Десятичная запись и цифры → .01 Ребусы

Пусть Тогда, взяв максимальные получим противоречие, так как

Аналогично, если а то снова противоречие, так как

Значит, единственное значение для остаётся Наш ребус принимает вид

Тогда заметим, что

Отсюда понимаем два случая, когда или

Пусть Тогда мы знаем, что левая часть ребуса делится на Отсюда из признака делимости на понятно, что число даёт такой же остаток, как и при делении на Значит, перебором получаем, что единственный подходящий вариант здесь но она уже занята. Противоречие.

Пусть Аналогично правая часть ребуса делится на откуда должно делиться на Понятно, что подходит или но вторая уже занята, поэтому остаётся только Теперь уже несложно находятся, что и

Из условия задачи видно, что тогда и где — цифра. Последнее уравнение имеет единственное решение Значит, искомое число

a) Рассмотрим формулу . Если - вычитание, то выражение тождественно равно . Если - умножение, то при . Поэтому выражение равно при любом смысле знаков и . Действительно, если - вычитание, то . Если же - умножение, то - вычитание, тогда .

б) Предположим, что переменным приданы четные значения. Тогда и , и , также являются чётными. Поэтому при таких значениях переменных любая формула имеет чётное значение.

Обратим в первую очередь внимание на то, что в правой части стоит четырехзначное число, значит, слева при сложении происходит переход через разряд. В таком случае первая цифра четырехзначного числа может быть только . Значит, .

Далее, чтобы произошел переход, трехзначное число слева должно начинаться на . Поэтому , и мы имеем , откуда .

Сначала заметим, что : в противном случае в разряде тысяч появится цифра, большая . Теперь посмотрим на последнюю цифру произведения. Она равна и получена как последняя цифра произведения двух одинаковых цифр. Перебором последних цифр находим, что такое возможно лишь в двух случаях: когда перемножаются две единицы или две девятки. Но , так как уже . Поэтому . Итак, пока что мы получили .

Теперь посмотрим на цифру . Она не равна , так как уже . Если , то мы умножаем число, не меньшее , на , в результате получится пятизначное число. Поэтому остается только вариант . Итого получили .

Осталось найти значение . Во-первых, это уже можно сделать простым перебором, но мы покажем другой способ. В разряде десятков должен получить . При этом после умножения из разряда единиц в разряд десятков переносится . Поэтому результат умножения на должен оканчиваться на , тогда как раз в сумме с получится . А это сильно упрощает перебор: достаточно рассматривать лишь четные значения и проверять, что оканчивается на . Это выполнено только для , и это значение подходит: получаем .

Во-первых сразу отметим, что так как произошел переход через разряд, . Поэтому в разряде сотен суммы может стоять либо , либо , в зависимости от того, произошел ли переход через разряд. С другой стороны, эта же буква стоит в разряде единиц, а число должно быть четным, так как оно равно сумме двух одинаковых чисел. Поэтому . Пока имеем .

Теперь посмотрим на букву . Чтобы на конце получилась цифра , или . Но так как уже , то остается только второй вариант . Получили . В разряде тысяч переход точно не произойдет, поэтому , откуда . Наконец все цифры слева восстановлены, поэтому считаем сумму и находим, что , а зашифрованная сумма — .

В результате сложения однозначного и двузначного чисел получилось трехзначиное число. Это возможно только в случае переполнения в десятках. Значит, в разряде сотен стоит .

При прибавлении к двухначному числу однозначного могло получиться трехзначное только если в разряде двузначного числа стояла цифра , и в разряде единиц также произошло переполнение.

Так как в разряде единиц произошло переполнение, то сумма цифр, стоящих в разряде единиц, равна . Это возможно только в том случае, когда в разряде единиц стояли две девятки.

