Тема АЛГЕБРА

Логарифмы → .04 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Сложные логарифмические уравнения

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства

Системы с логарифмами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#64038Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) log1−log3x 1+logx 3 ≤1

Источники: ДВИ - 2016, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выписываем ОДЗ и сразу замечаем, что одно из условий выполнится автоматически! Тогда можем перенести все в одну сторону, чтобы сравнивать с нулем. Какой метод хорошо работает с логарифмами, когда с нулем сравниваем?

Подсказка 2

Конечно же метод рационализации! Представляем 1 как логарифм с нужным основанием и получаем уже более приятное неравенство. Для удобства можно ввести замену log₃(x) = t. Можем ли тогда и второй логарифм через эту переменную переписать?

Подсказка 3

С помощью подходящего свойства “переворачиваем” его и получаем рациональное неравенство, которое можем легко решить! Останется только произвести обратную замену.

Подсказка 4

Чтобы решить неравенства с обратной заменой достаточно воспользоваться монотонностью логарифма или применить снова метод рационализации!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( 1− log x >0 ||||| 1− log3x ⁄=1 |{ 3 ⇐⇒ x∈ (0,1)∪(1,3) ||| x ⁄=1 |||( x >20 logx 3+1 >0

Теперь применим метод рационализации. Исходное неравенство равносильно:

2 1+-log33x 1+-log3x (1− log3x− 1)(1+logx 3− 1 +log3x)≤ 0⇐ ⇒ log3x ≥ 0⇐ ⇒ log3x ≥ 0

Не забываем, что $logab =1∕logba$ и неполный квадрат при разложении суммы кубов строго положителен. Теперь нетрудно найти решения:

log3x∈ (−∞, −1]∪(0,+ ∞)=⇒ x ∈(0,1]∪ (1,3) 3

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(0;1]∪(1;3) 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#64035Максимум баллов за задание: 7

Найдите все положительные числа $x$ , удовлетворяющие неравенству

3x+7 12 x >x

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами сложная степенная функция. Было бы основание или степени фиксированными, проблем бы не было, а так случаи возникают в зависимости от значений x ( < 1 или ≥ 1). Какой метод позволяет изящно с этим разобраться так, чтоб какое-то выражение было того же знака, как и в исходном неравенстве?

Подсказка 2

Верно! Метод рационализации! Но секунду, у нас степени, значит нужно сначала прологарифмировать, но по какому основанию?

Подсказка 3

На самом деле, подойдет любая константа > 1, чтобы сохранить знак исходного неравенства. Но для красоты возьмём натуральный логарифм. Что мы имеем?

Подсказка 4

ln(x^{3x+7}) > ln(x¹²). Остаётся вынести степени и применить метод рационализации + метод интервалов. У вас всё получится! Успехов!

Показать ответ и решение

Так как функция $f(t)= ln t$ возрастает на области определения $t >0,$ то неравенство $x3x+7 > x12$ равносильно

3x+7 12 lnx >lnx ⇐ ⇒ (3x+ 7)lnx >12lnx

(3x− 5)lnx >0

По методу рационализации при $x> 0$ неравенство эквивалентно

(3x− 5)(x− 1)> 0

Откуда по методу интервалов с учётом $x > 0$ получаем ответ $x∈ (0;1)∪(53;+∞ ).$

Ответ:

$(0;1)∪ (5;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#48593Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2 3 logx2+4x+3(x− 4) ⋅log−x2+3x+4(3− x) ≤ 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень хорошим действием было бы найти область определения. Тогда, когда мы будем работать с аргументами логарифмов, мы сможем сразу учесть их знак.

Подсказка 2

Да, (х-4)² после вынесения степени преобразуется в 4-х, (3-х)³ - в 3-х. Теперь вспомним, что на ОДЗ log_a(b) имеет такой же знак, что и выражение (a-1)(b-1). Сделаем так с двумя логарифмами.

Подсказка 3

Правильно располагаем корни на числовой прямой при решении методом интервалов и не забываем про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство

2 3 log(x+1)(x+3)(x− 4) ⋅log−(x−4)(x+1)(3− x) ≤ 0

Отсюда ОДЗ: $x <3,x ∕∈ [−3,−1],x ∈(−1,4),x2+4x+ 3⁄= 1,x2 − 3x− 4⁄= −1$ . То есть $x ∈(−1,3)$ и $x2+ 4x +2,x2− 3x − 3⁄= 0$ .

Здесь $x− 4< 0$ , потому можно преобразовать неравенство

logx2+4x+3(4− x)⋅log−x2+3x+4(3− x)≤0

Применим метод рационализации, выражение слева можно заменить на

2 2 (x + 4x+2)(3 − x)⋅(−x + 3x +3)(2− x)≤ 0

√ - √ - ( 3− √21)( 3+ √21) (x+ 2− 2)(x+ 2+ 2)(x− 3)(x− 2) x− --2--- x− --2--- ≥ 0

Осталось упорядочить корни, учесть, что $x ∈(−1,3)$ и заключить $√-- x ∈(3−221,√2-− 2)∪ [2,3)$ . Здесь $√2 − 2,3$ исключаются, поскольку не входят в ОДЗ.

Ответ:

$(3−√21;√2-− 2)∪ [2;3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#44066Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

1 ( x2 ) ( 2 ) (x-− 1) 2log2 2 + 8x+33 ≤− log14 x + 13x+42 + log4 x +7 .

Источники: Физтех-2012, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Так, у нас опять задача с жутким ОДЗ, не забываем его выписать! А затем, как было бы удобно, если бы мы могли привести все логарифмы к одному основанию!

