8 ⋅21 ⋅13x 2 105x = 8⋅21⋅13x 21⋅5x= 8 ⋅21 ⋅13 5x= 8 ⋅13 x = 104-= 20,8 5

Тогда $CD = 20,8.$

Ответ: 20,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#46988Максимум баллов за задание: 2

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM =4$ и $MB = 9.$ Касательная к оркужности, описанной около треугольника $ABC,$ проходит через точку $C$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $CD = x,$ $AD = y.$ Тогда $BD = AD + AM + BM = y+ 13.$

Так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, то $⌣ ∠ACD = 12AC.$ $⌣ ∠ABC = 12AC$ как вписанный угол. Следовательно, $∠ACD = ∠DBC.$

BC- CD- BD- BC- x AC = AD = CD ⇒ AC = y

В треугольнике $ABC$ по свойству биссектрисы

BC- = BM-- ⇒ x= 9 AC AM y 4

По теореме о касательной и секущей

2 2 CD = AD ⋅BD ⇒ x = y⋅(y+ 13)

Составим систему:

{ { x2 = y2+ 13y y = 4x9- x = 9 ⇔ x2 =(4x)2+ 13⋅ 4x y 4 9 9

Решим второе уравнение системы:

(4x)2 4x x2 = -9 +13 ⋅9- 81x2 = 16x2 +4 ⋅13 ⋅9x 2 65x = 4⋅13⋅9x 13 ⋅5x = 4⋅13⋅9 5x = 4⋅9 x= 36-= 7,2 5

Тогда $CD = 7,2.$

Ответ: 7,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2