Тема Механика. Кинематика

01 Движение по окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела механика. кинематика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#28010Максимум баллов за задание: 10

В стрелочных часах часовая стрелка совершает полный оборот за $12 ч$ , минутная — за $1 ч$ , секундная — за $1 м ин$ . Часы лежат на горизонтальном столе циферблатом вверх. Стол равномерно поворачивают вместе с часами, вращая его по часовой стрелке (если смотреть на часы сверху, со стороны циферблата) вокруг той же оси, на которую насажены стрелки. Стол делает полный оборот вокруг оси вращения за $3 м ин$ . В полночь все стрелки были направлены на север. Какие значения будут показывать часы в те моменты времени, когда каждая из стрелок окажется направленной на север в следующий раз?

Источники: Всеросс., 2019, ШЭ, 11

Показать ответ и решение

Пусть угловые скорости (измеряемые в $-об- мин$ ) стола, секундной, минутной и часовой стрелок $− ωст ,ωсек ,ωмнн ,ωч$ соответственно. Стрелка в следующий раз окажется направленной на север, когда она сделает полный оборот относительно поверхности Земли. Запишем это условие для секундной стрелки:

(ω + ω )Δt = 1, ст сек сек

где $Δtсек −$ время, за которое секундная стрелка сделает один оборот относительно поверхности Земли. Отсюда:

1 1 3 Δt сек = ----------- = --1-------1--= --ми н = 45 с ωст + ω сек 3 мин + 1 мин 4

Таким образом, в следующий раз секундная стрелка окажется направленной на север, когда часы будут показывать $00 : 00 : 45$ . Запишем аналогичное условие для минутной стрелки:

(ωст + ωм ин )Δt мин = 1,

где $Δtмин −$ время, за которое минутная стрелка сделает один оборот относительно поверхности Земли. Отсюда:

-----1------ -----1------- 60- Δt мин = ω + ω = -1---+ --1---= 21 м ин ≈ 171, 4 с = 2 м ин 51,4 с ст мин 3 мин 60 мин

Таким образом, в следующий раз минутная стрелка окажется направленной на север, когда часы будут показывать $00 : 02 : 51$ . Запишем аналогичное условие для часовой стрелки:

(ωст + ωч )Δt ч = 1,

где $Δt − ч$ время, за которое часовая стрелка сделает один оборот относительно поверхности Земли. Отсюда:

Δt ч = ----1-----= -------1------ = 720-ми н ≈ 179,3 с = 2 ми н 59,3 с ωст + ωч 31 мин-+ 7201 мин 241

Таким образом, в следующий раз часовая стрелка окажется направленной на север, когда часы будут показывать $00 : 02 : 59.$
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие полного оборота для секундной стрелки	2

Записано условие полного оборота для минутной стрелки	2

Записано условие полного оборота для часовой стрелки	2

Выражена искомое время	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28012Максимум баллов за задание: 10

Самолёт ТУ–160 в безветренную на всей Земле погоду стартовал с аэродрома в Санкт-Петербурге. В течение всего времени 27-часового полета самолёт находился на одной и той же высоте и держал одну и ту же по величине скорость $1000 км/час$ , сделав несколько дозаправок в воздухе. Сначала он $6 часов$ летел на юг, затем $10 часов$ на восток, потом $6 часов$ на север, и в последние $5 часов$ полета его скорость была направлена на запад. Сколько ещё времени потребуется самолёту, чтобы с такой же по величине скоростью долететь до родного аэродрома по кратчайшему пути? Санкт-Петербург находится на широте $60∘$ , а радиус Земли равен примерно $6400 км$ .