Подсказка 2!

2) Да, приведите все логарифмы к основанию 4! В таком случае нам останется сравнить два логарифма, для этого перейдем к сравнению их содержимого, а дальше осталось только разобраться, когда неравенство для х выполнено!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2 2 1)x +16x+ 66 =(x+ 8) +2> 0

2)(x +7)(x +6)> 0

3)x−-1> 0 x+ 7

В иоге $x∈ (− ∞;−7)∪ (−1;+∞ )$ .

Приведём все логарифмы к основанию $4$ за счёт свойств логарифмов:

(x2 ) ((x− 1)(x2+ 13x+ 42)) log4 -2 +8x+ 33 ≤ log4 ------x-+7------- = log4((x − 1)(x +6))

x2+ 16x+ 66≤ 2x2+10x− 12 ⇐ ⇒ x∈(−∞; 3− √87]∪ [3+ √87;+∞)

В итоге $√-- x∈ (−∞, −7)∪[3+ 87;+ ∞)$ .

Ответ:

$(−∞,− 7)∪[3 +√87;+∞ )$

Критерии оценки

На олимпиаде задача оценивалась в 5 баллов. Баллы суммируются:

Найдено ОДЗ – 1 балл;

Неравенство сведено к квадратному – 2 балла;

Решено полученное квадратное неравенство – 1 балл;

Полученные решения пересечены с ОДЗ – 1 балл;

Важно: неравносильное преобразование неравенства – 0 баллов за всю задачу.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#51849Максимум баллов за задание: 7

Решить неравенство

√ ---- √ ---- 2 log2x−12( x+ 1− 9− x) <1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно делать, когда видите много логарифмов и корней (да и вообще, если просто видите логарифмы) — писать ОДЗ. Второе, что мы здесь видим — левая и правая часть есть логарифмы по одному основанию, так как 1 можно представить схожим образом. Значит, остаётся неравенство на выражения внутри логарифмов. Здесь мы можем либо применить метод рационализации, либо просто рассмотреть два случая. А каких? И почему, если мы не знаем волшебного метода, надо рассматривать два случая при получении неравенства на логарифмы с одним и тем же переменным основанием?

Подсказка 2

Верно, потому что если наше основание будет меньше 1, то неравенство будет в одну сторону, а если больше 1, в другую, так как возведение чисел в отрицательную степень меняет порядок. Значит, надо рассмотреть эти два случая и в каждом из них получить свои интервалы, после чего правильно их склеить и получить ответ!

Показать ответ и решение

ОДЗ определяется условиями:

√---- √ ---- x≥ −1, x≤ 9, x +1 > 9− x, 2x− 12> 0,2x− 12⁄= 1

x∈ (6;6,5)∪ (6,5;9]

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

2log (√x+-1− √9−-x)< log (2x − 12) (∗) 2x−12 2x−12

1) Пусть $x ∈(6,123 ),$ тогда неравенство (*) равносильно каждому из неравенств $(√x-+-1− √9-−-x)2 > 2(x− 6)$ , $11− x > √9+-8x-− x2$ , $121− 22x +x2 > 9+ 8x− x2$ , $x2− 15x+56 =(x− 7)(x− 8)>0,$ откуда следует, что значения $x$ из интервала $(6,123)−$ решения неравенства (*).

2) Пусть $x∈(13,9], 2$ тогда неравенство (*) равносильно неравенству $(x− 7)(x− 8)< 0,$ откуда $7< x< 8$ .

Ответ:

$(6;13)∪ (7;8) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#63858Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√--- x2− 7x+-12 log x−1 x − 5 ≤ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом записываем ОДЗ. А затем воспользуйтесь свойствами логарифмов, чтобы избавиться от корня в основании логарифма. После этого перенесите все числа, которые вне логарифма вправо и преобразуйте число, которое там останется, в логарифм!

Подсказка 2

Теперь у нас есть все, что мы хотим для метода рационализации! Пользуемся им и получаем уже обычное неравенство, с которыми мы умеем работать! Дело за малым – решите его и учтите ОДЗ!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

x2−-7x+12- logx−1 x− 5 ≤1

x2− 7x+ 12 logx−1---x−-5---− logx−1(x− 1)≤0

По методу рационализации получаем

( ( ) ||| (x − 1− 1) x2−x7x−+512− (x − 1) ≤ 0 |{ x− 1> 0 ||| x− 1⁄= 1 |( x2−-7x+12> 0 x−5

Учесть условие $x − 1 ⁄=1$ можно, поставив $x− 2$ не как множитель, а как знаменатель:

(|| --−x+7--≤ 0 { (xx−>5)1(x−2) ||( (x−3)(x−4)> 0 x−5

По методу интервалов получаем

x∈(3;4)∪ [7;+∞ )

Ответ:

$(3;4)∪ [7;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#63870Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√- ∘---2--- 8 +log x 8≤4 logx 17x − 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Все, чего мы хотим от этого неравенства – это привести его к тому виду, в котором мы сможем воспользоваться методом рационализации. Посмотрите внимательно на то, как нам мешают те или иные слагаемые и подумайте о том, как мы можем их преобразовать!

Подсказка 2

Да, если мы превратим все в логарифмы по основанию х, то жить станет гораздо проще. У нас есть свойство логарифма, которое позволяет изменить основание логарифма и у нас есть возможность превращать числа в логарифмы!

Подсказка 3

Складывать логарифмы с одинаковым основанием мы тоже умеем! А значит мы легко можем привести неравенство к тому виду, в котором можно воспользоваться рационализацией! Когда найдете решения, не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов получаем