Уравнение состояния идеального газа —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27752

Идеальный газ участвует в процессе, в котором его температура изменяется от $T0$ до $5T0$ , а график зависимости давления от температуры — парабола

( 2) p = p0 1 + -T-- 4T 20

Плотность газа в конце процесса равна $ρk$ . Чему равна минимальная плотность газа в этом процессе?

Источники: Покори Воробьёвы горы!, 2016, 10–11

Показать ответ и решение

Плотность идеального газа можно связать с давлением и температурой с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона:

pV = m-RT ⇒ ρ = m- = pμ-- μ V RT

Следовательно, в этом процессе

( ) μ T2 ρ(T ) = RT--⋅ p0 1 + 4T-2 . 0

Чтобы проанализировать функцию занесём в скобки $T$ и вынесем $2T0$ :

( ) ( ) ρ(T ) = -μp0-- 2T0-+ -T-- = μp0--- α + -1 2RT0 T 2T0 2RT0 α

Минимум выражения в скобках (из неравества о средних) достигается при $α = 1$ :

∘ ----- α + 1-≥ 2 α ⋅ 1-≥ 2 α α

Т.к. $α = 1$ соотвествует значению $T = 2T0$ , которое входит в диапазон $[T0,5T0 ]$ , можем найти минимальную плотность:

ρmin = ρ(2T0 ) = μp0--⋅ 2 = μp0- 2RT0 RT0

Плотность в конце процесса вычислим, используя конечную температуру:

29-μp0- 29- ρk = ρ (5T0 ) = 20 RT = 20ρmin 0

Имеем:

ρ = 20-ρ min 29 k

Ответ: 20/29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#27754

Идеальный газ в количестве $ν$ моль участвует в процессе $AB$ , изображённом на рисунке в координатах $ρ(T)$ , где $ρ$ — плотность газа, а $T$ — его температура. При какой температуре давление газа на $25%$ меньше максимального? Температура $T 0$ известна.

(Всеросс., 2010, РЭ, 10 )

Источники: Всеросс., 2010, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона в виде:

R- p = μρT (1)

Зависимость $ρ(T )$ – линейная, следовательно

ρ = ρ0 − αT

Нулевому значению $ρ$ соотвествует $T = T0$ :

ρ0 0 = ρ0 − αT0 ⇒ α = T 0

Если обозначить $t = T∕T 0$ , то уравнение примет вид:

ρ = ρ (1− t) 0

Подставим в выражение $(1)$ для давления:

p = RT-ρ0(1− t) = R⋅tT0ρ0(1− t) = RT0-ρ0(t− t2) (2) μ μ μ

Исследуем на максимум выражение (2). Это квадратный многочлен относительно $t$ , представляющий из себя уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, и его значение достигает максимума в вершине параболы:

t = − b-=-−-1-= 1 2a 2(− 1) 2

Отсюда находим максимальное давление:

1 R pmax = p(0.5) = 4 μρ0T0. (3)

С учётом (3) уравнение (2) принимает вид:

2 p = pmax ⋅4(t− t ).

В задаче требуется найти условия, когда $p∕pmax = 3∕4$ :

4(t− t2) = 3 ⇒ t = 1 или t = 3 4 4 4

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения температуры:

T1 = T0∕4 и T2 = 3T0∕4

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Использовано уравнение Менделеева-Клапейрона	2

Найдено уравнение процесса $AB$	2

Верно составлено квадратное уравнение относительно $t$	2

Верно определены координаты точки, соответствующей вершине параболы	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#27755

Один моль идеального газа переводят из состояния с известным давлением $p1$ и известным объёмом $V1$ в состояние с давлением $0,75p1$ и объёмом $V2 > V1$ . Зависимость $p(V)$ в этом процессе является линейной функцией (рис.). При каких значениях конечного объёма $V 2$ температура в данном процессе изменяется монотонно?
(Всеросс., 2012, финал, 10)

Источники: Всеросс., 2012, ЗЭ, 10

Показать ответ и решение

Зависимость $p(V)$ – линейная, с-но:

p = p1 − β(V − V1),

где $β$ – модуль угл. коэффициента прямой. Из графика:

p(V2) = 0,75p1 ⇒

3p = p − (V − V )β 4 1 1 1

Следовательно

β = ----p1--- 4(V2 − V1)

