Уравнения с десятичной записью

Первое условие говорит нам, что число представимо в виде , а второе — что в виде . Приравняв, получим

Отсюда сразу же следует, что кратно шести, поскольку и делятся на это число. Значит, , разберём эти случаи

• . Здесь (кратно пяти), но первое значение невозможно по условию, потому подходит только . В итоге получаем число .
• . Отсюда , получаем .

Обозначим это число через Тогда и и — квадраты, где Но разных двузначных квадратов, начинающихся на одну и ту же цифру, нет, значит, это два одинаковых квадрата, то есть При этом — также квадрат. Это число точно делится на а значит, делится и на Это возможно только если Но число не может быть квадратом ни при каком Значит, такого трехзначного числа не существует.

Обозначим число на карточках как где — число, а и — цифры. Тогда условие можно переписать как Вычтем из второго равенства первое. Получим Значит, Поэтому — тоже цифра, на меньшая, чем Подставим в первое равенство: или Так как — цифра, то она не больше поэтому она равна остатку числа при делении на Значит, а исходное число равно

Заметим, что в сумме в каждом разряде до переноса слагаемых получается одна и та же сумма Поэтому ее можно представить как Число из правой части дает остаток при делении на Третье слагаемое из левой части можно представить как где — число, составленное из цифр возможно, начинающееся с нуля. Рассмотрим несколько первых чисел, дающих остаток при делении на Это Из этих чисел только состоит из цифр и а все следующие либо содержат цифру, больше или хотя бы -значные, чего быть не может. Значит, подходит только Вычев это число из обеих частей, имеем равенство или, так как откуда

Обозначим это число как По условию, Отсюда Значит, Из второго условия про произведение получаем, что Но это же равенство можно переписать как чего не может быть при неотрицательном

По условию (где число, составленное из всех цифр, кроме первой, — первая цифра). Пусть – количество цифр в числе Отсюда

Если то у числа а значит, и у искомого числа, есть две совпадающие цифры (два нуля на конце). Если же то

Ясно, что чем больше тем больше исходное число. При число состоит из цифр, а не из трех. При мы получаем а исходное число равно Значит, наибольшее искомое число равно

Пусть — количество десятков, а — количество единиц в числе Тогда У Руслана получилось откуда получаем Цифра поскольку число двузначное. Поделив на нее, получим

Пусть последние цифр числа равны Тогда Обозначим произведение первых ненулевых цифр через

Пусть Тогла произведение ненулевых цифр равно а произведение у — Предположим, что Сокращаем на и понимаем, что то есть Заметим, что если взять и то получится равенство. Значит, такие числа существуют, а именно, подойдёт любое число, оканчивающееся и следующее за ним.

Пусть число было Тогда Заметим, что потому что иначе сумма была бы пятизначной, поэтому из последнего разряда Теперь посмотрим на — такая сумма была во втором и третьем разрядах, но цифры там разные, поэтому откуда сразу же

Мы получили необходимые условия, но они же будут и достаточными, осталось сказать, что тогда возможны случаи и (при получим тогда не получится число с теми же цифрами в обратном порядке, потому что развёрнутое число должно будет записываться с незначащим нулём), откуда и получаем ответ.

Представим в виде , где — целые числа и . Тогда

Выражение оканчивается на 6 только, если Но в этом случае , а значит, предпоследняя цифра равна

Пусть двухзначное число состоит из цифр и . Тогда если оно подходит под условие, то

Без ограничения общности можно считать . Тогда так как , то и значит, .

Если , то и . Значит, нам подходят числа 18, 81, 78, 87.

Если , то и у этого уравнения нет целых корней.

Искомая сумма равна

Нетрудно видеть, что а откуда сразу же

Посчитаем через десятичную запись:

Получаем . Так как правая часть является натуральным числом, то должен быть квадратом какого-то натурального числа. На заданном промежутке из квадратов есть только и .

При получаем

При получаем