03 Неравномерное движение - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#28576Максимум баллов за задание: 10

Тело начинает движение из состояния покоя с ускорением $a0$ и далее движется прямолинейно. Из-за действия силы сопротивления воздуха ускорение тела падает с увеличением его скорости $v$ по закону

a v a = --0-0- v +v0

где $v0$ – известная постоянная. Через какое время скорость тела достигнет значения $2v0$ ?

Источники: Росатом, 2018, 9, 11

Показать ответ и решение

Поскольку при прямолинейном движении мгновенное ускорение тела определяется как

vk −-vн Δv- a = Δt = Δt,

где $vk$ и $vн$ – скорость тела в начале и в конце малого интервала времени $Δt$ , то изменение скорости тела за малый интервал времени $Δt$ равно $Δv = aΔt$ . Если просуммировать изменения скорости тела за все малые интервалы времени, на которые можно разбить полное время движения, получится полное изменение скорости, которая из-за равенства нулю начальной скорости равна конечной скорости тела

∑ Δvn ∑ -a--= Δtn, n n n

где $an$ – ускорение тела внутри малого интервала времени $Δtn$ . Подставляя в эту формулу зависимость ускорения от скорости, найдем

1 ∑ ∑ a-v- Δvn(vn + v0) = Δtn 0 0 n n

где $vn$ – значение внутри $n$ -ого интервала времени $Δtn$ . Сумма в правой части дает значение времени $τ$ в тот момент, когда скорость станет равна $2v0$ . Сумма в левой части имеет графический образ как площадь под графиком зависимости $f(v) = v+ v0$

(ср. с вычислением работы переменной силы). Вычисляя эту площадь (см. рисунок), получим

4v τ =--0 a0

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28582Максимум баллов за задание: 10

Муравей несет к месту постройки муравейника соломинку. На рисунке представлен график зависимости обратной скорости $v−1$ от пройденного пути $S$ . Определите среднюю скорость муравья на пути к стройке.

Показать ответ и решение

Разобьем весь график на малые отрезки времени $Δt$ , тогда для каждого из них верно равенство

ΔS- −1 Δt = v = ΔS ⋅v ,

тогда просуммировав их, получим площадь под графиком (относительно нуля).

∑ 4+ 6 3+ 2 Δt = t = -2--2+ 6 ⋅1+ 4⋅1 + -2---⋅2 = 25 с

Тогда средняя скорость равна

vср = S-= 6-м-= 0,24 м/ с t 25 с

В этой задаче ищется площадь именно относительно нуля, а не относительно $2 с/м$ .

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Расписана формула нахождения времени на каждом малом участке	2

Расписана формула нахождения времени на каждом малом участке через обратную скорость	2

Записана формула нахождения всего времени	2

Записана формула нахождения средней скорости	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#28584Максимум баллов за задание: 10

Тело движется вдоль оси $x$ из точки с координатой $x(x > 0)$ . Проекция скорости тела на ось $x$ зависит от его координаты $x$ по закону $vx = cx$ , где $c > 0$ известная постоянная. Через какое время тело окажется в точке с координатой $2x$ ?

Источники: Росатом, 2020, 9

Показать ответ и решение

Движение тела не является ни равномерным, ни равноускоренным. Поэтому готовых соотношений для нахождения времени его попадания в те или иные точки нет. Поэтому будем вычислять время, исходя из определения скорости. Для этого мысленно разобьем траекторию на элементы $Δx 1$ , $Δx 2$ , $Δx 3$ , $...$ – настолько малые, что скорость на каждом из них можно считать постоянной. Тогда время прохождения $n$ -го элемента $Δxn$ равно

Δxn 1 Δtn = v(x--) = cxn Δxn n

где $v(xn)$ – скорость тела в какой-то точке внутри $n$ -го элемента. Поэтому время прохождения участка траектории, лежащего от координаты $x$ до координаты $2x$ определяется суммой времен прохождения всех малых элементов, на которые можно разделить этот участок траектории

1 t = Δt1 + Δt2 + Δt3 + ...= c(x1Δx1 + x2Δx2 + x3Δx3...) (∗)

Сумму в скобках приходится вычислять при вычислении работы силы упругости. И вычисляется она графически. Для ее вычисления нужно построить график зависимости $y = x$ . Тогда сумма (*) равна площади под графиком $y(x)$ между вертикальными прямыми $x$ и $2x$ (показаны на рисунке пунктиром).

Эта фигура представляет собой трапецию с высотой $x$ и основаниями $x$ и $2x$ . Находя площадь этой трапеции, получим

2 t = 3x 2c

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильная идея и обоснование решения – вычисление площади под графиком функции $1∕v(x)$	2

Правильно построен график этой функции	2

Правильно выбраны границы суммирования	3

Правильный ответ	3

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#28588Максимум баллов за задание: 10

Космонавт перемещается вдоль прямой из точки $A$ в точку $B$ . График его движения изображён на рисунке ( $v$ — скорость космонавта, $x$ — его координата). Найдите время движения космонавта из
точки $A$ в точку $B$ .

(Всеросс., 1994, РЭ, 9)

Источники: Всеросс., 1994, ОЭ, 9

Показать ответ и решение

Разобьем весь график на малые отрезки времени $Δt$ , тогда для каждого из них верно равенство

ΔS- −1 Δt = v = ΔS ⋅v ,

тогда просуммировав их, получим площадь под графиком равную полному времени движения

3 + 5 2+ 1 t = 2+ 3 ⋅2+--2--⋅2+ 3 + 2+ 3⋅2 + -2---= 28,5 с

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано, что площадь под графиком численно равна искомому времени, приведено обоснование	5

Предоставлен верный ответ	5

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#28590Максимум баллов за задание: 10

Симба после долгого изучения геометрической оптики решил прогуляться по полю. Но вот незадача, он сейчас находится в точке $A$ и в скором времени ему надо оказаться у своей машины (точка $B$ ), чтобы ее не забрал эвакуатор. По хорошей дороге (участок $BC$ ) он может бежать со скоростью $20 м/ с$ (кот у АВ сейчас находится на спортивном питании). А в поле скорость Симбы снижена до $12 м/ с$ . За какое минимальное время $τ$ он сможет оказаться возле своей машины (точка $B$ )? На каком расстоянии от точки $B$ ( $A ′B$ ) ему лучше всего выбежать на дорогу? $S = 1 км$ , $L = 3 км$ .

Показать ответ и решение

Пусть скорости Симбы по полю и по хорошей дороге равны $v1$ и $v2$ сответственно, а Симба выбегает на хорошую дорогу на расстоянии $x$ от точки $C$ , тогда $′ AA$ равно

√-------- AA ′ = S2 + x2,

а время движения по этому участку

′ √ --2---2- t1 = AA-- = --S--+-x--. v1 v1

Тогда $A ′B$ равен $L − x$ , а время движения по нему

A′B-- L-−-x- t2 = v2 = v2 .

Общее время движения

√S2--+-x2- L − x τ = t1 + t2 =----------+ ------, v1 v2

для нахождения минимума найдем производную по $x$ и приравняем к нулю

1-----2x----- 1- v2 √--2----2 v12√S2--+-x2-− v2 = 0 ⇔ v1x = S + x .

Так как скорости Симбы и величина $x$ положительны, то мы можем возвести в квадрат обе части

v22- 2 2 2 25x2- 2 2 16-2 2 3S- v2x = S + x ⇒ 9 − x = S ⇒ 9 x = S ⇒ x = 4 = 0,75 км. 1

Тогда

∘ ------ 25S2- 3S- 3S- 16 L − 4 5S L − 4 τ = --v-----+ ---v----= 4v--+ ---v---- 1 2 1 2

Подставляя числа из условия

τ = ---5 ⋅ 1-к-м- + 3-км-−-0,-75-км-≈ 0,11805 ч ≈ 216, 6 с 4 ⋅ 43,2 км/ ч 72 км/ ч

Расстояние $A ′B$ равно

′ A B = L − x = 3 км − 0,75 к м = 2,25 км

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Найдено расстояние $′ AA$	2

Найдено время движения на участке $′ AA$	2

Распиано расстояние $A ′B$ и время движения по нему	2

Найдено общее время движения	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10