Десятичная запись и цифры

Поймём, что числа в нашей последовательности точно больше то есть, имеют длину хотя бы так как если бы в нашей последовательности было бы число длины то следующее за ним определялось бы как сумма этого числа, как цифры себя и его самого. То есть, мы бы просто удвоили наше число и получили бы четное число. Значит, длина всех наших чисел из последовательности хотя бы

Тогда возьмём первое число из нашей последовательности. Пусть в нем разрядов. Рассмотрим первую цифру слева. Если эта цифра нечетная, то дальше рассмотрим -ую слева цифру. Иначе, понятно, что рано или поздно, прибавляя по числу меньшему -ая цифра станет нечетной, так как чтобы она перепрыгнула через нечетное число за одно прибавление, мы должны прибавить как минимум но мы прибавляем не больше Значит, рано или поздно первая слева цифра станет нечетной.

Посмотрим теперь на вторую слева цифру и повторим наши рассуждения. Тогда, при условии того, что первая цифра все еще нечетна, рано или поздно вторая станет также нечетной. Аналогично, найдется момент, когда и первая, и вторая, и третья цифры нечетны и тд. Значит, найдется момент, когда цифры нечетны. При этом последняя цифра всегда нечетна, так как если она в какой-то момент стала четной, то мы победили, найдя четное число. Значит, найдется такое число в последовательности, что все его цифры нечетные.

Значит, какую бы цифру мы не прибавили, мы прибавим что-то нечетное, а сумма двух нечетных(нашего числа и выбранной цифры) четна. Итак, мы получим четное число в последовательности.

Несложно понять через сложение в столбик, что для суммы цифр выполняется следующее неравенство Пусть тогда

Нетрудно понять, что и Следовательно,

Значит, во всех выписанных неравенствах должно достигаться равенство. Заметим, что равенство реализуется лишь при однозначном (в этом можно убедиться, если записать в развёрнутой форме и сравнить её с суммой цифр). Таким образом, числа должны быть однозначными. То есть Отсюда получаем все перечисленные в ответе варианты.

Пусть приписали число , тогда , то есть или . Произведение неотрицательно, при этом , однако при равенство невозможно, то есть возможно только , для , которое подходит в силу равносильности преобразований.

Первое решение.

Докажем утверждение методом математической индукции.

База индукции: делится на . Действительно, .

Шаг индукции: покажем, что если число указанного вида делится на , то и следующее за ним делится на

Для этого достаточно доказать, что разность двух соседних чисел делится на В самом деле:

Эта разность делится на , так как

Второе решение.

Вставим произвольное число троек, получим , умножим это число на , получится . Нам требуется доказать, что это число кратно (умножение на на это свойство никак не влияет).

Добавим к полученному числу (очевидно, что на делимость это тоже не влияет), имеем , которое кратно ().

Пусть на доске было написаны семизначные числа в виде После того, как ученик стёр знак умножения, получилось число, равное По условию имеем

Первое решение.

Так как то при некотором и

Число семизначное, поэтому , тогда . Если , то получаем противоречие.

При имеем противоречие с тем, что в уравнении левая часть делится на , а правая не делится.

При имеем , откуда .

При имеем противоречие с делимостью на .

Второе решение.

Так как то при некотором и

Как отношение семизначных чисел , поэтому . Следовательно, . Значит, , то есть . Лишь одно число в этом интервале делится на это . Поэтому .

Пусть и — исходные трехзначные числа. Число, составленное из них, равно Тогда из условия имеем уравнение

Так как и трехзначные числа, то С учетом этого наше уравнение принимает вид

Это уравнение в целых числах. Так как и то и Пусть тогда После подстановки уравнение примет вид

Разделим уравнение на

Ясно, что так как при получаем но это противоречит условию о том, что число — трехзначное.

Так как то Так как — первое число, большее или равное делящееся на Тогда имеет остаток при делении на Таким образом, или

• При уравнение имеет вид откуда Так как то
• При уравнение имеет вид откуда Но — трехзначное число. Противоречие

Предположим, что точный квадрат. Тогда его последняя цифра будет или Но точный квадрат не может оканчиваться ни на ни на  – например, потому что число, оканчивающееся на дает остаток при делении на а число, оканчивающееся на дает остаток при делении на

Следовательно, число оканчивается на одну из цифр Обозначим через квадратный корень из последней цифры числа Пусть  – число нулей в числе (Можно считать, что ) Так как число не делится на то ровно одно из чисел делится на а значит, и на Следовательно, одно из этих чисел не меньше а другое не меньше (ведь ). Значит, произведение этих чисел не меньше, чем что противоречит -значности числа Итак, число не может быть точным квадратом.

Например,

Обозначим исходное число как , где  — пятизначное число (возможно, с ведущим нулём). Тогда условие задачи можно переписать как , или . Решая это уравнение, получаем, что , а изначальное число — 285714.

Обозначим последовательные натуральные числа как и Тогда их произведение равно

Если мы приписали в конец этого числа сначала цифру а потом цифру то мы получили число

Выделим полный квадрат из выражения

Значит, если мы припишем то получим

Если число делится на 1998, то оно делится и на 999. Мы покажем, что не существует числа, делящегося на 999, сумма цифр которого меньше чем 27.

Разобьем десятичную запись числа на группы по три цифры справа налево (последняя группа может состоять из одной или двух цифр). Сложим эти группы и получим число . Исходное число делится на 999 тогда и только тогда, когда полученная сумма делится на 999. Докажем это.

Числа и дают одинаковый остаток при делении на 999. Докажем аналогично доказательству признака делимости на 9:

.

Каждое слагаемое в этой сумме делится на 999, а значит, вся сумма делится на 999. Следовательно, числа и дают одинаковый остаток при делении на 999.

Рассмотрим число, делящееся на 999, разобьём его на тройки цифр и вычислим сумму этих троек. Если новое число больше 1000, то снова разобьём его на тройки цифр и вычислим сумму, и так далее, пока не получим число, меньшее 1000. Это случится, поскольку число уменьшается при каждой операции. Действительно, если — неотрицательные целые числа, и , то .

Итак, после нескольких операций мы получим положительное число, меньшее 1000, делящееся на 999, следовательно, оно будет равно 999.

Сумма цифр числа 999 равна 27. Достаточно доказать, что при наших операциях сумма цифр не увеличивается. Когда мы разрезаем число на тройки цифр, сумма цифр не меняется. Покажем, что при сложении сумма цифр не увеличивается.

Действительно, обозначим через сумму цифр числа . Из алгоритма сложения в столбик видно, что , где — число переносов при сложении X и Y в столбик. Значит, .

Последняя цифра произведения зависит только от последней цифры сомножителей.

Поэтому последняя цифра произведения такая же, как у произведения то есть равна 1. Поэтому разность оканчивается на 0. Значит, это число делится на 2 и на 5, то есть делится и на 10.

Посмотрим на момент, когда Гарри умножает свое число на 10. После этого получившееся число точно оканчивается на 0. Тогда после прибавления 4 результат оканчивается на 4. Далее Гарри умножает число на 3. Последняя цифра результата зависит только от последней цифры умножаемого числа, поэтому эта цифра такая же, как последняя цифра следующего произведения: Значит, последняя цифра будет равна . Если теперь от результата отнять , то последняя цифра результата опять же зависит только от последней цифры уменьшаемого, значит, она такая же, как у разности: Поэтому последняя цифра результата будет всегда равна , эту цифру и называет Драко.