Получаем ответ

Подставим во вторую строку вместо квадратов круг и треугольник (из первой строки следует, что они равны), а вместо шестиугольников два круг и треугольник (из третьей строки следует, что они равны)

Заметим, что с левой стороны и справой стороны по два круга. Вычеркнем их из равенства. Останется два треугольника слева и один справа.

Вычеркнем по треугольнику с обеих сторон и получим, что треугольник равен .

Суммы цифр в первой, второй и третьей строках равны. Так как все цифры в квадрате различны суммы этих сумм равны . Значит, суммы цифр в строках (а также в столбцах и диагоналях) равны .

A =

Г =

В =

Б = - В =

Д = - Б =

Е = - Д =

Пусть – искомое трёхзначное число. Тогда по условию Отсюда получаем , поэтому делится на 5. Но не может равняться нулю, поскольку иначе произведение цифр также равно нулю. Следовательно, Таким образом, имеем

Число при делении на 5 даёт остаток 4, поэтому число при делении на 5 даёт остаток 2. Это возможно лишь в случае, если или Случай не подходит, так как иначе число должно быть чётным, что неверно. Итак, , и для получаем уравнение

Число делится на , если оно делится и на , и на . Так как сумма цифр равна , то сумма двух недостающих цифр должна равняться или Учитывая, что число должно делиться на а предпоследняя цифра равна то последняя цифра может быть лишь или или Тогда ответами будут числа:

Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки с номером 1. Значит, в ней может находиться только число 2. Карточка с числом 2 должна указывать на карточку с числом 3, так как указывает только на карточку и на карточку с числом 9, то в должно быть записано 3. Карточка с числом 3 должна указывать на карточку с числом 4, так как указывает на карточки и то в одной из них должно быть записано число 4. Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки Значит, чтобы были заполнены все карточки, то в может быть записано только число с карточки + 1, так как на написано 3, то на будет Сама карточка указывает на и но свободна только Значит, на нужно записать число 5. Так как указывает только на то на карточке должно быть написано число 6. Стрелки показывают на но она уже занята числом 5, и на Значит, в записываем 7. Карточка указывает только на поэтому в ставим 8, и оно как раз указывает на карточку с числом 9, как просили в условии. Значит, мы верно расставили все числа.

Так как числа состоят из одинаковых цифр, они дают одинаковые остатки при делении на . Значит, их разность должна делиться на . Однако на не делится, противоречие.

Возьмём все 14 карточек и запишем их по числу «5» и найдём сумму:

Сумма маленькая, возьмём 4 числа по «55», остальные 6 чисел по «5» и найдём сумму:

Сумма маленькая, возьмём 5 чисел по «55», остальные 4 числа по «5» и найдём сумму:

Как раз нужная нам сумма, видим, что знаков «+» 8 штук.

Равенство в разряде сотен могло быть только в двух случаях: , то есть , такое могло быть только если не было переносов из десятков в сотни; а также если (в случае переноса единицы из десятков в сотни). Но сумма заканчивается на , поэтому четная цифра, значит и тогда

Далее, ни в К + К, ни в Р + Р, ни в В + В нет перехода через десяток (слагаемые и сумма - шестизначные и нет соответствующих переносов), значит, все эти цифры не больше 4 (и ненулевые: ). При этом , так как . Отсюда . Осталось два варианта для цифры Р, и оба подходят.

Число справа семизначное, а слева числа шестизначное и пятизначное. Поэтому при сложении произошел переход в разряде сотен тысяч, значит, Тогда по последней цифре Значит, при сложении цифр в разряде сотен произошел переход через разряд. С другой стороны, сумма Д + Д четна, и при переносе единицы из предыдущего разряда цифра в разряде тысяч суммы должна быть нечетна, но это четное

Обозначим Тогда При этом (иначе ) и (сумма цифр не превышает ). Из соотношения следует, что , т. е. делится на 3. Осталось подставить значения и 24 в и подсчитать сумму цифр получившегося числа.

Подставив, получаем что сумма цифр совпадает с только при