Уравнения с десятичной записью
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли 
-значное натуральное число без нулей в десятичной записи, которое увеличивается в 
раза, если записать его задом
наперёд?
Источники:
Подсказка 1
Запишем наше число в виде abc...xyz. Теперь попробуем что-нибудь сказать про цифры на концах (a, b, c, x, y, z), используя условие о том, что abc...xyz * 4 = zyx...cba. Какие ограничения можно наложить на эти цифры?
Подсказка 2
Во-первых, подумаем о том, что a не может быть слишком большим, иначе при увеличении в 4 раза у нас увеличится количество разрядов. Ещё можно воспользоваться тем, что zyx...cba делится на 4 – это дает условия на ba и a. Что можно ещё сказать о других цифрах?
Подсказка 3
Из ограничений выше однозначно получается найти a и z, также выразить несколько вариантов для xy, bc. При продолжении рассуждений получается однозначно выразить всё число.
Легко проверить, что число
подходит. Действительно, при записи задом наперед оно равно
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Покажем, как можно было бы придумать такое число на олимпиаде. Обозначим это число 
где 
—
первые три и последние три числа в его записи. На месте многоточие стоят какие-то цифры.
Тогда 
Значит, 
так как 
— результат умножения натурального числа с первой цифрой, не
меньшей 
на 
так как иначе при умножении на 
в числе 
увеличится количество знаков. Тогда 
Помимо того, 
делится на 
значит, 
четно, поэтому 
Также 
кончается на 
при 
Так как 
то
Далее из равенства 
по цифре 
можно однозначно определить цифру 
которая к тому же должна быть
нечетная и меньше 
Получаются варианты 
и 
из которых подходит только
второй.
Аналогичным образом пытаясь найти 
и 
получаем два возможных варианта: 
и 
Развивая второй вариант,
можно понять, что все числа вида 
подходят.
Да, существует — например, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