Источники: МОШ, 2011, 9

Показать ответ и решение

Т.к. вдоль меридианов не происходит вращательного движения Земли, то по истечению всего времени полета самолет окажется на той же широте, что был в момент отлета. С одной стороны понимаем, что дальность полета на восток $L = vt,t = 10 1 2 2$ ч. С другой стороны дальность полета на запад $L = vt ,t = 5 2 3 3$ ч. Выразив эти расстояния так же через радиус Земли и угол широт нахождения, получим, что

L2- ---cos𝜃---- t1V-- L1 = cos(𝜃− Δ 𝜃),Δ𝜃 = R⊕ ,𝜃− изначальная ш ирота

Искомое время $T$ будет выражено следующим образом

L − vt T = --2----3 v

Подставив сюда выражение для $L 2$ , полученное из уравнения на отношения $L2 L1$ , получим

T = --t2cos𝜃---− t3 ≈ 109,2 с. cos(𝜃− tR1V⊕-)

Ответ: 109,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Траектория полета правильно изображена на рисунке (или описана словами). Показано, что конец полета – на той же широте, что и начало	2

Найдена широта полета на восток	2

Показано, что радиус окружности движения самолета на широте $𝜃$ выражается через радиус Земли $R$ как $Rcos𝜃$	1

Найдены изменения долготы самолета при полетах на восток и запад	1

Проведен расчет оставшегося расстояния и времени на оставшийся полет	2

Максимальный балл	8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#28013Максимум баллов за задание: 10

Под каким углом $α$ к горизонту следует бросить камень так, чтобы центр кривизны малого участка траектории в окрестности её высшей точки лежал в той же горизонтальной плоскости, в которой лежит точка старта?

Показать ответ и решение

Максимальная высота полёта камня:

v20-sin2-α h = 2g

В верхней точке траектории:

v = v0 cosα

В данной точке:

v2 v2 2gv2 cos2α a ц = g = ---= ---= ---20--2--- R H v0 sin α

√ -- tgα = 2

α = 55∘

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#28014Максимум баллов за задание: 10

Восьмилопастной винт самолёта фотографируют во время вращения с экспозицией $τ = 0, 02 c$ . На фотографии видно, что за это время каждая лопасть повернулась на половину угла между двумя соседними лопастями. Вычислите угловую скорость $ω$ вращения винта. Если длина лопасти $R = 5,4 м$ , то какова линейная скорость $v$ конца лопасти?

Показать ответ и решение

За время $τ$ каждая лопасть повернётся на угол $φ = 2π- 8⋅2$ .
Тогда угловая скорость равна:

ω = φ-= --2-π----= 19,625 р ад/с τ 16 ⋅ 0, 02

Линейная скорость:

v = ωR = 19,625 ⋅ 5,4 = 106 м/c

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#111708Максимум баллов за задание: 10

Диск катится без проскальзывания с постоянной скоростью $v0$ вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $∘ 30$ с горизонтом. Найдите модуль скорости нижней точки диска.

Источники: Курчатов, 2017, 10

Показать ответ и решение

∘---√-- vн = 2 − 3v0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125167Максимум баллов за задание: 10

Вокруг некоторой звезды, которую для удобства будем называть Солнцем, по круговой орбите движется планета. Период обращения равен $T1 = 110$ земных суток. Планета также вращается вокруг собственной оси, перпендикулярной плоскости орбиты. Период осевого вращения относительно далёких звёзд равен $T = 80 2$ земных суток; направления орбитального и осевого вращений совпадают. Найдите следующие величины:

Продолжительность $T$ солнечных суток на планете (время между двумя последовательными полуднями). Числовой ответ выразите в земных сутках и округлите до целого значения.
Количества оборотов $N1$ и $N2$ , которые планета совершает за время $T$ при орбитальном и осевом вращениях. Числовые значения округлите до десятых.

Подсказка: для наблюдателя на экваторе планеты в полдень Солнце находится в зените.

(Курчатов 2025, 11)

Источники: Курчатов 2025, 11

Показать ответ и решение

Поместим начало координат в центр Солнца и введём вектор $−→ n1$ , направленный вдоль отрезка, соединяющего центры Солнца и планеты. Введём также вектор $−→n2$ , жёстко связанный с планетой и направленный от её центра к произвольной точке на экваторе. Этот вектор участвует в осевом вращении вместе с планетой и определяет положение наблюдателя на экваторе. В дальнейшем нас будут интересовать только направления введённых векторов. Поэтому будем считать их единичными.

$PIC$

Предположим, что в некоторый момент для наблюдателя наступил полдень, то есть Солнце оказалось в зените. В этом случае векторы $−→n 1$ и $−→n 2$ направлены противоположно друг другу. Примем этот момент за начало отсчёта времени, ось $x$ системы координат направим вдоль вектора $−→ n1$ , ось $y$ — в сторону орбитального движения планеты. За время $t$ векторы $−→n1$ и $−→n2$ повернутся относительно своих начальных положений на углы $α$ и $β$ :

α = ω t, β = ω t, 1 2

$ω 1$ и $ω 2$ — угловые скорости орбитального и осевого вращений:

2π- 2π- ω1 = T1, ω2 = T2.

Координаты векторов равны:

−→n1 = (cosα,sin α), −→n2 = (− cosβ,− sin β).

Следующий полдень наступит в момент, когда векторы $−n→1$ и $−→n2$ снова окажутся направленными противоположно. Это условие удобно записать через скалярное произведение:

−→n1−→n2 = − 1.

Переходя к координатам, получаем:

− cosα cosβ − sin αsinβ = − 1, cos(α − β) = 1, α − β = 2πn, ω t− ω t = 2πn, 1 2

( ) ( ) t 2π-− 2π- = 2πn, t -1 − -1 = n −→ t = -T1T2-n. T1 T2 T1 T2 T2 − T1

Здесь $n$ — целое число. Продолжительность солнечных суток является наименьшим положительным значением $t$ . При $T1 ⁄= T2$ оно получается при $n = ±1$ в зависимости от знака разности $T2 − T1$ . Обе возможности можно учесть, взяв модуль разности. Окончательно получаем:

T = -T1T2---= 293суток. |T1 − T2|

Количества оборотов $N1$ и $N2$ определяются значениями углов поворота $α$ и $β$ за время $T$ :

N1 = -α-= -T = ---T2--- = 2,7, N2 = -β-= -T = ---T1---= 3,7. 2π T1 |T1 − T2| 2π T2 |T1 − T2|

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125285Максимум баллов за задание: 10

Вокруг некоторой звезды, которую для удобства будем называть Солнцем, по круговой орбите движется планета. Период обращения равен $T1 = 230$ земных суток. Планета также вращается вокруг собственной оси, перпендикулярной плоскости орбиты. Период осевого вращения относительно далёких звёзд равен $T = 300 2$ земных суток; направления орбитального и осевого вращений противоположны. Найдите следующие величины:

Продолжительность $T$ солнечных суток на планете (время между двумя последовательными полуднями). Числовой ответ выразите в земных сутках и округлите до целого значения.
Количества оборотов $N1$ и $N2$ , которые планета совершает за время $T$ при орбитальном и осевом вращениях. Числовые значения округлите до сотых.

Подсказка: для наблюдателя на экваторе планеты в полдень Солнце находится в зените.

(Курчатов 2025, 10)

Показать ответ и решение

Поместим начало координат в центр Солнца и введём вектор $−→ n1$ , направленный вдоль отрезка, соединяющего центры Солнца и планеты. Введём также вектор $−→n2$ , жёстко связанный с планетой и направленный от её центра к произвольной точке на экваторе. Этот вектор участвует в осевом вращении вместе с планетой и определяет положение наблюдателя на экваторе. В дальнейшем нас будут интересовать толко направления введённых векторов. Поэтому будем считать их единичными.

$PIC$

Предположим, что в некоторый момент для наблюдателя наступил полдень, то есть Солнце оказалось в зените. В этом случае векторы $−→n1$ и $−→n2$ направлены противоположно друг другу. Примем этот момент за начало отсчёта времени, ось $x$ системы координат направим вдоль вектора $−→n 1$ , ось $y$ — в сторону орбитального движения планеты. За время $t$ векторы $−→ n1$ и $−→ n2$ повернутся относительно своих начальных положений на углы $α$ и $β$ :

α = ω1t, β = ω2t,

$ω1$ и $ω2$ — угловые скорости орбитального и осевого вращений:

ω1 = 2π, ω2 = 2π. T1 T2

Координаты векторов равны:

−→ −→ n1 = (cosα,sinα ), n2 = (− cosβ,sin β).

Следующий полдень наступит в момент, когда векторы $−→ n1$ и $−→ n2$ снова окажутся направленными противоположно. Это условие удобно записать через скалярное произведение: