04 Относительность движения - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#61464Максимум баллов за задание: 10

Школьник бежит по окружности радиусом $R = 30 м$ c постоянной по величине скоростью $u = 3,14 м/ с$ . Второй школьник гонится за ним, стартовав из центра окружности. В процессе погони он все время находится на радиусе, соединяющем центр окружности и первого школьника, а величина его скорости неизменна и равна $v = 2u$ . Сколько времени займёт погоня?

(МОШ, 2008, 10)

Источники: МОШ, 2008, 10

Показать ответ и решение

Обозначим через $ω = u∕R$ угловую скорость движения первого школьника, $r$ - расстояние от второго школьника до центра, $φ$ - угол между направлением скорости второго школьника и радиусом (см. рисунок).

Поскольку составляющая скорости второго школьника, перпендикулярная радиусу, равна $ωr$ , а модуль его скорости равен $v = 2u = 2ωR$ , имеем:

sinφ = -ωr- = -r-. 2ωR 2R

Следовательно, в процессе погони угол $φ$ изменяется от начального значения, равного нулю, до конечного значения, равного $φ0 = arcsin 12 = π6$ . Найдём промежуток времени $Δt$ , за который угол $φ$ изменяется на некоторую малую величину $Δ φ$ . Для этого заметим, что за данный промежуток времени второй школьник удаляется от центра окружности на расстояние

Δr = 2R⋅Δ (sinφ ) = 2R(sin(φ + Δφ )− sinφ ) = ( Δφ ) Δφ = 2R ⋅2cos φ + --- sin ---. 2 2

Учтём, что синус малого угла приближённо равен его радианной мepe:

Δ-φ Δr ≈ 2R ⋅2 cosφ ⋅ 2 = 2R cosφ ⋅Δ φ.

Поскольку радиальная составляющая скорости второго школьника равна $2ωR cos φ$ , он удалится от центра окружности на расстояние $Δr$ за время

---Δr---- 2R-cosφ⋅Δ-φ- Δ-φ Δt = 2ωR cosφ = 2ωR cosφ = ω ,

пропорциональное изменению угла. Следовательно, время, которое займёт погоня, составит

φ π πR t = -0= ---= ---= 5 с ω 6ω 6u

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Объяснено, как меняется угол между направлением скорости второго школьника и радиусом во время погони	2

Введено приближение малого угла $Δφ$	2

Записано выражение для малого изменения расстояния от школьника до центра $Δr$	2

Получено выражения для времени $Δt$ в приближении малого угла	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#61465Максимум баллов за задание: 10

Капитан корабля заметил строго на севере береговой маяк и приказал держать курс на него. В этот момент расстояние до берега было равно $S = 30 км$ . Корабль движется относительно воды со скоростью $v = 15 км/ ч$ и в каждый момент времени держит курс на маяк. Экипаж не знает о присутствии в море западного течения, скорость которого во всех точках одинакова и равна $u = 5 км/ ч.$ За какое время $t$ корабль доплывёт до маяка? За какое время он доплыл бы до маяка, двигаясь по кратчайшей траектории?

(МОШ, 2009, 10)

Источники: МОШ, 2009, 10

Показать ответ и решение

1) Пусть по горизонтали корабль в итоге проплывёт расстояние $AB$ . Выберем столь малое смещение $Δx,$ что $α = const$ , где $α$ - угол между направлением скорости корабля и вертикалью. Тогда

Δx = vsin αΔt

Следовательно

∑ AB = v sinα Δt

Так как скорость является постоянной величиной, то её можно вынести за знак суммы. Пусть $k$

∑ k = sin αΔt

Тогда

k = AB = ut1 v v

2) Пусть $Δs$ - малое изменение расстояния между маяком и кораблём. Тогда:

Δs = vΔt − u sinα Δt

Просуммируем это уравнение:

S = vt − uk = vt − u2t1 1 1 v

--Sv--- ⇒ t1 = v2 − u2 = 2,25 ч

3) В случае кратчайшей траектории скорость корабля относительно берега должна быть строго направлена на маяк, тогда его скорость будет выражаться из теоремы Пифагора как:

