Тема 17. Задачи по планиметрии

17.09 Биссектриса и её свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#105930Максимум баллов за задание: 3

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $√ -- AB = 26.$

Источники: ПВГ-2023, 10.4 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $BE = AD = 2a,AB = c,∠ABC = β,AD ∩ BC = F.$ Так как $BF$ — высота и биссектриса треугольника $BDA,$ то этот треугольник равнобедренный, поэтому $BA = BD = c,AF = F D =a$

$PIC$

Первое решение.

По теореме Менелая для треугольника $EBC$ и прямой $AD :$

EF BD CA FB-⋅DC- ⋅AE- =1

Так как $BD =DC = 2c$ и так как по свойству биссектрисы $CAAE-= 1+ CAEE-= 1+ CBBA-= 1+ 2cc =3,$ то остаётся соотношение

EF- ⋅3= 1 ⇐⇒ EF = a,FB = 3a F B 2 2

Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AF B :$

3a a2+ (-2 )2 = 26

√- a= 8

Тогда $∘ -- ∘ -- sin β = 8,cos β = 18 2 26 2 26$ и по формуле синуса двойного угла площадь треугольника можно выразить как

1 β β ∘ -8- ∘-18 SABC = 2 ⋅c⋅2c⋅2sin2-cos 2 = 26⋅2 ⋅ 26 ⋅ 26 = 2⋅12= 24

Второе решение.

По формуле для длины биссектрисы:

2⋅2c⋅c β 2a= -2c+-c cos-2;

3a =c ⋅cos β-. 2 2

Из треугольника $BDF$ получим, что

a= c⋅sin β- 2

Поделим эти уравнения друг на друга и получим, что

β- 2 tg2 = 3

Тогда из основного тригонометрического тождества: $cos β2 = √313,sin β2 = √213.$ Значит, из формулы синуса двойного угла $sinβ = 1213.$ Наконец,

SABC = c2sinβ = 24

Ответ: 24

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#105931Максимум баллов за задание: 3

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH.$ На сторонах $AB$ и $AC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно таким образом, что $AH$ — биссектриса угла $PHQ,$ а $∠CQH =∠C − ∠B.$ Докажите, что $AP + QH = PH.$