Тема АЛГЕБРА

Логарифмы → .03 Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Сложные логарифмические уравнения

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства

Системы с логарифмами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#80052Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

loglog x log log x (log5x) 3 2 + (log2x) 3 5 > 2

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь свойствами логарифмов.

Подсказка 2

На самом деле, слева находятся 2 одинаковых слагаемых. К какому неравенству можно перейти?

Подсказка 3

Вспомните про метод рационализации.

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства $x> 1.$ Заметим, что на самом деле по свойству логарифмов слева два одинаковых слагаемых. Действительно, возьмём логарифм в равенстве $log3log2x log3log5x (log5x) =(log2x)$ по основанию $3,$ откуда получим

log log x log log x log3((log5x) 3 2 )= log3log2x⋅log3log5x =log3((log2x) 3 5 )

Откуда получаем, что слагаемые равны, значит, достаточно найти решение неравенства:

log3log2x (log5x) > 1

Для анализа используем свойство: $ab > 1 ⇐ ⇒ (a− 1)⋅b> 0.$

Тогда получается, что

log3log2x (log5x) > 1 ⇐⇒ (log5x − 1)⋅log3log2x> 0

Множители:

$log5x − 1 >0 ⇐⇒ x> 5,$
$log3log2x> 0 ⇐ ⇒ log2x >1 ⇐ ⇒ x> 2.$

Произведение положительно при $x >5$ или $1 <x <2.$

Ответ:

$(1;2)∪ (5;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#48744Максимум баллов за задание: 7

Выясните, какое из чисел больше:

lg2013 2013- 2lg2 или 2lg 2 .

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, какие-то страшные десятичные логарифмы… Можно ли сказать чему примерно равно отношение десятичных логарифмов слева и десятичный логарифм справа? Может, мы сможем оценить каждое из чисел, используя, например: свойства перехода к новому основанию?

Подсказка 2

Да, если мы используем формулу перехода к новому основанию, то логарифм слева превратится в log ₂2023! А этот логарифм несложно оценить: log ₂1024=10 < log ₂2023 < log ₂2048=11. Тогда, число слева меньше чем 11/2! Осталось как-то поработать с логарифмом справа и задача решена!

Подсказка 3

А давайте просто посмотрим на аргумент правого логарифма! 2013/2 > 1000, поэтому lg2013/2 > lg1000=3. То есть, число справа больше чем 6.

Показать ответ и решение

Из возрастания логарифмической функции по основанию $10$ получаем оценку