∘ -2---2- vк = v − u

⇒ S = t∘v2-−-u2-⇒ t = √--S----= 2,12 ч 2 2 v2 − u2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула изменения координаты при равномерном движении	2

Найдено время движения	4

Описан случай кратчайшего расстояния	4

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#69828Максимум баллов за задание: 10

На реке отведена зона для безопасного плавания. Граница зоны — половина окружности радиуса $R = 100 м$ , центр в точке $O$ (см. рис.). В ходе заплывов по реке пловец каждый раз стартует в точке $O$ , плывет по прямой до границы зоны, а затем по той же прямой возвращается в точку старта. В системе отсчета, связанной с водой, скорость $U$ пловца одинакова по модулю $U = 1,5 м/ с$ при движении в любом направлении. В первом заплыве пловец проплывает $100 м$ вниз по течению ( $U ↑↑ V$ ) и возвращается ( $U ↑↓ V$ ) в точку старта. Время движения на второй половине дистанции в 5 раз больше, чем на первой.
1. Найдите скорость $V$ течения реки.
2. Найдите продолжительность $T$ заплыва, в котором вектор $V$ cкорости реки образует угол $α = 45∘$ с прямой, по которой движется пловец (см. рис.).
3. За какое наименьшее время $Tmin$ пловец после старта в точке $O$ может доплыть до границы зоны и вернуться в точку старта?

(«Физтех», 2023, 9)

Источники: Физтех, 2023, 9

Показать ответ и решение

1) Пусть $V⃗$ – скорость реки относительно берега, $⃗vп$ – скорость пловца относительно берега. Выразим скорость пловца относительно берега при помощи правила сложения скоростей:

⃗U = ⃗vп − ⃗V

⃗vп = U⃗+ ⃗V

По условию время движения во второй половине пути в 5 раз больше, поскольку пути равны, то и скорость в 5 раз больше. В первом случае скорости реки и пловца относительно реки сонаправлены, тогда скорость пловца относительно берега – $U + V$ , во втором случае скорости противоположно направлены, поэтому скорость пловца – $U − V$ , отсюда:

U-+-V-= 5 ⇒ V = 2U = 1 м/c U − V 3

2) Спроецируем скорости на направление движения и получим скорости пловца в первой и второй половине пути:

v1 = U cosβ − V sin α

v2 = U cosβ + V sin α

Из полученного треугольника:

h = V sin α = U sinβ ⇒ V sin α = U sinβ

Время движения получим как сумму времен движения на двух половинах пути:

T = R-+ -R = ------R------- + ------R------- v1 v2 U cosβ − V sinα U cosβ + V sin α

По основному тригонометрическому тождеству:

sin2 α+ cos2α = 1

Используя полученную ранее связь проекций скоростей и ОТТ, получим:

∘ ------------- 2R U2 − V 2sin2α T = -----U2-−-V2-----≈ 212 c

3) Полученное ранее выражения для времени движения представляет собой функцию угла $α$ :

∘ ------------- T(α) = 2R--U-2 −-V2sin2α, U 2 − V 2

где $U, V,R$ – постоянные величины
Время движения минимально, когда минимально выражение под корнем, а разность в этом выражении минимальна, когда максимально вычитаемое, которое зависит от синуса угла $α$ , максимальное значение которого равно $1$ при угле $α = 90∘$ , отсюда:

∘ ---2R---- √ - Tmin = T(α = 90) = √U 2 − V 2 = 80 5 ≈ 179 c

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

При помощи правила сложения скоростей выражена скорость пловца относительно берега	2

Получено верное занчение скорости течения реки	2

Верно составлен векторный треугольник скоростей, получено верное значение времени движения $T$	2

Указано, что при угле $α= π∕2$ время движения достигает своего минимального значения	2

Представлено правильное значение $Tmin$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#82617Максимум баллов за задание: 10

Во время выполнения пилотажного упражнения два самолёта летят в горизонтальной плоскости с одинаковыми по модулю скоростями $V = 80 м/с$ (см. рис.) по окружностям одинакового радиуса $R = 800 м$ . Ускорение свободного падения $g = 10 м/c2$ .
1. На сколько $δ$ процентов вес каждого летчика больше силы тяжести, действующей на летчика?
В некоторый момент времени самолеты оказались на прямой, проходящей через центры окружностей, в положении максимального сближения. Расстояние между центрами окружностей $L = 2 км$ . Вектор скорости каждого самолета показан на рисунке.
2. Найдите в этот момент скорость $U$ второго (правого на рис.) самолёта во вращающейся системе отсчёта $x′O y′ 1$ , связанной с первым (левым на рис.) самолётом. В ответе укажите модуль и направление вектора $U$ .

