Тема 18. Задачи с параметром

18.30 Задачи с несколькими параметрами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27939

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых существует такое $b$ , при котором неравенство

--a- sinx + b > 0

выполнено хотя бы для одного $x$ .

Показать ответ и решение

Так как $sinx ∈ [− 1;1]$ , то $si1nx ∈ (− ∞;− 1]∪[1;+∞ )$ . Следовательно, если сделать замену $si1nx = t$ , то необходимо найти такие $a$ , при которых существует $b$ , для которого неравенство

at +b > 0

имеет хотя бы одно решение $t ∈ (∞; − 1]∪ [1;+ ∞ )$ . Если рассмотреть функцию $f(t) = at+ b$ , то ее графиком будет прямая. Тогда решением неравенства будут те значения $t$ , при которых часть прямой находится выше оси абсцисс.

1.: $a > 0$ . Тогда решением неравенства $at+ b > 0$ будет некоторый луч $t > t0$ , который в пересечении с лучом $t ≥ 1$ даст непустое множество при любом $b$ . Следовательно, у неравенства будет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию $t ∈ (∞; − 1]∪ [1;+ ∞ )$ .

$PIC$
2.: $a < 0$ . Тогда решением неравенства $at+ b > 0$ будет некоторый луч $t < t 0$ , который в пересечении с лучом $t ≤ − 1$ даст непустое множество при любом $b$ . Следовательно, у неравенства будет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию $t ∈ (∞; − 1]∪ [1;+∞ )$ .

$PIC$
3.: $a = 0$ . Тогда решением неравенства будут все $t ∈ ℝ$ , если $b > 0$ , и $t ∈ ∅$ , если $b ≤ 0$ . Значит, нужно выбрать $b > 0$ .

$PIC$

В итоге получаем, что $a ∈ ℝ.$

Ответ:

$ℝ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31656

Найдите все такие пары чисел $a$ и $b$ , при каждой из которых уравнение

2 2 2 2 2 2 2 (3x − 2a +ab) +(3a − ab+ 2b− 12x)+ 4= 4x− x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

2 2 2 2 2 2 2 (3x − 2a + ab) + (3a − ab+2b − 12x) = −(x− 2)

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов, следовательно, сумму двух неотрицательных величин, следовательно, неотрицательную величину: $(3x2− 2a2+ ab)2+ (3a2 − ab+ 2b2− 12x)2 ≥ 0$ . Правая часть неположительна: $− (x− 2)2 ≤0$ . Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны $0$ :

( (| 2 2 {(3x2− 2a2+ ab)2+ (3a2− ab+2b2− 12x)2 = 0 ||{ 3x − 2a +ab= 0 (−(x− 2)2 =0 ⇔ || 3a2− ab+ 2b2− 12x =0 ⇒ |( x= 2 ( {12− 2a2 +ab= 0 (3a2− ab+2b2− 24 =0 (сложим удворенное первое равенство со вторым) ⇔ ({ 2 2 2 (|{ (b)2 b 2b +ab− a = 0 |:a ⁄= 0 ⇔ 2 a + a − 1= 0 ⇔ (12− 2a2 +ab= 0 |( 12 − 2a2+ ab=0 ⌊( ( ( ⌊ { a= −b |{-b= −1;1 |||{ ⌈a= −b |||( b= ±2 |a 2 ⇔ | a= 2b ⇔ ||({ (12− 2a2 +ab= 0 ||( 12− 2a2+ ab= 0 |⌈ a= 2b√- ( b= ± 2

Получаем следующие пары для $a$ и $b$ : $√- √- √- √ - (2;−2);(−2;2);(2 2; 2);(−2 2;− 2).$

Ответ:

$(a;b)∈ {(2;−2);(−2;2);(2√2;√2);(− 2√2;− √2)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2367

Найдите все возможные значения параметров $a$ и $b$ , при которых уравнение

x2 − 8x + a = b|x − 2|

имеет ровно три различных корня, причем сумма каких-то двух из них равна нулю.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

x2 − 8x = b|x − 2| − a

и рассмотрим функцию $2 g = x − 8x$ и $y = b|x − 2| − a$ . Графиком функции $g$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а пересекает ось абсцисс она в точках $x = 0$ и $x = 8$ . Графиком $y$ при каждом фиксированном $b$ и $a$ является уголок, вершина $(2;y0)$ которого находится на прямой $x = 2$ .
Точка, в которой парабола пересекает $x = 2$ , имеет координаты $A (2;− 12)$ .
Заметим, что если вершина уголка находится выше этой точки (то есть $y0 > − 12$ ), то $y$ с $g$ не будут иметь 3 точки пересечения.

1) Рассмотрим случай, когда $y0 = − 12$ . Тогда $a = 12$ .

