.07 Равноускоренное движение. Векторный подход - Красота

Предположим сначала, что потолок отсутствует, и найдем в этом случае максимальный радиус пятна на полу, в котором лежат осколки. Введем систему координат с началом, совпадающим с патроном лампочки. Условия падения на землю через время осколка, вылетевшего под углом к горизонту, таковы:

Знак минус определен из-за того, что система координаты, выбранная в данной задаче, направлена вверх по вертикали и вправо по горизонтали.
Очевидно, нам необходимо так подобрать угол , чтобы величина была максимальной. Преобразуем для этого первое уравнения к виду , а второе к виду , откуда

тогда .
Пусть время полета осколка на такое расстояние, тогда угол вылета к горизонту найдем из уравнения .
Высоту этой траектории над уровне лампочки найдем по формуле:

Вспомним теперь про потолок, Очевидно, если больше или равен , то .
В случае, когда , т.е. . максимальный радиус пятна на полу получится от осколков, у которых максимальная высота траектории (над уровнем патрона) равна (их траектория будет касательной к потолку). Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть хотя бы один осколок, отразившийся от потолка. Уровень патрона после отражения он пересечет под углом вылета. Следовательно, траектория этого осколка будет более крутой по сравнению с «касательной» траекторией, и они никогда не пересекутся. Значит, осколок, коснувшийся потолка, пролетит по горизонтали дальше всех остальных, ударившихся о потолок. Осколки, не долетевшие до потолка, при своем движении до земли не могут пересечь «касательной» траектории