(Физтех, 2024, 10)

Источники: Физтех, 2024, 10

Показать ответ и решение

1) Изобразим силы, действующие на летчика:

По третьему закону Ньютона вес летчика по модулю равен суммарной силе реакции опоры $FR$ на него, которая складывается из нормальной реакции опоры $N$ и силы трения покоя $F тр.п.$ . По второму закону Ньютона силы нормальной реакции равны силе тяжести, сила трения покоя равна произведению массы на центростремительное ускорение, отсюда:

V 2 ∘ ----------- ma ц.с. = Fтр.п. = m ---, N = mg, P = N 2 + F 2тр.п. R

∘ ---(----)--- P V 2 2 P − mg mg--= 1 + gR- , δ = --mg----⋅ 100%

( ∘ ----(----)-- ) V 2 2 δ = ( 1 + --- − 1) ⋅ 100% ≈ 28% gR

2) Перейдем в систему отсчета первого самолета, которая движется вращательно, используя правило сложения скоростей:

⃗V = ⃗U + ⃗Vпер, V пер = ωr,

где $r = L − R$ – радиус вращения второго самолета во вращающейся системе отсчета
Cкорости $⃗V$ и $⃗Vпер$ противоположно направлены, тогда:

V- U = ω(L − R ) + V, V = ωR ⇒ U = R L = 200 м/c

Скорости $⃗ V$ и $⃗ U$ сонаправлены.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Описаны и записаны законы Ньютона для летчика	2

Получено выражение для искомой разницы	3

Вычислено значение искомой разницы в процентах	1

Произведен переход в другую СО и записано правило сложения скоростей	2

Получено выражение для искомой скорости	1

Вычислено значение искомой скорости	1

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#82618Максимум баллов за задание: 10

Два школьника опытным путем изучают механику: первый сидит на краю равномерно вращающейся с периодом $T = 6,3 с$ карусели, второй едет по прямой на велосипеде (см. рис.) и оба наблюдают друг за другом. В лабораторной системе отсчета $xOy$ скорости школьников одинаковы по модулю и равны $V = 2 м/ с$ . Все движения происходят в одной горизонтальной плоскости. Ускорение свободного падения $2 g = 10 м/c$ .
1. На сколько $δ$ процентов вес первого школьника больше веса второго школьника?
Указание: считайте, что $n (1 + x) ≈ 1 + n ⋅ x$ при $x < < 1$ .
В некоторый момент времени школьники оказались в положении максимального сближения (см. рис.) на расстоянии $L = 5 м$ . Вектор скорости $V$ каждого школьника в этот момент показан на рисунке к задаче.
2. Найдите в этот момент скорость $U1$ первого школьника в подвижной системе отсчёта $x ′O1y ′$ , связанной со вторым школьником. Система отсчета $′ ′ xO1y$ движется поступательно относительно лабораторной системы $xOy$ .
3. Найдите в этот момент скорость $U2$ второго школьника во вращающейся системе отсчёта $′′ ′′ x O2y$ , связанной с первым школьником. Точка $O2$ – начало вращающейся системы отсчета. В ответе укажите модуль и направление вектора $U2$ .

(Физтех, 2024, 10)

Источники: Физтех, 2024, 10

Показать ответ и решение

1) Изобразим силы, действующие на первого школьника:

По третьему закону Ньютона вес первого школьника по модулю равен суммарной силе реакции опоры $F R$ на него, которая складывается из нормальной реакции опоры $N 1$ и силы трения покоя $Fтр.п.$ . Аналогично вес второго школьника равен силе реакции опоры на него, которая равна нормальной составляющей $N2$ . По второму закону Ньютона силы нормальной реакции равны силам тяжести, сила трения покоя равна произведению массы на центростремительное ускорение, которое можно выразить используя период вращения, отсюда:

V-2 2-πR- ∘ --2----2--- N1 = m1g, m1a ц.с. = F тр.п. = m1 R , T = V , P1 = N1 + F тр.п.

