Тема АЛГЕБРА

Логарифмы → .01 Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Сложные логарифмические уравнения

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства

Системы с логарифмами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#92043Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( x−1 ) log3 4⋅3 − 1 + 1= 2x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $4⋅3x−1 − 1> 0.$

Тогда

( x−1 ) 2x 4⋅3 − 1⋅3 =3

x 2x 4⋅3 − 3− 3 = 0

Значит, если $t =3x$ , то

t2− 4t+3= (t− 1)(t− 3)= 0

Получаем, что $x= 0$ или $x= 1,$ и оба этих корня проходят под ОДЗ.

Ответ: 0; 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#92081Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

lgx lg5 5 = 50 − x .

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что что $x ≥0$ , иначе $lgx$ не определен. Перенесем $xlg5$ налево. Получим уравнение

lgx lg5 5 + x = 50

Слева стоит сумма двух возрастающих функций, а справа — константа, поэтому уравнение имеет не более одного решения. Легко проверить, что $x= 100$ подходит.

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#79282Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых одно из трёх данных чисел $log (x− 1) x 3$ , $log (x− 3) x− 13$ и $log x x−3$ равно произведению двух остальных.

Источники: Физтех-2018, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу можно заметить некоторую схожесть логарифмов (однако сначала нужно записать кое-что важное!), точно неспроста так подобрали аргументы и основания! Что тогда можем сделать, чтобы это использовать? Какое свойство логарифмов нам поможет?

Подсказка 2

Вспоминается свойство log_a(b) ⋅ log_b(c) = log_a(c).. Очень удачным оказывается перемножить сразу все логарифмы, чтобы получилось 1! Какой логарифм равен произведению других мы не знаем, а тогда можем его обозначить переменной. Чему она должна быть равна?

Подсказка 3

Получаем, что какой-то логарифм равен ±1, остаётся только перебрать варианты! И можно ещё кое-что заметить: а может ли какой-то логарифм равняться 1?

Подсказка 4

Верно, не может) Осталось решить 3 простых уравнения и отобрать корни на ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x> 3$ и $x⁄= 4.$

Заметим, что на ОДЗ по формуле перехода к новому основанию верно тождество

( 1) logx x −3 ⋅logx− 13(x− 3)⋅logx−3x =1

Пусть $c$ — число, которое равно произведению двух других, $a$ и $b$ — оставшиеся. Тогда $c =ab$ и $abc =1.$ Отсюда получаем, что $c= ±1.$

Заметим также, что если какой-то логарифм равен $±1,$ то и произведение двух других равно $± 1.$

То есть мы поняли, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен $− 1.$ (Единице никакой логарифм из трех данных равняться не может, так как у всех них различны аргумент и основание).

Получили следующую совокупность:

⌊ ( ) x x− 1 =1 ||| ( 13) |⌈ x− 3 (x− 3)=1 x(x− 3)= 1

Откуда понимаем, что нам подходят (с учетом ОДЗ) только $x = 10 3$ и $√-- x= 3+--13. 2$

Ответ:

$10 3+-√13 3 , 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#88780Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

11 log3x+ log9x+ log27x= 12

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

x> 0

Преобразуем исходное уравнение

log x+ log x+ log x= 11 3 9 27 12

1 1 11 log3x+ 2log3x + 3log3x= 12

11 11 -6 log3x= 12

log3x= 1 2

x= √3

Видно, что $√ - 3$ подходит под ОДЗ.

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#88788Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

log2(x− 3)+ log2(3 +x)= 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По свойству log(a)+log(b)=log(a*b) преобразуем левую часть, а затем изменим вид правой части в пользу log₂(16)

Подсказка 2

Дальше решим квадратное уравнение с учетом ОДЗ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x− 3> 0 { x >3 3+ x> 0 ⇐⇒ x >− 3 ⇐⇒ x∈ (3;+∞ )

Преобразуем исходное уравнение

log (x− 3)+ log (3 +x)= 4 2 2

log ((x− 3)(3+ x))= 4 2

log2(x2− 9)= 4

x2− 9= 16

x2 = 25

[ x =5 x =− 5

Видно, что $− 5$ не подходит под ОДЗ, а $5$ подходит. Значит, ответ — $5.$

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#114270Максимум баллов за задание: 7

Найдите произведение корней уравнения

--( 2 ) --( 2) log5+√15 x − 2x− 2 = log5−√1512+ 2x− x .

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим общее значение логарифмов за t. Какую систему уравнений можно из этого получить?

Подсказка 2

Получим систему уравнений на x и t. Давайте внимательно посмотрим на части с x. Что так и хочется с ними сделать?)

Подсказка 3

Хочется избавиться от x :)

Подсказка 4

Вычтем одно уравнение из другого (или сложим) так, чтобы иксы сократились ;) Теперь нужно решить уравнение на t.

