01 Термодинамика процесса - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#49349Максимум баллов за задание: 10

Газообразный гелий из начального состояния 1 сжимают в изобарическом процессе 1–2, а затем газ продолжают сжимать в адиабатическом процессе 2–3. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Найдите работу, совершённую над газом в адиабатическом процессе, если в изобарическом процессе от газа пришлось отвести $Q = 1500 Д ж$ тепла.

(«Физтех», 2010)

Источники: Физтех, 2010

Показать ответ и решение

Так как температуры в состояниях 1 и 3 равны, то $νRT3 = νRT1 = p1V1 = p3V3$
Запишем первый закон термодинамики для процесса 1–2

Q = ΔU1 −2 + A1 −2 ⇒ Q = 3-νR (T2 − T1 ) + p(V2 − V1 ) ⇒ Q = 5νR (T2 − T1), 2 2

где $ΔU1 −2$ – изменение внутренней энергии, $A1− 2$ – работа газа.
Пусть работа над газом в процессе 2–3 равна $A2−3$ . Для процесса 2–3 первый закон термодинамики запишется в виде

3- 3- 3- 3- 2νR (T3 − T2) − A2−3 = 0 ⇒ A2− 3 = 2νR (T3 − T2) = 2 νR (T2 − T1) = 5Q = 900 Д ж

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#49350Максимум баллов за задание: 10

Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изохоры 1–2, участка 2–3 линейной зависимости давления от объёма и изобары 3–1 (см. рисунок; координаты точек 1, 2 и 3 указаны). Рабочим веществом служит одноатомный идеальный газ. Вычислите КПД этого двигателя.

Показать ответ и решение

Работа газа за цикл равна площади треугольника

A = 2p0V0

Найдем количество теплоты, полученное газом, в каждом процессе

3- Q1 −2 = ΔU1 − 2 = 2(3p0V0 − p0V0) = 3p0V0

Найдем критическую точку, до которой еще подводится тепло, для этого введем уравнение прямой

p(V-) −-3p0 = V--−-V-−-0-⇒ p(V ) = − p0V + 4p p0 − 3p0 3V0 − V0 V0 0

Тогда $pV = − p0-V 2 + 4p V V0 0$ или в приращениях $Δ (pV ) = − 2p0V ΔV + 4p ΔV V0 0$
Тогда количество теплоты

3 3p p ΔQ = -Δ (pV ) + p(V)ΔV = − --0V ΔV + 6p0ΔV − --0V ΔV + 4p0ΔV 2 V0 V0

Чтобы $ΔQ$ было положительным, должно быть выполнено условие $10 Vk < --V0 = 2,5V0 4$ . Тогда давление равно $pk = 1,5p0$ . Тогда количество теплоты получено на участке $2 − k$

3 3p + 1,5p 9 Q2− k = ΔU2 −k + A2− k = -(3,75p0V0 − 3p0V0 ) + --0-------0(2,5V0 − V0) = -p0V0 2 2 2

Q = ΔU + A = 3(p V − 3p V ) − 2p V < 0 3− 1 3−1 3−1 2 0 0 0 0 0 0

Откуда КПД

η = -----A-------= 4-- Q1 −2 + Q2−k 15

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#49569Максимум баллов за задание: 10

Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изохоры, изобары и участка прямо пропорциональной зависимости давления $P$ от объема $V$ (см. рис.). Рабочее вещество — одноатомный идеальный газ.
1. Найти отношение молярных теплоемкостей на тех участках цикла, где происходило повышение температуры газа.
2. Найти в изобарном процессе отношение количества теплоты, полученной газом, к работе газа.
3. Найти предельно возможное максимальное значение КПД такого цикла.

Источники: Физтех, 2020, 11

Показать ответ и решение

1) Увеличение температуры происходит на участках 1–2 и 2–3. Так как участок 1–2 – изохорный процесс, 2–3 – изобарный:

C12-= CV-= 3- C23 CP 5

2) Выразим тепло, полученное газом и работу газа через разность температур в точках 1 и 2:

Q23-= νCP-(T3-−-T2)-= νCP-(T3-−-T2)-= CP- = 5- A23 P2(V3 − V2) νR (T3 − T2) R 2

3) Работа газа за цикл, с учётом прямой пропорциональности на участке 1–3: $P(V ) = αV$ , также пусть $V3 = kV1$ :

A = 1-(P − P )(V − V ) = 1αV 2(k − 1)2 2 3 1 3 1 2 1

Тепло, полученное газом за цикл:

3 1 Q123 = -νR (T3 − T1 ) + P3 (V3 − V1) =--αV12(k − 1)(5k + 3) 2 2

Тогда КПД цикла:

A k − 1 1 ( 8 ) η = -----= -------= -- 1 − ------- Q123 5k + 3 5 5k + 3

КПД будет максимальным, при $k → ∞$ :

1- ηmax = 5(1 − 0) = 0,2

Ответ:

$ηmax = 0,2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула количества теплоты	2

