Уравнения с десятичной записью

Заметим, что число представляется в виде . В произведении множители 11 и 101 встречаются чётное число раз. Таким образом, трёхзначное число должно быть кратно 101, а двузначное число — кратно 11. В силу условий . Следовательно,

Отсюда .

Легко проверить, что число

подходит. Действительно, при записи задом наперед оно равно

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Покажем, как можно было бы придумать такое число на олимпиаде. Обозначим это число где — первые три и последние три числа в его записи. На месте многоточие стоят какие-то цифры.

Тогда Значит, так как — результат умножения натурального числа с первой цифрой, не меньшей на так как иначе при умножении на в числе увеличится количество знаков. Тогда Помимо того, делится на значит, четно, поэтому Также кончается на при Так как то

Далее из равенства по цифре можно однозначно определить цифру которая к тому же должна быть нечетная и меньше Получаются варианты и из которых подходит только второй.

Аналогичным образом пытаясь найти и получаем два возможных варианта: и Развивая второй вариант, можно понять, что все числа вида подходят.

Запишем число в виде По условию Заметим, что не может быть потому что в противном случае также будет равна а это первая цифра числа. Также делится на Следовательно,

Перепишем условие в более удобном виде. Пусть , тогда

Так как число двузначное, то , так что правая часть равенства выше отрицательна. При этом левая положительна. Значит, решений нет.

Пусть в последнем слагаемом цифр. По условию десятичная запись суммы оканчивается на

то есть при некотором натуральном верно

откуда с учётом натуральности сразу следует условие для сократимости дроби

Следовательно,

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Одну задачу студент получить не может, так как 2021 не является палиндромом. Предположим, что он может получить две задачи, тогда хотя бы одно из чисел — четырёхзначное. Если оно начинается на 2, то вторая цифра 0 и само число равно 2002. В таком случае второе число равно 19, что не палиндром. Если же число начинается с 1, то его последняя цифра также 1 и у второго числа последняя цифра должна быть нулём, что неверно для палиндромов. Значит две задачи студент получить не мог. Пример на 3 задачи существует, например,

Указанную сумму обозначим через , а количество слагаемых в ней (совпадающее с количеством цифр в последнем слагаемом) - через . Тогда сумма остатков слагаемых от деления на 10000 равна , и дает при делении на 10000 такой же остаток, что и .

Поэтому выполнено равенство , где - некоторое натуральное число. Отсюда

Наименьшее , при котором делится на 1111, равно 1111-789=322.

Следовательно, искомое решение равно .

Так как число больше цифры в раз, то оно делится на . А число, делящееся на , оканчивается либо на , либо на . Если число оканчивается на , то оно в раз больше , значит, само равно , но число не натуральное. Если же число оканчивается на , то само оно в раз больше, чем , то есть равно .

Раз одно из чисел делится на , то оно оканчивается на . Оба числа не могут оканчиваться на , иначе их сумма тоже будет оканчиваться на , а по условию это не так. Получается, что из числа, которое оканчивается на стирают цифру и получают второе. Таким образом, наши числа имеют вид и . Тогда их сумма равна , откуда . Значит, их разность равна .

Пусть где — некоторая перестановка чисел Тогда

Если то

Отсюда следует, что делится на 9.

Одна из двух различных цифр ненулевая, поэтому

Значит,

Вспомним, что — некоторая перестановка чисел поэтому сумма всех цифр равна — нечётна. Тогда

Следовательно, цифра чётна, а цифра — нечётная цифра.

Обозначим три различные цифры как Всевозможные двузначные числа:

По условию

Приведем общие слагаемые

То есть Так как это различные цифры, Следовательно Переберем возможные значения

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

В случаях, когда или перебирая всевозможные подходящие пары цифр получаем уже найденные ранее тройки.

Пусть число имеет вид тогда по условию имеем: Следовательно, Цифра делится на и не может быть потому что это первая цифра числа. Значит, и

Пусть числа имеют вид и тогда по условию Таким образом, то есть Цифра не может быть и делится на то есть и

Допустим, что нашлось хорошее число где Тогда

Числа и нечётны, а суммы их цифр равны Эти суммы отличаются на значит одна из них чётна. То есть одно из нечётных чисел или делится на чётное число, противоречие.

Пусть – число двоек, – число троек, – число четвёрок.

Тогда

Отсюда Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на Пусть – сумма цифр. Тогда

Заметим, что . Так как 101 и 14 взаимно просты, то делится на 14 . Максимальное значение .

Так как в результате ошибки число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. При этом число уменьшилось в раз. Пусть получилось число , тогда искомое число — это По условию: , значит, , тогда

Пусть — цифра числа на позиции . Тогда , поскольку число не может начинаться с нулей. Далее (если , то и аналогично для следующих). Если в числе есть , то , что невозможно, поэтому цифр в числе не более шести.

Пример строится напрямую из оценки: . Заметим, что мы доказали, что в примере не больше цифр, но почему это число наибольшее подходящее шестизначное? Если нашлось число больше, то в нём , что невозможно (если в нём , то все остальные цифры определены однозначно).

Покажем, как можно найти ответ. Обозначим искомое число за . Тогда условие задачи можно записать как и единственным решением этого уравения будет .

Первое условие говорит нам, что число представимо в виде , а второе — что в виде . Приравняв, получим

Отсюда сразу же следует, что кратно шести, поскольку и делятся на это число. Значит, , разберём эти случаи

• . Здесь (кратно пяти), но первое значение невозможно по условию, потому подходит только . В итоге получаем число .
• . Отсюда , получаем .