Поэтому:

p1 ( V − V1 ) p = p1 − (V − V1)4(V-−-V-) = p1 1− 4V-−-4V-- (1) 2 1 2 1

Выразим температуру из уравнения Менделеева – Клапейрона:

pV = νRT ⇒ T = pV- νR

И подставим в неё $p$ из выражения $(1)$ :

( ) -V-−-V1-- V-- 4V2 −-3V1 −-V V-- T = p1 ⋅ 1− 4V2 − 4V1 ⋅νR = p1 ⋅ 4V2 − 4V1 ⋅ νR

Выходит, что:

-----p1------ T = T(V ) = k⋅(4V2 − 3V1 − V )V (2), где k = νR (4V2 − 4V1) – числ. константа

График зависимости $(2)$ – парабола ветвями вниз с вершиной $b = (4V2 − 3V1)∕2$ :

По условию температура должна меняться монотонно. Возможны два случая: возрастание или убывание температуры в течение всего процесса. Рассмотрим случай, когда температура возрастает. Это означает, что объёмы $V 1$ и $V 2$ принадлежат отрезку $[0;b]$ :

0 ≤ V1 < V2 ≤ b

0 ≤ V1 < V2 ≤ 4V2 −-3V1 2

Откуда следует, что:

3V1 V2 ≥ 2

При убывании температуры объёмы $V1$ и $V2$ принадлежат отрезку $[b;2b]$

b ≤ V < V ≤ 2b 1 2

4V2 −-3V1-≤ V1 < V2 ≤ 4V2 − 4V1 2

$⇒$

V1 < V2 ≤ 5V1∕4

Окончательный ответ:

( ] При V ∈ V , 5V температура газа монотонно убывает 2 1 4 1

3V1 П ри V2 ≥ 2 температура газа монотонно возрастает

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#27756

Два одинаковых вертикальных цилиндра соединены сверху и снизу трубками пренебрежимо малого объёма. В верхней трубке имеется кран $K$ , который исходно открыт. В цилиндры налита жидкость плотности $ρ$ . Оставшийся объём цилиндров высоты $L$ заполнен газом с давлением $p 0$ и комнатной температурой $T 0$ . При неизменной температуре газа в левом цилиндре газ в правом нагрели до температуры $T$ и закрыли вентиль. Нагреватель отключили. Когда воздух в правом цилиндре остыл до комнатной температуры, разность уровней жидкости в цилиндрах стала $2h$ . Найдите температуру $T$ , если в левом цилиндре температура газа всё время оставалась комнатной. Ускорение свободного падения считать равным $g$ .

(Всеросс., 2018, РЭ, 10 )

Источники: Всеросс., 2018, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Пусть $S$ сечение цилиндров, $ν$ полное число молей газа, $R$ газовая постоянная. Из уравнения состояния идеального газа для начальной ситуации имеем:

2p0SL = νRT0.

При открытом вентиле давление газа слева и справа одинаково, обозначим его $p$ . Из уравнения состояния в применении к каждому цилиндру при открытом вентиле и разных температурах имеем:

pSL = ν1RT0; pSL = ν2RT,

где $ν1$ и $ν2$ число молей слева и справа. Так как суммарное число молей неизменно, то $ν = ν1 + ν2$ . Отсюда выражаем давление

p = 2p0T-. T + T0

После закрытия вентиля число молей газа слева и справа остаются прежними. В конце температура везде To, а объёмы газа слева и справа соответственно $(L + h)S$ и $(L − h)S$ . Разница давлений газа при перепаде уровней $p1 − p2 = 2ρgh$ . Выразим давления через уравнение состояния и предыдущие соотношения:

--ν1RT0-- -ν2RT0-- -pL-- -pLT0--- (L + h)S − (L − h)S = L + h − T(L − h ) = 2ρgh.

Подставив $p = 2p0T-- T + T0$ получим уравнение для искомой $T$ :

pLT p LT -----0--------− -----0---0----= ρgh. (T + T0)(L + h) (T + T0)(L − h)

Откуда

T = T L-+-hp0L-+-ρgh-(L-−-h) 0L − hp0L − ρgh (L + h)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно записаны уравнения состояния для каждого цилиндра	2

Сказано о постоянстве кол-ва вещества и о равенстве давлений слева и справа	2

Получена правильная зависимость $P (T)$ при открытом кране $K$	2

Верно записаны параметры системы после закрытия крана $K$	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#27757

Сосуд Мариотта представляет собой герметически закрытый цилиндрический сосуд с площадью дна $S$ , в верхнюю крышку которого вставлена открытая с обоих концов тонкая трубка (рис.). Нижний конец трубки расположен на расстоянии $H$ от верхней крышки сосуда. Около дна сосуда в его боковую стенку вставлена горизонтальная трубка с краном. В начальный момент времени высота уровня воды относительно нижнего конца вертикальной трубки равна $x0$ , а сама эта трубка полностью заполнена воздухом. Кран закрыт. В момент времени $t = 0$ кран открывают, и вода начинает вытекать из сосуда, а пузырьки воздуха проникать в сосуд через вертикальную трубку. Расход вытекающей жидкости равен $ω$ (объём в единицу времени). Температура сосуда $T$ , атмосферное давление $p0$ , молярная масса $M$ воздуха известны и остаются постоянными. Давлением насыщенных паров воды пренебречь. Считайте, что в ходе всего эксперимента уровень жидкости в сосуде не опустился ниже конца вертикальной трубки. Плотность воды равна $ρ$ .
1) Чему равна масса $m0$ воздуха в сосуде над водой в начальный момент времени?
2) Чему равна скорость $μ$ изменения массы воздуха в сосуде в начальный момент времени?
3) С какой скоростью $β$ изменяется $μ$ (скорость изменения массы воздуха в сосуде) в процессе вытекания воды из него?

(Всеросс., 2017, РЭ, 10)

Источники: Всеросс., 2017, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Пусть $ω$ – секундный расход воды, вытекающей из сосуда Мариотта (рис.). Скорость опускания уровня воды в сосуде $v = ω∕S$ .

Таким образом, объем воздуха над водой в сосуде изменяется со временем по закону:

V = S(H − x0)+ ωt, (1)

а уровень воды $x$ :

ω x = x0 − vt = x0 − S-t

Давление воздуха над поверхностью воды изменяется со временем по закону:

p = p0 − ρgx = p0 − ρgx0 + ρgωt S

Найдём массу воздуха над водой:

m = M--pV = M--(p − ρgx + ρgωt) [S(H − x )+ ωt] = RT RT 0 0 S 0

M-- M-- -M- ρg(ωt)2- RT S(H − x0)(p0 − ρgx0)+ RT ω[(p0 − ρgx0)+ ρg(H − x0)]t+ RT S

Масса воздуха в сосуде над водой в начальный момент времени:

M m(0) = ---S(H − x0)(p0 − ρgx0) RT

Скорость изменения массы воздуха в сосуде в начальный момент времени:

μ(0) = dm-= -M-ω (p0 +ρgH − 2ρgx0), dt RT

Скорость $β$ изменения $μ$ (скорости изменения массы воздуха в сосуде):

dμ- -M-ρgω2- β = dt = 2RT S

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Найдены объем воздуха над водой и уровень воды в сосуде	2

Найдено давление воздуха над поверхностью воды	2

Найдено выражение для массы воздуха над водой и её значение в момент $t = 0$	2

Найдена скорость изменения массы воздуха в сосуде	2

Найдена скорость изменения скорости изменения массы воздуха в сосуде	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#27758

Кислород находится в специальном устройстве, которое обеспечивает ограничение на возможные значения объёма, давления $p$ , температуры $T$ и массы $m$ газа. Все возможные значения $p$ , $T$ и $m$ , будучи нанесёнными на трёхмерную $p − T − m$ диаграмму (см. рис.), лежат внутри цилиндрической поверхности, ограниченной диапазонами изменения давления от 100 кПа до 300 кПа, массы — от 1 г до 3 г и температуры — от 100 К до 300 К. Найдите минимальное и максимальное значение, которое может принимать объём газа, и укажите значения $p$ , $T$ и $m$ , которые соответствуют этим состояниям. Молярная масса кислорода $μ = 32$ г/моль.