Формула работы газа	2

Первый закон термодинамики	2

Формула КПД	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#49570Максимум баллов за задание: 10

С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух адиабат. В процессе адиабатического расширения газ совершает работу $A$ , а процессе изохорического нагревания к газу подводят количество теплоты $Q$ . КПД цикла равен $η$ . Найдите отношение изменений температуры в процессах адиабатического расширения и сжатия.
(«Физтех», 2012)

Источники: Физтех, 2012

Показать ответ и решение

Найдем работу газа $A ′$ в процессе адиабатического сжатия

A-+-A-′ ′ η = Q ⇒ A = ηQ − A

Так как процессы адиабатические, то $Q = 0$ , откуда

ΔU = A ⇒ 3νR ΔT = A 2

Тогда отношение температур

ΔT1-- A-- ---A---- ΔT2 = A ′ = ηQ − A

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#49571Максимум баллов за задание: 10

Тепловая машина работает по замкнутому циклу (см. рисунок). Процесс 1-2 – изобарический; 2-3 – адиабатический; 3-1 – изотермический. Рабочее вещество – $ν$ молей одноатомного идеального газа. В процессе 1-2 объём газа увеличивается в $β = 5$ раз. В процессе изотермического сжатия от газа отводится количество теплоты $Q$ ( $Q > 0$ ). Во всём цикле 1-2-3-1 машина совершает работу $A$ . Найти максимальную температуру газа в цикле.
(«Физтех», 2007)

Источники: Физтех, 2007

Показать ответ и решение

Пусть $T1 = T3 = T$ , тогда $T2 = βT = 5T$ . Работа газа за цикл равна:

A = A12 + A23 + A31

На участке 1-2 процесс изобарный:

A = p (V − V ) = 4p V = 4νRT 12 1 2 1 1 1

На участке 2-3 процесс адиабатный, то есть $Q23 = 0$ . Тогда из первого начала термодинамики следует:

3 A23 = − ΔU23 = − -νR (T − 5T) = 6νRT, 2

На участке 3-1 процесс изотермический, то есть $ΔU31 = 0$ . Тогда из первого начала термодинамики следует:

A31 = − Q

Тогда:

A + Q A = 10νRT − Q ⇒ T = ------- 10νR

Но максимальная температура равна $5T$ , то есть

Tmax = A-+-Q-- 2νR

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#49572Максимум баллов за задание: 10

С идеальным газом проводят циклический процесс 1–2–3–4–1, состоящий из двух изотерм (1–2 и 3–4) и двух изобар (2–3 и 4–1; см. рисунок). Известно, что отношение температур на изотермах 1–2 и 3– 4 равно $T ∕T = 2 34 12$ , а на участке изотермического расширения газ получал в 3 раза больше тепла, чем на участке изобарического нагревания 2–3. Найти КПД цикла.

Источники: Росатом, 2017, 11

Показать ответ и решение

Пусть на участке изобарического нагревания 2-3 газ получил количество теплоты $Q$ . Тогда на участке изотермического расширения 3-4 газ получил количество теплоты $3Q$ . И, следовательно, количество теплоты, полученное от нагревателя, в течение цикла, равно

QH = 4Q

Найдем работу газа за цикл. Очевидно, работа газа на участке 2-3 и работа газа на участке 4-1 равны по модулю. Действительно, работа газа в изобарическом процессе при давлении $p$ с изменением объема $ΔV$ равна

A = pΔV = νR ΔT,

т.е. определяется только разностью начальной и конечной температур, которая в процессах 2-3 и 4-1 отличается только знаком. Поэтому работа газа за цикл равна $Aцикла = A3−4 + A1 −2.$ Работу газа в этих процессах найдем как площадь под графиком зависимости давление от объема. Очевидно, эти площади отличаются в 2 раза. Действительно, из закона Клапейрона-Менделеева следует, что объем газа в состоянии 3 в два раза больше объема в состоянии 2: $V = 2V 3 2$ , а объем в состоянии 4 в два раза больше объема в состоянии 1: $V4 = 2V1$ . Следовательно, изменение объема газа в процессе 3-4 в два раза больше изменения объема газа в процессе 1-2: $ΔV1 −2 = 2ΔV3 − 4.$ Поэтому если разбить изменение объема $ΔV1 −2$ на малые элементы $ΔVi$ , то изменение объема $ΔV3 −4$ можно разбить на такое же количество элементов, каждый из которых вдвое больше соответствующего элемента $ΔVi − 2ΔVi$ , а давление газа в пределах соответствующих элементов одинаковое. В результате для работы газа имеем

A1 −2 = − 2A3− 4

А поскольку процесс 3-4 изотермический, работа газа равна количеству теплоты, полученному в этом процессе: $A3 −4 = 3Q.$ Отсюда получаем $A цикла = 3Q − 3Q ∕2 = 3Q ∕2.$ Поэтому КПД цикла есть

A 3Q ∕2 3 η = --цикла-= ------= --= 0,375 QH 4Q 8

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#49573Максимум баллов за задание: 10

С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс, состоящий из изохоры (1–2), адиабаты (2–3) и изобары (3–1). Известно, что в изохорическом процессе давление газа возросло в два раза. Найти КПД цикла.
Указание. В адиабатическом процессе давление одноатомного идеального газа и его объём связаны соотношением $5∕3 pV = const$ .
(«Росатом», 2013, 11)

Источники: Росатом, 2013, 11

Показать ответ и решение

КПД циклического процесса можно найти как

QH--−-QX-- η = Q H

Газ получает тепло в процессе 1-2, отдает – в процессе 3-1. Применяя к процессу 1-2 первый закон термодинамики, найдем количество теплоты, полученное от нагревателя

3 3 3 QH = 2-νR ΔT = 2-V1(2p1 − p1) = 2p1V1,

где $p1$ и $V1$ – давление и объем газа в состоянии 1. Применяя первый закон термодинамики к процессу 3-1, найдем количество теплоты, отданное холодильнику

5- 5- QX = 2 νR ΔT = 2 p1(V3 − V1),

где $V3$ - объем газа в состоянии 3. Из уравнения адиабатического процесса

2p1V15∕3 = p1V35∕3

Получаем $3∕5 V3 = 2 V1$ . Отсюда находим $QX$ и КПД цикла

2(3-p1V1 − 5p1V1(23∕5 − 1)) 5(23∕5 − 1) η = ---2-------2---------------= 1 − ----------- 3p1V1 3

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#69829Максимум баллов за задание: 10

В цикле 1-2-3-4-1 тепловой машины две изобары и две изотермы (см. рис). Рабочее вещество — одноатомный идеальный газ. В процессе изобарного расширения до удвоения объема газ совершает работу $A$ . Такую же работу $A$ совершает газ при изотермическом расширении.
1. Найдите количество $Q подв$ теплоты, подведенной к газу в процессах 1-2-3.
2. Найдите количество $Q34$ теплоты, отведенной от газа в процессе изобарического сжатия ( $Q34 > 0$ ).
3. Найдите КПД $η$ цикла.

Источники: Физтех, 2023, 10

Показать ответ и решение

1) Пусть $p1,V1,T1$ – давление, объем и температура газа в состоянии 1, а $ν$ – количество вещества газа. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояния 1:

p1V1 = νRT1

Распишем работу газа при изобарическом расширении до удвоенного объема:

A = p1ΔV1 −2 = p1(2V1 − V1) = p1V1

По закону Гей-Люссака для процесса 1-2:

V1 2V1 --- = ----⇒ T2 = 2T1 T1 T2

где $T2$ – температура газа в состоянии 2.
Тогда изменение внутренней энергии газа в процессе 1-2:

3 3 3 3 3 ΔU1 −2 = --νR ΔT1 −2 = -νR (2T1 − T1 ) = -νRT1 = --p1V1 = --A 2 2 2 2 2

По первому началу термодинамики:

Q = ΔU + A = 5-A 1−2 1−2 2

При изотермическом расширении изменение внутренней энергии равно нулю, тогда:

Q2 −3 = A

Количество теплоты, подведенное к газу в процессе 1-2-3:

Q = Q + Q = 7-A подв 1− 2 2−3 2

2) Пусть $p3,V3,T3$ – давление, объем и температура газа в состоянии 3. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояния 3:

p3V3 = νRT3

По закону Бойля-Мариотта для процессов 2-3 и 4-1:

p1 ⋅ 2V1 = p3V3,

p1V1 = p3V4,

где $V4$ – объем газа в состоянии 4.
Поделив одно уравнение на другое получим:

V3- V4 = 2

По закону Гей-Люссака для процесса 3-4:

2V4 V4 T3 ---- = ---⇒ T4 = --, T3 T4 2

где $T4$ – температура газа в состоянии 4.
По первому началу термодинамики:

3 ( T ) ( V ) 3 1 5 Q3 −4 = ΔU3 −4 + A3 −4 = -νR -3-− T3 + p3 -3-− V3 = − -νRT3 − -p3V3 = − --p3V3 2 2 2 4 2 4

Поскольку процесс 2-3 изотермический:

T2 = T3 = 2T1

Тогда исходя из уравнения Менделеева-Клапейрона для состояний 1 и 3:

p3V3 = 2p1V1

Модуль количества теплоты, отведенного от газа в процесса 3-4:

5- 5- |Q3 −4| = 2p1V1 = 2A

3) При изотермическом сжатии изменение внутренней энергии равно нулю, тогда:

∫ V1 Q = A = p(V )dV 4−1 4− 1 V4

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

νRT p(V) = ----- V

Тогда:

∫ V1 A = νRT dV- = νRT ln 2V1- 4−1 1 V4 V 1 V3

Аналогично:

∫ V3 dV V3 A = A2− 3 = νRT3 --- = 2νRT1 ln ---- V2 V 2V1

Отсюда:

A2−-3 A- A4 −1 = − 2 = − 2

Модуль количества теплоты, отведенного от газа в процессе 3-4-1:

|Q отв| = |Q3−4| + |Q4 −1| = 3A

КПД цикла:

|Qотв| 6 1 η = 1 − ------= 1 − --= --≈ 0,14 Q подв 7 7

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#119256Максимум баллов за задание: 10

Над одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс, показанный на рисунке. Начальная температура газа $T0 = 200 К.$ Универсальная газовая постоянная $R = 8,31 Д ж/(моль⋅ К ).$
1. Чему равна температура $T ? 1$ Ответ укажите в градусах Кельвина, округлив до целого числа.
2. Найдите работу, совершённую газом в этом процессе. Ответ укажите в кДж, округлив до десятых долей.
3. Найдите количество теплоты, полученное газом в этом процессе. Ответ укажите в кДж, округлив до десятых долей.

Показать ответ и решение

1. График процесса $1 − 2$ проходит через начало отсчета, это означает, что перед нами процесс прямой пропорциональности:

2V T --0 = -1 ⇒ T1 = 2T0 = 400 К V0 T0

2. Процесс изобарный, запишем выражение для работы газа: $A = PΔV$ . Воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева и получим:

A = νRΔT = νR(2T0 − T0) = νRT0 = 1662 Дж

Обратите внимание, что эта формула работает только для изобарного процесса.

3. Запишем первое начало термодинамики, подставим в него выражение для изменения внутренней энергии одноатомного газа:

Q = ΔU + A = νR ΔT + 3 νRΔT = 5νRΔT = 5νRT = 4155 Дж 2 2 2 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#119258Максимум баллов за задание: 10

Один моль гелия нагревают в процессе, показанном на диаграмме ( $V$ — объём, $T$ — абсолютная температура), увеличивая его объём в два раза.
Найдите работу, совершённую газом, и подведённое к нему количество теплоты, если начальная температура гелия $T0 = 300 К.$

(МОШ, 2017, 11)

Источники: МОШ, 2017, 11

Показать ответ и решение

1. Поймем, что за процесс перед нами. Видно, что объем прямо пропорционален корню из температуры.

2 V ∝ T

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева:

P V = νRT ⇒ PV ∝ T

Отсюда получаем: $2 PV ∝ V ⇒ P ∝ V$

2. Изобразим процесс в координатах $P(V )$ :

Запишем выражение для работы газа как площадь под графиком процесса в координатах $P (V)$ :

A = 1P2V2 − 1P1V1 ⇒ A = 1 νR(T2 − T1) 2 2 2

Известно, что в течение процесса $1− 2$ объем возрастает в $2$ раза. Так как $P ∝ V$ , объем за процесс также вырастает в 2 раза. Но $PV ∝ T$ , отсюда $T2 = 4T0$ .

Получаем окончательно:

A = 3νRT = 3,74 кД ж 2 0

3. Чтобы выразить $Q$ , запишем первое начало термодинамики:

3 3 Q = ΔU + A = -νR (4T0 − T0) + -νRT0 = 6νRT0 = 15 кДж 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#119262Максимум баллов за задание: 10

Гелий в количестве $ν$ моль расширяется от температуры $T1$ в изобарическом процессе $1 − 2,$ а затем сжимается в процессе $2 − 3$ с прямо пропорциональной зависимостью давления $p$ от объёма $V,$ возвращаясь к начальному объёму (см. рисунок). Отношение объёмов $V ∕V = 2. 2 1$
1) Найти температуры в состояниях $2$ и $3.$
2) Найти работу, совершённую газом в процессе $1− 2 − 3.$
3) Найти суммарное количество теплоты, полученное газом в процессе $1− 2 − 3.$

(«Физтех», 2016, 10-11)

Источники: «Физтех», 2016, 10-11

Показать ответ и решение

Имеем:

V1 = V3 = V2∕2.Т.к. зависим ость 2-3 прямая, то P1 = P2 = 2P3

$PIC$

1) При изобарном процессе 1-2:

T V 1 -2 = -2 = - ⇒ T2 = 2T1 T1 V1 2

На участке $2− 3$

P2V2- P3V3- P3V3T2- 1 T2 = T3 ⇒ T3 = P2V2 = 2T1.

2) Работа на участке 1-2:

A12 = Cpν(T2 − T1) = νRT1

Работу на участке 2-3 найдём как площадь под графиком:

A = P3 +-P2(V − V ) = − 3 νRT 23 2 3 2 4 1

Общая работа:

1 A123 = A12 + A23 = 4νRT1

3) Суммарное количество теплоты найдём как сумму изменения внутренней энергии и общей работы:

3 1 Q = ν- R(T3 − T1)+ A123 = −-νRT1 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#119269Максимум баллов за задание: 10

Лёгкий подвижный поршень разделяет теплоизолированный сосуд на две части. В одной находится $m1 = 3 г$ водорода при температуре $T10 = 300 К,$ а в другой – $m2 = 16 г$ кислорода при температуре $T20 = 400 К.$ Молярные массы водорода и кислорода равны $μ = 2 кг/кмоль 1$ и $μ = 32 кг/кмоль, 2$ $R = 8,31 Дж/ (К ⋅ моль).$ Поршень слабо проводит тепло и температура в сосуде постепенно выравнивается, все процесс происходят квазистатически.
1) Чему равна равновесная температура $T$ системы?
2) Чему равно отношение конечного давления $Pf$ к начальному давлению $Pi$ ?
3) Чему равно количество теплоты $Q,$ которое отдаст кислород водороду к моменту, когда поршень перестанет двигаться?

Источники: APhO, 2006

Показать ответ и решение

По условию задачи тепло передается медленно. Значит, давления на поршень с двух сторон практически равны, т.е. в любой момент времени $P1 = P2$ :

m T m T T T -1-1-= ----2-2--- или V1-1 = V2---2--, (1) μ1V1 μ2(V − V1) V1 V − V1

где $T1,T2$ - температуры соответственно водорода и кислорода, $V1$ и $(V − V1)$ - объемы, занимаемые газами ( $V$ - объем сосуда) в данный момент.

$PIC$

Внутренняя энергия двухатомного газа равна $52νRT$ . Согласно закону сохранения энергии,

5ν1R(T∗1 − T1) = 5ν2R(T2∗− T2)(2) 2 2

Из уравнений (1) и (2) получаем

T∗1 ν1T1 + ν2T2 V--= ---ν-V---- = const 1 1

Иными словами, давление $p 1$ в левой части сосуда, где находится водород (а значит, и давление $p 2$ в правой части, где находится кислород), в процессе не меняется, т. е. процесс передачи тепла происходит изобарически. Поршень перестанет двигаться, когда температуры водорода и кислорода станут одинаковыми. К этому моменту, согласно закону сохранения энергии,

5ν R(T − T ) = 5 νR (T − T) 2 1 1 2 2 2

( $T$ - установившаяся в сосуде температура), откуда

ν1T1-+ν2T2 T = ν1 +v2 = 325K

Количество теплоты, отданное кислородом, равно сумме изменения его внутренней энергии $52ν2R(T2 − T)$ и совершенной над ним работы $νR (T − T) 2 2$ :

7 Q = 2v2R (T2 − T) ≈ 1090Д ж.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#119861Максимум баллов за задание: 10

В горизонтальном цилиндрическом сосуде длиной $l$ находятся два подвижных поршня, делящих сосуд на три герметичных отсека. В каждом отсеке содержится идеальный газ при одинаковой температуре, объемы отсеков также одинаковы (см. рисунок). Абсолютную температуру газа в левом отсеке увеличивают вдвое, в двух других температуру поддерживают неизменной. На сколько сместятся поршни?

$PIC$

(Росатом 2025, 11)

Показать ответ и решение

Так как поршни подвижны, давление в отсеках одинаковое. А поскольку в начальном состоянии по условию одинаковы объемы и температуры газов, то в каждом отсеке содержится одинаковое количество вещества газа.

После нагревания газа в левом отсеке давление газа в нем увеличится, и поршни сместятся вправо. При этом давление газа во всех трех отсеках сосуда должно быть одинаковым, поскольку поршни подвижны. А поскольку температура и количество вещества газа в среднем и правом отсеках одинаковы, то при одинаковых давлениях у этих отсеков должен быть одинаковый объем. Поэтому, если правый поршень сместился вправо на величину $Δx$ , уменьшая объем правого отсека и увеличивая объем среднего на величину $SΔx$ , то левый поршень подвинется вправо на величину $2Δx$ так, чтобы объем среднего отсека также уменьшился на $S Δx$ ( $S$ — площадь сечения сосуда).

Учтем равенство давлений газа в левом и среднем отсеках. Выражая давления газа в левом и среднем отсеках из закона Клапейрона-Менделеева, получим:

νR ⋅2T νRT --------- = -------- V + 2ΔxS V − ΔxS

где $ν$ — количество вещества газа в каждом отсеке, $V = lS- 3$ — объем каждого отсека до нагревания, $T$ и $2T$ — температура газов до нагревания, и температура газа в левом отсеке после нагревания.

2l∕3 − 2Δx = l∕3 +2Δx

Отсюда находим перемещение правого и левого поршней соответственно:

Δx = -l, Δx = 2Δx = l 12 л 6

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#120161Максимум баллов за задание: 10

Неподвижная теплопроводящая перегородка $A$ делит объём теплоизолированного цилиндра на два отсека, в которых находится по $ν$ моль гелия.
Во втором отсеке газ удерживается подвижным теплоизолированным поршнем $B.$ Наружное атмосферное давление равно $p0.$ В начальном состоянии температура гелия в первом отсеке больше, чем во втором. В результате медленного процесса теплообмена через перегородку температура в отсеках начинает выравниваться, а поршень перемещается. По окончании процесса теплообмена объём гелия во втором отсеке увеличивается на $ΔV.$ Трением поршня о цилиндр, теплоёмкостью стенок цилиндра и поршня пренебречь.
1) Найдите отношение модулей изменения температуры в первом и втором отсеках после окончания теплообмена.
2) Найдите изменение температуры в первом отсеке.

(«Физтех», 2015, 11)

$PIC$

Источники: «Физтех», 2015, 11

Показать ответ и решение

1. В левой части сосуда происходит изохорный процесс ( $V = Const$ ) (т. к. перегородка неподвижна), в правой части сосуда происходит изобарный процесс ( $P = Const$ )

|ΔU1| = ΔU2 +A2

2. Поймем, как соотносятся $ΔU$ и $A$ в изобарном процессе:

( ||Q = ΔU + A |{ |A = P ΔV = νRΔT ||(ΔU = 3νR ΔT 2

В связи с этим: $ΔQU- = 53, QA-= 52$

3. Теперь нам известно, как соотносятся $ΔU$ и $A$ в изобарном процессе. Воспользуемся результатом первого пункта и получим:

2 5 |ΔU1 | = ΔU2 + 3ΔU2 ⇒ |ΔU1 | = 3ΔU2

Тогда получаем ответ на первый вопрос задачи:

3 5 3 |ΔT1-| 5 2 νR|ΔT1| = 3 ⋅2 νRΔT2 ⇒ ΔT2 = 3

3. Для изобарного процесса: $P0 ΔV = νR ΔT2 ⇒ ΔT2 = P0ΔνVR--$

Тогда воспользуемся ответом на первый пункт:

5 P0ΔV-- |ΔT1| = 3 ⋅ νR

Ответ:

$|ΔT1 | 5 5 P0ΔV 1) ΔT---= 3, 2) |ΔT1| = 3 ⋅-νR- 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#120164Максимум баллов за задание: 10

Постоянное количество идеального газа участвует в процессе, диаграмма которого показана на рисунке в координатах давление-объём. Известно, что при изохорном нагревании газ получает количество теплоты, равное $Q = 60 кД ж,$ а после изобарного расширения температура газа становится в $n = 9$ раз больше наименьшей (для всего процесса). Найдите работу газа при адиабатическом расширении. Линии, показанные пунктиром — прямая, проходящая через начало координат, и изотерма.

$PIC$

Показать ответ и решение

1. Процесс $3− 4$ адиабатический, из этого следует $Q34 = 0$ , тогда из первого начала термодинамики $ΔU34 = − A34$ .

Из условий задачи также известно: $Q12 = Q = 60 кД ж$ , $T3 = nT1 = 9T − 1$

2. Формально процесс $1− 3$ — процесс прямой пропорциональности. Воспользуемся этим и запишем уравнение Клапейрона-Менделеева в точках $1$ и $3$ :

({ P0V0 = νRT1 (αP0 ⋅αV0 = νRT3

Тогда из известного соотношения температур делаем вывод: $α = 3$ . Воспользуемся тем, что через точки $2$ и $4$ проходят изотрема, запишем соотношения $T2 = αT1 = 3T1 = T4$ .

3. Рассмотрим изохорный процесс $1− 2$ и воспользуемся соотношением $T1 = 3T1$ :

Q12 = U2 − U1 = 3U1 − U1 = 2U1

Возвращаемся вычислению $A 34$ :

A = 9U − 3U = 6U = 3Q 34 1 1 1 12

Получаем окончательно:

Q = 180 кДж

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#120168Максимум баллов за задание: 10

Длинный горизонтальный цилиндр с одной стороны наглухо закрыт, а с другой открыт в окружающую среду. В цилиндре может двигаться без трения тяжёлый поршень. Между поршнем и закрытым торцом цилиндра находится идеальный одноатомный газ, занимающий объём $V = 1,5 л 0$ при внешнем давлении $P . 0$ Внешнее давление мгновенно уменьшают до значения $P1 = (1 − α )P0,$ где $α = 0,2,$ и поддерживают его постоянным до полной остановки поршня и перехода газа в новое состояние равновесия с давлением $P1.$ Далее внешнее давление скачком увеличивают до начального значения $P0$ и поддерживают его постоянным до перехода газа в конечное равновесное состояние, в котором газ занимает некоторый объём $VK$ при давлении $P0.$ Считая, что стенки цилиндра и поршень не проводят тепло, найдите разность объемов $ΔV = VK − V0.$ Числовой ответ выразите в кубических сантиметрах.

(«Курчатов», 2019, 11)

Источники: «Курчатов», 2019, 11

Показать ответ и решение

Рассмотрим переход газа из начального состояния $0$ в промежуточное равновесное состояние $1$ . Параметры газа, относящиеся к этим состояниям, будем отмечать индексами $0$ и $1$ .

$PIC$

Запишем первое начало термодинамики:

3 3 0 = -νRT1 − -νRT0 + A01, 2 2

$R$ — универсальная газовая постоянная, $ν$ — число молей газа, $A 01$ — работа силы давления газа на поршень. Далее рассмотрим баланс энергии для поршня. Так как его механическая энергия не изменилась, то

′ 0 = A01 + A01.

Здесь $A′01$ — работа силы внешнего давления:

′ A 01 = − P1(V1 − V0).

Эта работа отрицательная, поскольку сила внешнего давления действует против направления движения поршня. Используя также уравнение состояния газа

P0V0 = νRT0, P1V1 = νRT1,

находим объём $V1$ :

A = − A ′ = P (V − V ), 01 01 1 1 0

0 = 3P1V1 − 3P0V0 + P1(V1 − V0) =⇒ 0 = 3P1V1 − 3P0V0 + 2P1V1 − 2P1V0, 2 2

V0(3P0 +-2P1) V0(5-−-2α) 5P1V1 = 3P0V0 + 2P1V0 =⇒ V1 = 5P1 = 5(1 − α) .

Рассмотрим теперь переход газа из состояния $1$ в конечное состояние. Параметры газа, относящиеся к конечному состоянию, будем отмечать индексом $K$ . Запишем первое начало термодинамики:

3 3 0 = 2νRTK − 2νRT1 + A1K,

$A1K$ — работа силы давления газа на поршень. Так как механическая энергия поршня не изменилась, то

0 = A1K + A′1K,

$A ′1K$ — работа силы внешнего давления:

A ′1K = P0(V1 − VK).

В данном случае работа положительна, поскольку сила внешнего давления действует по направлению движения поршня. Используя также соотношение

P0VK = νRTK

и полученное выше значение $V1$ , находим объём $VK$ :

′ A1K = − A 1K = − P0(V1 − VK ),

0 = 3P V − 3P V − P (V − V ) =⇒ 0 = 3P V − 3P V − 2P V + 2P V , 2 0 K 2 1 1 0 1 K 0 K 1 1 0 1 0 K

V1(3P1 +-2P0) V0(5−-2α)(5−-3α) 5P0VK = 3P1V1 + 2P0V1 =⇒ VK = 5P0 = 25(1− α) .

Разность конечного и начального объёмов равна:

[ ] 2 ΔV = VK − V0 = V0 (5-−-2α)(5-−-3α-)− 1 = -6α-V0--= 18 см3 25(1 − α ) 25(1 − α)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#120170Максимум баллов за задание: 10

У идеального одноатомного газа в некотором процессе давление увеличилось на $2%,$ а объём уменьшился на $1%.$ В этом процессе относительные изменения давления, объёма и температуры считать намного меньше единицы.
1. Как и на сколько процентов изменилась температура газа?
2. Найти в этом процессе отношение полученной газом теплоты к работе газа

(«Физтех», 2021, 10)

Источники: «Физтех», 2021, 10

Показать ответ и решение

1. Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начала и конца процесса:

( { P0V0 = νRT0 ( 1,02P ⋅0,99V = νRT 0 0 2

Получаем соотношение

T2 = 1,0098T0

Снова пишем уравнение Клапейрона-Менделеева. Выразим $d(PV )$ :

PV = νRT; d(P V) = dP ⋅V + P ⋅dV = νRdT

Поделим уравнение Клапейрона-Менделеева на уравнение в малых приращениях:

P-dV- V-dP- νRdT- dV- dP- dT- PV + PV = νRT ⇒ V + P = T

Отношения $dVV, dPP$ известны из условия задачи:

Тогда получаем окончательно:

ΔT- = − 0,01 + 0,02 = 0,01 T0

2. Ответим на второй вопрос задачи:

3 Q-= -2νRΔT-+-P-ΔV- A PΔV

Положим изменение давления в процессе пренебрежимо малым, тогда имеет место: $P ΔV = νR ΔT$

( ) ( ) Q-= 3 νRΔT--+ 1 = 3 PΔV-+-VΔP--+ 1 = 3 1+ -V--⋅ ΔP- + 1 = 3 1− --1- ⋅0,02 + 1 = − 1 A 2 P ΔV 2 P ΔV 2 ΔV P 2 0,01 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#120174Максимум баллов за задание: 10

Один моль жидкой воды при температуре $t1 = 0∘C$ находится в длинном горизонтальном цилиндре, закрытом поршнем. Эту воду можно перевести в пар при температуре $t2 = 100∘C$ двумя путями. Первый путь: сначала этому количеству воды предоставляют при $0∘C$ такой объём, что вся вода переходит в пар, то есть проводят изотермическое расширение, а затем проводят изохорный процесс, при котором водяной пар нагревают до $∘ 100 C.$ Второй путь: сначала проводят изохорное нагревание воды до $100∘C,$ а затем изотермически увеличивают объём до тех пор, пока вся вода не превратится в пар. Найдите количества теплоты, которые нужно подвести к воде в первом и во втором случае. При решении задачи можно считать, что молярная теплота испарения воды при атмосферном давлении равна $L = 40,7 кДж/ моль$ и не зависит от температуры. Молярная теплоёмкость жидкой воды $C = 75,7 Дж/ (м оль⋅K).$ Давление насыщенного пара воды при $0∘C$ равно $p1 = 0,6 кПа,$ универсальная газовая постоянная $R = 8,31 Д ж/(моль ⋅K ).$

(«Курчатов», 2016, 11)

Источники: «Курчатов», 2016, 11

Показать ответ и решение

Согласно первому началу термодинамики, количество подведённой теплоты $Q$ к системе равно сумме изменения внутренней энергии $ΔU$ и работы $A$ , совершённой системой над внешними телами:

Q = ΔU + A.

Рассмотрим два различных процесса превращения воды в водяной пар при температуре $100∘C$ , в результате которых в обоих случаях получается $1$ моль водяного пара. Изменение внутренней энергии $ΔU$ будет одинаковым, так как начальное и конечное состояния системы совпадают. Однако различаются работы, совершаемые системой в каждом случае. Поэтому разность количеств подведённой теплоты в этих процессах определяется разностью работ:

Q2 − Q1 = A2 − A1.

Объём водяного пара значительно превышает объём того же количества воды в жидком состоянии. Следовательно, при изотермическом расширении пар совершает работу, которую можно оценить как:

Ai = PiΔVi ≈ νRTi,

где $Pi$ — давление пара, $ΔVi$ — изменение объёма при испарении, $ν = 1$ моль — количество вещества, $Ti$ — температура пара

Рассчитаем количество теплоты, которое необходимо подвести к воде во втором случае (нагревание от начальной температуры $t1$ до $100 ∘C$ и последующее испарение):

Q2 = (C ⋅(t2 − t1) + L)⋅1 моль ≈ 48,3 кД ж,

где $C$ — удельная теплоёмкость воды, $L$ — удельная теплота парообразования (включает как изменение внутренней энергии воды, так и работу, совершаемую паром при испарении)

В первом же случае пар не расширяется, и работа при переходе в газообразное состояние меньше. Тогда количество теплоты $Q1$ , подведённой в первом случае:

Q1 = Q2 − A2 + A1 ≈ Q2 − νRT2 + νRT1 ≈ 47,4 кД ж.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#120176Максимум баллов за задание: 10

Цилиндрический теплоизолированный горизонтально расположенный сосуд разделен на два отсека теплопроводящим поршнем, который может перемещаться горизонтально без трения. В первом отсеке находится азот, во втором – кислород, каждый газ в количестве $ν = 3∕7$ моль. Начальная температура азота $T = 300 К, 1$ а кислорода $T = 500 К. 2$ Температуры газов начинают медленно выравниваться, а поршень начинает медленно двигаться. Газы считать идеальными с молярной теплоемкостью при постоянном объеме $CV = 5R ∕2. R = 8,31 Дж/ (м оль⋅К).$
1) Найти отношение начальных объемов азота и кислорода.
2) Найти установившуюся температуру в сосуде.
3) Какое количество теплоты передал кислород азоту?

(«Физтех», 2022, 11)

Источники: «Физтех», 2022, 11

Показать ответ и решение

1) Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого газа:

P0V01 = νRT1 и P0V02 = νRT2

$PIC$

Отсюда получаем соотношение объёмов:

V T 3 -01 = -1 = - V02 T2 5

2) По закону сохранения энергии для системы двух газов:

νCV T1 + νCV T2 = (ν + ν)CV T

Упрощая, находим конечную температуру:

T = 1(T1 + T2) = 400 K 2

3) Покажем, что давление $p$ остаётся постоянным. При нагревании газов совершается работа при перемещении поршня в обоих частях сосуда. Для каждого из газов можно записать:

pΔV +V Δp = νR ΔT , pΔV + V Δp = νR ΔT 1 1 1 2 2 2

Из уравнения теплового баланса:

νCVΔT1 + νCV ΔT2 = 0

Подставляя первые уравнения, получаем:

pΔV1 +V1Δp + pΔV2 + V2Δp = 0

Т.к. объём сосуда постоянен, то $ΔV1 + ΔV2 = 0$ . Подставляя это соотношение, получаем:

(V1 + V2)Δp = 0

Так как $V1 + V2 ⁄= 0$ , то $Δp = 0$ , что означает $p = const$ .

Тогда количество теплоты, отданное кислородом:

7 Q = νCP (T − T1) = 4νR (T2 − T1) = 1250Дж.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#120182Максимум баллов за задание: 10

В теплоизолированном цилиндре слева от поршня находится один моль идеального одноатомного газа, справа – вакуум. В начальный момент поршень закреплён и пружина недеформирована. Затем поршень отпускают, и газ занимает объём, вдвое больший первоначального. Во сколько раз изменятся температура и давление газа в новом состоянии равновесия? Теплоёмкостями поршня и цилиндра пренебречь.

(МОШ, 2019, 11)

$PIC$

Источники: МОШ, 2019, 11

Показать ответ и решение

Запишем первое начало термодинамики для системы:

kx2 Q = ΔU + A ⇒ 0 = cV (T2 − T1)+ 2 ,

где $cV = 32R$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме, $T2$ — конечная температура газа, $T1$ — начальная температура газа, $x$ — деформация пружины в конечном состоянии, $k$ — жёсткость пружины.