Подсказка 5

Один корень угадывается легко, а есть ли вообще ещё корни?

Показать ответ и решение

Обозначая общее значение логарифмов через $t,$ получаем

√--t 2 (5+ 15) =x − 2x− 2

√--t 2 (5− 15) =− x +2x+ 12

Сложив эти равенства, получаем

(5+√15)t+ (5− √15)t =10

Так как функция $(5+ √15)t+ (5 − √15)t$ возрастает, то единственное решение $t= 1.$ Откуда

x2− 2x− 2= 5+ √15

Следовательно, по теореме Виета произведение корней равно $√-- − 7− 15.$

Ответ:

$− 7− √15$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#88779Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $log 3⋅log 12 12 9$ .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 3, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое свойство логарифма позволяет поменять местами его основание и аргумент?

Подсказка 2

Воспользуйтесь тем, что logᵤ(v) = 1/logᵥ(u), примените это свойство к любому из логарифмов. Осталось заметить, что 9 = 3² и вынести показатель степени за логарифм.

Показать ответ и решение

Вспомним следующие свойства логарифмов:

1 loganb= n logab

1 logba = log-b a

Сделаем преобразования:

log123 ⋅log9 12 = --1--⋅ 1⋅log312= 1 log312 2 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#88784Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $log log 417 2 81139.$

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Дробь 417/139 выглядит не очень, но она прекрасно сокращается, после чего задача убивается в 2 действия, пользуясь свойствами логарифма

Показать ответ и решение

417 1 1 log2log81139 = log24log33= log24 = −2

Ответ:

$− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#90686Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

log2(3x − 4)= log4(2− x).

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а в каких случаях логарифмы удобно проверять на равенство?

Подсказка 2

Когда основания в них равны! А как связаны основания у логарифмов из условия?

Подсказка 3

4 — это степень двойки!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 3x− 4> 0 ( 4 ) 2− x> 0 =⇒ x ∈ 3;2

Сделаем преобразования:

log(3x− 4)= 1 log (2− x) 2 2 2

1 log2(3x− 4)=log2(2− x)2

√---- 2 3x− 4= 2− x =⇒ (3x− 4) =2− x

9x2− 24x+ 16= 2− x =⇒ 9x2− 23x +14= 0

Тогда получаем

( |{ x= 1 —не подходит под ОДЗ |( 14 x= 9

Ответ:

$14 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#115994Максимум баллов за задание: 7

Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по основанию $3$ от числа $2781$ (первый раз логарифм берётся от этого числа, а затем всякий раз — от числа, полученного в предыдущий раз)?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем взять логарифм первый раз. Какое число получится?

Подсказка 2

Останется 3*81. Интересно, число уже не такое большое, поэтому можно проделать процесс дальше вручную ;)

Показать ответ и решение

Последовательно вычисляя логарифм по основанию 3, получаем цепочку

81 27 → 3⋅81→ 5→ 1,...→ 0,...→ a< 0

А от отрицательного числа логарифм уже не берётся.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#64440Максимум баллов за задание: 7

Какие значения может принимать выражение

logb11b50(b1b2...b60),

где $b ,b,... 1 2$ — геометрическая прогрессия?

Источники: Ломоносов-2007

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Работать с индексами b-шек так себе идея. А вот со степенями знаменателя геометрической прогрессии звучит приятно. Итак, перепишем условие если b₁ — первый член, а q — знаменатель.

Подсказка 2:

Преобразуем это выражение и получим: log_{b²q⁵⁹}((b²q⁵⁹)³⁰). Восстановите остальные части решения самостоятельно. Успехов!

Показать ответ и решение

Пусть $b = b⋅qk−1 k$ . Тогда получается

60 60⋅59 2 5930 logb2q59(b q 2 )=logb2q59(bq ) = 30

Отсюда выражение на ОДЗ может быть равно только $30.$

Ответ: 30

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#80431Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

∘ ∘---√--- log4log2 ... 16 ◟---◝4◜0--◞

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перезапишем этот логарифм как-нибудь проще. Вспомним, что корень числа а - это а в степени 1/2. А если мы 40 раз возводим число в 1/2 степень, то что получается в итоге?

Подсказка 2

Конечно, в показателе степени будет 1/2⁴⁰, или 2⁻⁴⁰. 16 также можно представить в виде степени двойки, и остаётся только все напрямую посчитать!

Показать ответ и решение

∘ ∘---√--- ( )−40 log4log2 ... 16= log4log2 242 = log4log224⋅2−40 = ◟---◝4◜0--◞

= log4(4⋅2−40)= log441− 20 = 1− 20= −19

Ответ:

$− 19$

Следующая подтема