$PIC$

Заметим, что если ветви уголка направлены вниз (то есть $b < 0$ ), а также при $b = 0$ , $y$ не будет пересекать $g$ в трех точках.
Рассмотрим случай $b > 0$ . Тогда мы имеем еще две точки пересечения $y$ с $g$ : точки $B$ и $C$ .
Так как точка $A ′$ находится левее $x = 4$ (абсцисса вершины параболы), то $A ′B ′ < A′C ′$ . Следовательно, и $OB ′ < OC ′$ . Значит, не может быть $x + x = 0 1 2$ , следовательно, только $x + 2 = 0 1$ , откуда $x1 = − 2$ . Следовательно, $g(x1) = y(x1)$ , то есть

2 (− 2) − 8 ⋅ (− 2) = b| − 2 − 2| − 12 ⇒ b = 8.

Таким образом, получили первое решение $a = 12;b = 8.$

2) Рассмотрим случай, когда $y0 < − 12$ , то есть $a > 12$ .
Заметим также, что если $b ≤ 0$ , то $y$ не будет иметь 3 точки пересечения с $g$ . Следовательно, рассматриваем только случай, когда ветви уголка направлены вверх.
$y$ будет иметь 3 точки пересечения с $g$ в одном из двух случаев:
— когда левая ветка уголка касается параболы, а правая пересекает в двух точках (см. второй рисунок);
— когда левая ветка уголка пересекает параболу в двух точках, а правая касается.

a) Рассмотрим первый случай.

$PIC$

Левая ветка уголка задается уравнением $yl = b(2 − x) − a$ , $x < 2$ . Следовательно, условие касания:

{ ′ { − b = g (x1 ) = 2x1 − 8 ⇔ − b = 2x1 − 8 g(x1) = x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a = yl(x1) x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a

Правая ветка ( $yp = b(x − 2) − a$ , $x > 2$ ) должна пересекать параболу в точке, абсцисса которой равна $− x1 > 2$ (неизвестно, это точка $D$ или $C$ ). Это задается условием:

yp(− x1) = b(− x1 − 2) − a = (− x1)2 − 8 ⋅ (− x1) = g(− x1)

Решаем систему из трех уравнений

( ( |{ − b = 2x1 − 8 |{ b = 16 x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a ⇔ a = 48 |( 2 |( b(− x1 − 2) − a = x 1 + 8 ⋅ x1 x1 = − 4

Проверим эти значения (нам нужно проверить, что правая ветка уголка будет именно в двух точках пересекать параболу).
$2 16(x − 2 ) − 48 = x − 8x ⇒ x3 = 4$ и $x2 = 20$ .
Таким образом, получен еще один ответ $a = 48$ , $b = 16$ .

b) Рассмотрим второй случай.

$PIC$

Аналогично получаем систему:

( ( |{ b = 2x3 − 8 |{ b = − 16 x2− 8x = b(x − 2) − a ⇔ a = 48 |( 3 3 3 2 |( b(2 + x3 ) − a = x 3 + 8 ⋅ x3 x3 = − 4

Что невозможно, исходя из рисунка ( $x3 > 2$ ).

Ответ:

$a = 12, b = 8$ и $a = 48,b = 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32717

Найдите все $b$ , для каждого из которых найдется такое $a$ , что система

(| 3 {x =|y− b|+ b |(x2+ y2+32 =a(2y− a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Показать ответ и решение

Исходная система имеет решения, если новая система (где поменяны местами переменные $x$ и $y$ )

(| 3 {y = |x− b|+ b |(y2+ x2+32 =a(2x− a)+ 12y

также имеет решения.

Первое уравнение задает уголок, который строится последовательно следующим образом:

$сдвигна|b|единицвлево/вправо сдвигна|3b| единицвверх/вниз 3 |x|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ |x− b|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ |x&$

Вершина уголка $x0 = b$ , $3 y0 = b$ , следовательно, она движется по гиперболе $-3 y0 = x0$ .

Второе уравнение при фиксированном $a$ задает окружность:

(y− 6)2+ (x− a)2 = 4

Центр этой окружности $O(a;6)$ , а радиус $R =2.$ Следовательно, при изменении $a$ центр окружности движется по прямой $y =6$ . Значит, при всех $a ∈ℝ$ это уравнение задает полосу $4≤ y ≤ 8$ . Таким образом, нам необходимо, чтобы уголок находился в таком положении, когда существует хотя бы одна точка пересечения уголка с этой полосой (тогда существует хотя бы одна окружность, с которой уголок имеет общие точки). На рисунке розовым цветом обозначено граничное положение уголка, выше которого общих точек с полосой нет, а фиолетовым — промежуточные положения, когда общие точки имеются:

$PIC$

Заметим, что если вершина уголка находится на ветви гиперболы, находящейся в III четверти, то уголок всегда пересекает полосу. Это задается условием $x0 =a <0$ . Если же вершина уголка находится на ветви, лежащей в I четверти, то требуется найти розовое граничное положение, когда вершина уголка лежит на верхней границе полосы, то есть в точке пересечения гиперболы $y = 3x$ и прямой $y =8 :$