N2 = m2g, P2 = N2

∘ ------------------ 2 2 24π2V-2- ∘ ----------- P1 m 1g + m 1 T2 m1 4π2V 2 P--= -------m--g---------= m-- 1 + -T2g2-- 2 2 2

Считая $4π2V 2 ---2-2-< < 1 T g$ и используя приближение из указания к задаче:

( 2 2) P1- m1- 2π-V--- P2 = m2 1 + T 2g2

Тогда

P − P δ = -1----2-⋅ 100% ≈ 2%, P2

при $m1 = m2$
2) Перейдем в систему отсчета второго школьника, которая движется поступательно, используя правило сложения скоростей:

⃗V = ⃗U + ⃗V 1

⃗U1 = 0

3) Перейдем в систему отсчета первого школьника, которая движется вращательно, используя правило сложения скоростей:

⃗V = ⃗U2 + ⃗Vпер, V пер = ω перr,

где $r = L + R$ – радиус вращения второго школьника во вращающейся системе отсчета
Скорости $⃗V$ и $⃗Vпер$ сонаправлены, тогда:

2π- 2-πL U2 = ω пер(L + R ) − V, V = ω перR, ω пер = T ⇒ U2 = T ≈ 5 м/c

Скорости $⃗ V$ и $⃗ U2$ противоположно направлены.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Описаны и записаны законы Ньютона для школьников	1

Использованы необходимые приближения	1

Найдена искомая разница (в процентах)	2

Произведен переход в другую СО и записано правило сложения скоростей	2

Найдена искомая скорость первого школьника	2

Найдена искомая скорость второго школьника	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#106204Максимум баллов за задание: 10

Вырезанную из однородного листа металла пластину в форме равностороннего треугольника ABC (см. рис.) положили на гладкую горизонтальную плоскость и толкнули. Пластина пришла в движение. В момент $t = 0$ оказалось, что скорость $⃗v A$ точки А параллельна стороне ВС и по величине равна $vA = 0,4m ∕c$ , а скорость $⃗vC$ вершины С направлена вдоль стороны СА. Длины сторон треугольника $a = 0, 2$ м. 1. Найдите модуль $vC$ скорости вершины С. 2. За какое время $τ$ пластина в системе центра масс совершит три оборота?

Пчела массой $m = 100$ мг прилетает и садится на пластину вблизи вершины В. 3. Найдите модуль $R$ равнодействующей сил, приложенных к пчеле, сидящей на движущейся пластине. Масса пчелы пренебрежимо мала по сравнению с массой пластины.

("Физтех 2025, 10)

Источники: Физтех, 2025, 10

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#107009Максимум баллов за задание: 10

Вырезанную из однородного листа металла пластину в форме равностороннего треугольника $ABC$ (см. рис.) положили на гладкую горизонтальную плоскость и толкнули. Пластина пришла в движение. В момент $t = 0$ оказалось, что скорость $⃗v A$ точки $A$ параллельна стороне $BC$ и по величине равна $v = 0,4 м/с A$ , а скорость $⃗v C$ вершины $C$ направлена вдоль стороны $CA$ . Длины сторон треугольника $a = 0.2 м$ .
1. Найдите модуль $vC$ скорости вершины $C$ .
2. За какое время $τ$ пластина в системе центра масс совершит три оборота?
Пчела массой $m = 100 мг$ прилетает и садится на пластину вблизи вершины $B$ .
3. Найдите модуль $R$ равнодействующей сил, приложенных к пчеле, сидящей на движущейся пластине. Масса пчелы пренебрежимо мала по сравнению с массой пластины.

$PIC$

(«Физтех», 2025, 10)

Источники: Физтех, 2025, 10

Показать ответ и решение

$PIC$

1. Найдем мгновенный центр скоростей - точку $F$ - проведя перпендикуляры к скоростям в точках $C$ и $A$ . Для него справедливо:

vA vC ω = F-A = F-C

F-C = sin 30∘ F A

Тогда скорость точки $C$ :

vC = vA FC-= vA sin30∘ = vA-= 0,2 м/ с FA 2

2. Выразим угловую скорость мгновенного вращения точек относительно МЦС:

-vA ω = F A

AC ∘ F-A = sin 60

AC = a

vAsin60∘ vA√3- ω = ---a---- = -2a--

Время, за которое пластина совершит три оборота:

√- 6π- 12πa- 4πa--3- 3⋅2π = ωτ ⇒ τ = ω = vA√3-= vA ≈ 10,9 с

3. Поскольку масса пчелы пренебрежимо мала по сравнению с массой пластины центр масс системы пластина и пчела совпадает с центром масс пластины - точкой $O$ . Внешние силы на систему пластина и пчела не действуют, значит по теореме о движении центра масс его ускорение равно нулю и система центра масс — инерциальная система отсчёта. Равнодействущая сил, действующих на пчелу, по второму закону Ньютона в системе отсчета центра масс:

R = ma = m ω2BO

Пчела в этой системе отсчета вращается вместе с точкой $B$ относительно центра масс. Найдем радиус вращения $BO$ , учитывая, что медианы точкой пересечения деляться в отношении $2 : 1$ :

BO = --a--2 = √a- sin60∘3 3

Тогда:

√ - 3v2A--a- mv2A--3 − 5 R = m 4a2 √3 = 4a ≈ 3,46 ⋅10 Н

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#107016Максимум баллов за задание: 10

Две материальные точки движутся по одной прямой навстречу друг другу. В момент времени $t = 0$ скорости материальных точек $V1 = 12 м/c$ и $V2 = 8 м/c$ . В процессе сближения ускорения материальных точек $a = 1,5 м/c2 1$ и $a = 0,5 м/c2 2$ постоянны и направлены противоположно соответствующим начальным скоростям.
1. При каком наименьшем начальном расстоянии $L$ между точками не произойдет столкновение точек в процессе движения?
2. Найдите показание $T$ часов в тот момент, когда расстояние между точками будет наименьшим, если при $t = 0$ расстояние между точками было равно $L$ .
3. Найдите длину $S1$ пути, пройденного первой материальной точкой к моменту времени $T$ , когда расстояние между точками будет наименьшим.

(«Физтех», 2025, 10)

Источники: Физтех, 2025, 10

Показать ответ и решение

1. Перейдем в систему отсчета, связанную с первой материальной точкой, тогда относительная скорость и относительное ускорение второй в этой системе отсчета:

⃗Uотн = ⃗V2 − ⃗V1

⃗aотн = ⃗a2 − ⃗a1

При этом относительная скорость и относительное ускорение направлены противоположно друг другу. Скорости и ускорения двух точек также направлены противоположно друг другу, поэтому модули относительной скорости и относительного ускорения при проецировании:

Uотн = V1 + V2

a = a + a отн 1 2

При равнозамедленном движении длина пути до остановки:

2 L = U-2отн-= -(V1-+-V2) = 100 м 2aотн 2 (a1 + a2)

2. Расстояние будет наименьшим в момент остановки второй точки в системе отсчета первой точки, в этот момент относительная скорость второго тела равна нулю:

0 = Uотн − aотнT

U (V + V ) 12+ 8 T = --отн = --1---2-= --------= 10 с aотн (a1 + a2) 1,5+ 0,5

3. Первая материальная точка остановится в момент времени:

V1 12- t1 = a1 = 1,5 = 8 с

К этому моменту перемещение точки:

V 2 122 S = --1 = ------= 48 м 2a1 2⋅1,5

Модуль перемещения точки за следующие две секунды до момента, когда расстояние между точками минимально:

′ a1(T − t1)2 S = ----2-----= 3 м

Итоговый путь складывается из модулей этих двух перемещений:

2 2 S1 = V1-+ a1(T-−-t1)-= 48 + 3 = 51 м 2a1 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#107045Максимум баллов за задание: 10