Источники: МОШ, 2017, 10

Показать ответ и решение

Из уравнения Клапейрона–Мендлеева:

mRT-- pV = νRT ⇒ V = M p , (1)

где $ν$ – количество вещеста, $M$ – молярная масса газа.
следует, что максимальному объему соответствует максимальное произведение $m$ и $T$ при минимальном давлении $pmin = 100кП а$ , а минимальному – минимальное произведение $m$ и $T$ при максимальном давлении $pmax = 300кПа$ .
Пусть $T = 100 0$ К, а $m = 1 0$ г. Тогда можно записать уравнение окружности для основания цилиндра:

( )2 ( )2 T- − 2 + m--− 2 = 1 T0 m0

Т.к. $m$ и $T$ входят в уравнение равноправно (в виде произведения), то минимум и максимум будет достигнут в тех точках, где они численно равны т.е. в точках лежащих на биссектрисе прямого угла из начала координат:

-m- T- m0 = T0

Подставим это условие в уравнение окружности:

( T- )2 ( T- )2 ( T- )2 1 ( -1-) T0 − 2 + T0 − 2 = 1 ⇒ T0 − 2 = 2 ⇒ T = 2 ± √2- T0

Найдем для каждого случая массу

( ) m1,2 = 2 ± √1- m0 2

( ( ) ( ) ) Точка 2− √1- T ; 2 − 1√-- m − ближ айшая к нач ал у координат, соответствует ми&#x04 2 0 2 0

( ( ) ( ) ) Точка 2+ √1- T0; 2 + 1√-- m0 − самая удаленная от начала координ ат, соответству&# 2 2

Подставляем наши величины в (1):

( 1 )2 m0RT0 Vmin = 2− √2- M-p----≈ 0,145 л max

( )2 V = 2+ √1- m0RT0- ≈ 0,903 л max 2 M pmin

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Проведен анализ уравнения состояния	2

Указано, при каких давлениях достигается максимальный и минимальный объём	1

Указано, когда произведение $mT$ принимает максимальное и минимальное значение	2

Найдено минимальное значение объёма	2

Найдено максимальное значение объёма	2

Найдены значения $T$ и $m,$ которые соответствуют этим состояниям	1

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#37371

Водолазный колокол в форме цилиндра без дна, частично заполненный воздухом, находится под водой. Чтобы колокол не всплывал, его прикрепили тросом к дну водоёма. На верёвке к колоколу привязан груз, находящийся в воде (см. рисунок). Площадь горизонтального сечения колокола $S = 4 м2,$ объём воздуха в нём $V = 8 м3$ при давлении $p = 1,5⋅105 Па$ . Когда груз в колоколе поднимают над уровнем воды, давление возрастает на $Δp = 250 Па$ , при этом трос остаётся натянутым. Найдите изменение натяжения троса и верёвки. Плотность воды $ρ = 103 кг/м3$ , ускорение свободного падения $g = 10 м/с2$ . Воздух в колоколе подчиняется закону Бойля-Мариотта: $pV = const$ , где $p$ — давление, $V$ — объём воздуха в колоколе.

(Всеросс., 2014, финал, 9 )

Источники: Всеросс., 2014, финал, 9

Показать ответ и решение

Чтобы вычислить изменение объёма воздуха в колоколе, воспользуемся законом Бойля-Мариотта: $pV = (p+ Δp )(V − ΔV )$ . Из него следует, что объём воздуха уменьшится на:

( Δp ) ΔV = V ------ = 0,0133 м3 p + Δp

Рассмотрим равновесие системы «колокол $+$ груз $+$ столб воды внутри колокола». На систему действуют следующие внешние силы: сила тяжести, сила натяжения троса $F1$ и силы гидростатического давления на верхнюю и нижнюю поверхность системы (не все силы показаны на рисунке).

После поднятия груза объём воздуха уменьшится, освобождённый объём $ΔV$ займет вода массой $ρΔV$ . При этом из всех внешних сил, действующих на систему, изменятся только сила натяжения троса и сила тяжести, действующая на воду внутри колокола. Таким образом, сила натяжения троса уменьшится на

ΔF = ρΔV g = 133 Н

На колокол действуют сила тяжести, сила гидростатического давления, сила давления воздуха и силы натяжений троса и верёвки. Из них при поднятии груза изменяются силы натяжений и сила давления воздуха. Силы натяжения направлены вниз, сила давления воздуха — вверх. Давление увеличивается, сила натяжения троса уменьшается, значит, сила натяжения верёвки увеличивается, причём:

ΔT = T2 − T1 = ΔpS + ΔF = 1000+ 133 = 1133 Н

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

06 Уравнение состояния идеального газа