Клин с углом $α = 30∘$ при вершине движется с ускорением $2 a0 = 2 м/c$ по горизонтальному столу (см. рис.). По гладкой наклонной плоскости клина скользит брусок массы $m = 0,4 кг$ , скрепленный с легкой нерастяжимой нитью, которая перекинута через гладкий блок на клине и прикреплена к вертикальной стенке. Отрезок нити от стенки до блока считайте гори- зонтальным, отрезок нити от блока до бруска считайте параллельным наклонной плоскости клина.
1. За какое время $τ$ после начала движения брусок переместится по вертикали на $H = 18 см$ ? Начальные скорости всех тел нулевые. Ускорение сводного падения $2 g = 10 м/c$ .
2. Найдите модуль $a$ ускорения бруска в лабораторной системе отсчета.
3. Найдите модуль $T$ силы натяжения нити.

$PIC$

(«Физтех», 2025, 10)

Источники: Физтех, 2025, 10

Показать ответ и решение

1. Поскольку нить нерастяжима её длина постоянна, чтобы она оставалась постоянной перемещения бруска относительно клина и клина должны быть равны, а значит должны быть и равны ускорения клина и бруска относительно клина:

a0 = aотн

Построим треугольник ускорений:

$PIC$

Полное ускорение бруска в лабораторной системе отсчета в этом треугольнике является диагональю ромба, т.к. относительное и переносное ускорения равны:

⃗a = ⃗a0 + ⃗aотн

Спроецируем ускорение бруска на вертикаль:

ay = aотнsin α

Тогда перемещение бруска по вертикали:

1 2 H = 2 (aотн sinα )τ

Отсюда можем выразить искомое время:

∘ ---2H---- τ = a---sin-α = 0,6 c отн

2. Из треугольника ускорений можем выразить полное ускорение бруска в лабораторной системе отсчета:

a = 2a0sin α-≈ 1 м/c2 2

3. Расставим силы, действующие на брусок:

$PIC$

По второму закону Ньютона:

m ⃗a = T⃗+ m ⃗g+ ⃗N

Запишем полученное уравнение в проекции на ось $Ox$ :

ma sin α-= T − mg sinα 2

Отсюда можем выразить силу натяжения нити:

( 2 α-) T = m gsin α+ 2a0sin 2 = m (gsinα + a0(1 − cosα ))

T = m (gsinα + a0(1 − cosα )) ≈ 2,1 H

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#107150Максимум баллов за задание: 10

Из точек $A$ и $B$ , находящихся на одной горизонтальной прямой, одновременно бросили два камня с одинаковыми по модулю скоростями $v0 = 20 м/с$ . Один из них полетел по навесной траектории, а другой – по настильной, и каждый упал в точку старта другого камня. Известно, что угол бросания $α$ камня из точки $A$ составляет $75∘$ (см. рисунок). Через какое время после бросания расстояние между камнями станет минимальным? Чему равно это расстояние? Укажите на рисунке положения камней в этот момент.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $β$ – угол броска второго камня. Из условия видно, что дальности полетов камней равны. Запишем формулу дальности полета для обоих камней и приравняем:

v2sin2α v2sin 2β L = -0-g---= -0-g---

Отсюда:

sin 2α= sin 2β

Это возможно в двух случаях: либо $α= β$ , что в нашей ситуации неверно, либо $2α = 180∘ − 2β$ , что в нашем случае и выполняется. Тогда:

∘ ∘ β = 90 − α =15

Перейдем в систему отсчета второго камня и по правилу сложения скоростей найдем скорость первого камня относительно второго:

$PIC$

Поскольку модули скоростей камней равны, а сумма углов их бросков равна $90∘$ , полученный треугольник скоростей прямоугольный и равнобедренный. Тогда угол под которым направлена скорость первого камня относительно второго к горизонтали равен $α − 45∘ = 30∘$ . Модуль относительной скорости же:

√- uотн = 2v0

Запишем правило сложения ускорений для двух камней и найдем ускорение первого камня относительно второго:

⃗aабс = ⃗aотн+ ⃗aпер

⃗g =⃗aотн+ ⃗g

⃗aотн = ⃗g− ⃗g = ⃗0

Получается, что относительного второго камня первый движется равномерно и прямолинейно. Тогда минимальное расстояние между камнями есть перпендикуляр из точки нахождения второго камня на прямую, вдоль которой движется первый камень относительно второго. Найдем дальность полета камней:

v2sin 2β v2 L = -0-g---= 20g

Из полученного прямоугольного треугольника минимальное расстояние между камнями:

Smin =L sin30∘ = v02= 10 м 4g

Из того же треугольника расстояние, которое прошел первый камень относительно второго до положения, когда расстояние между ними минимально:

S12 = Lcos30∘

Тогда время движения первого камня относительно второго до этого положения:

∘-- √ - T = S12-= 3v0= --6v0≈ 0,6 с uотн 24g 8g

Чтобы найти в каких положениях будут камни в этот момент в лабораторной системе отсчета перенесем параллельно отрезок $Smin$ вдоль одной из траекторий до пересечения второго конца с другой траекторией.
Важное замечание: движение первого камня относительно второго будет оставаться равномерным и прямолинейным до тех пор, пока оба камня находятся в полете. Как только один из камней упадет на землю, на него начнут действовать другие силы и правило сложения ускорений в таком виде будет нарушаться. Значит чтобы наше решение оставалось верным нужно удостовериться, что полученное время меньше минимального из времен полетов камней. По формуле времени полета оно пропорционально синусу угла броска, значит меньшее время полета будет у второго камня и равно оно будет:

tпол = 2v0sinβ-≈ 1 с g

Полученное нами время меньше минимального времени полета, значит все наши рассуждения остаются верными.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано равенство дальностей полетов	1

Получено отношение углов	1

Рассмотрен треугольник скоростей и найдена относительная скорость	1

Записано правило сложения ускорений	1

Описано и найдено минимальное расстояние между камнями	2

Найдено искомое время	2

Указаны искомые положения камней	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#117424Максимум баллов за задание: 10

Жесткий стержень AB движется под действием некоторых сил так, что его концы А и В скользят по вертикальной стене и горизонтальному полу соответственно (см. рисунок). В некоторый момент времени, когда стержень составляет угол $α$ градусов с полом, ускорение точки C , лежащей на расстоянии четверти длины стержня от точки А, направлено вдоль стержня вниз (см. рисунок) и равно по величине $aC$ . Найти ускорения концов стержня в этот момент.

$PIC$

(Росатом 2025, 10)

Источники: Росатом - 2025, 10

Показать ответ и решение

Решим сначала вспомогательную задачу. Пусть жесткий стержень длиной $l$ движется произвольным образом и скорости его концов $⃗vA$ и $⃗vB$ в некоторый момент времени известны. Найдем в этот момент скорость точки С стержня, лежащей на расстоянии $l∕4$ от конца 1 .

Перейдем в систему отсчета, связанную с концом В нашего стержня. В ней этот конец стержня покоится, а скорость конца А $⃗vA.o.$ определяется законом сложения скоростей

⃗vA.o⋅B = ⃗vA − ⃗vB

При этом вектор $⃗vA.o.$ направлен перпендикулярно стержню, поскольку движение стержня в этой системе отсчета - вращение вокруг конца В. Значит, и скорости всех остальных точек стержня в этой системе отсчета перпендикулярны стержню, а их величина пропорциональна расстоянию от каждой точки до второго конца. Поэтому величина скорости точки С в этой системе отсчета составляет $3∕4$ от скорости $vA.o.A$ и сонаправлена с ней. Поэтому

3 3 ⃗vC.O.B = 4 ⃗vA.O.B = 4 (⃗vA − ⃗vB)

Чтобы найти скорость $⃗vC$ точки С в системе отсчета, связанной с землей, снова воспользуемся законом сложения скоростей. Имеем

⃗v = ⃗v + ⃗v = 3(⃗v − ⃗v )+ ⃗v = 3⃗vA-+⃗vB- C C.o.2. B 4 A B B 4

А поскольку такая связь справедлива в любой момент времени, такой же является и связь ускорений этих точек

3⃗aA-+-⃗aB ⃗aC = 4

Вернемся теперь к нашей задаче. С одной стороны, ускорение точки С направлено вдоль стержня, с другой, - связано предыдущей формулой с ускорениями $⃗a A$ и $⃗a B$ , которые направлены вдоль вертикальной стены и горизонтального пола соответственно. Поэтому для величин этих ускорений имеем

2 2 2 16aC = 9aA + aB

3aA- tgα = aB

Решая эту систему уравнений, получим

a = 4a sinα, a = 4a cosα A 3 C B C

Обратим внимание на то, что проекции векторов ускорений концов стержня на сам стержень (в отличие от скоростей) не равны друг другу.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#125167Максимум баллов за задание: 10

Вокруг некоторой звезды, которую для удобства будем называть Солнцем, по круговой орбите движется планета. Период обращения равен $T1 = 110$ земных суток. Планета также вращается вокруг собственной оси, перпендикулярной плоскости орбиты. Период осевого вращения относительно далёких звёзд равен $T = 80 2$ земных суток; направления орбитального и осевого вращений совпадают. Найдите следующие величины:

Продолжительность $T$ солнечных суток на планете (время между двумя последовательными полуднями). Числовой ответ выразите в земных сутках и округлите до целого значения.
Количества оборотов $N1$ и $N2$ , которые планета совершает за время $T$ при орбитальном и осевом вращениях. Числовые значения округлите до десятых.

Подсказка: для наблюдателя на экваторе планеты в полдень Солнце находится в зените.

(Курчатов 2025, 11)

Источники: Курчатов 2025, 11

Показать ответ и решение

Поместим начало координат в центр Солнца и введём вектор $−→ n1$ , направленный вдоль отрезка, соединяющего центры Солнца и планеты. Введём также вектор $−→n2$ , жёстко связанный с планетой и направленный от её центра к произвольной точке на экваторе. Этот вектор участвует в осевом вращении вместе с планетой и определяет положение наблюдателя на экваторе. В дальнейшем нас будут интересовать только направления введённых векторов. Поэтому будем считать их единичными.

$PIC$

Предположим, что в некоторый момент для наблюдателя наступил полдень, то есть Солнце оказалось в зените. В этом случае векторы $−→n 1$ и $−→n 2$ направлены противоположно друг другу. Примем этот момент за начало отсчёта времени, ось $x$ системы координат направим вдоль вектора $−→ n1$ , ось $y$ — в сторону орбитального движения планеты. За время $t$ векторы $−→n1$ и $−→n2$ повернутся относительно своих начальных положений на углы $α$ и $β$ :

α = ω t, β = ω t, 1 2

$ω 1$ и $ω 2$ — угловые скорости орбитального и осевого вращений:

2π- 2π- ω1 = T1, ω2 = T2.

Координаты векторов равны:

−→n1 = (cosα,sin α), −→n2 = (− cosβ,− sin β).

Следующий полдень наступит в момент, когда векторы $−n→1$ и $−→n2$ снова окажутся направленными противоположно. Это условие удобно записать через скалярное произведение:

−→n1−→n2 = − 1.

Переходя к координатам, получаем:

− cosα cosβ − sin αsinβ = − 1, cos(α − β) = 1, α − β = 2πn, ω t− ω t = 2πn, 1 2

( ) ( ) t 2π-− 2π- = 2πn, t -1 − -1 = n −→ t = -T1T2-n. T1 T2 T1 T2 T2 − T1

Здесь $n$ — целое число. Продолжительность солнечных суток является наименьшим положительным значением $t$ . При $T1 ⁄= T2$ оно получается при $n = ±1$ в зависимости от знака разности $T2 − T1$ . Обе возможности можно учесть, взяв модуль разности. Окончательно получаем:

T = -T1T2---= 293суток. |T1 − T2|

Количества оборотов $N1$ и $N2$ определяются значениями углов поворота $α$ и $β$ за время $T$ :

N1 = -α-= -T = ---T2--- = 2,7, N2 = -β-= -T = ---T1---= 3,7. 2π T1 |T1 − T2| 2π T2 |T1 − T2|

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#129040Максимум баллов за задание: 10

Заяц бежит по прямой линии вдоль оси $x$ со скоростью $u.$ Волк начинает преследовать зайца со скоростью $V > u$ и в течение погони всегда движется по направлению к зайцу. Сперва заяц расположен в начале координат, тогда как волк находится в точке $x(0) = 0, y(0) = L.$ Через какое время волк настигнет зайца?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: