Тема Десятичная запись и цифры

Уравнения с десятичной записью

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела десятичная запись и цифры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#61178

Найдите четырехзначное число, две средние цифры которого образуют число, в $5$ раз большее числа тысяч и в $3$ раза большее числа единиц.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть нужное нам число это аbcd (это запись цифр, а не произведение), тогда какие два равенства можно записать из условия?

Подсказка 2

Верно, bc (с чертой) = 5a = 3d. Что получаем из последнего равенства?

Подсказка 3

Да, понимаем, что d кратно 5, при этом стоит учесть, что а ≠ 0. Отсюда и получаем ответ!

Показать ответ и решение

Запишем число в виде $abcd.$ По условию $bc-=5a= 3d.$ Заметим, что $d$ не может быть $0,$ потому что в противном случае $a$ также будет равна $0,$ а это первая цифра числа. Также $d$ делится на $5.$ Следовательно, $-- d= 5,a =3,bc =15.$

Ответ:

3155

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61482

Существуют ли такие двузначные числа $ab,cd$ , что $ab⋅cd-=abcd$ ? ( $abcd$ это записанные друг за другом в десятичной записи данные двузначные числа без знака умножения)

Показать ответ и решение

Перепишем условие в более удобном виде. Пусть $x =ab,y = cd$ , тогда

xy = 100x+ y ⇐⇒ y = x(y − 100)

Так как число $y$ двузначное, то $y− 100< 0$ , так что правая часть равенства выше отрицательна. При этом левая положительна. Значит, решений нет.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63947

Десятичная запись суммы $3 +33+ 333 +...+ 33...3$ оканчивается на $2023.$ Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима-2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на эту сумму по модулю 10000: она должна быть равной 2023. С другой стороны, чему она равна, если у нас, например, n слагаемых в ней?

Подсказка 2

Она равна 3+33+333+3333(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 3333)

Показать ответ и решение

Пусть в последнем слагаемом $n$ цифр. По условию десятичная запись суммы $3+ 33+333+ ...+ 33...3 ◟ ◝◜n-◞$ оканчивается на $2023:$

2023 ≡ 3+ 33 +333+ ...+3◟3.◝.◜.3◞ ≡ 3+ 33+ 333+ 3333(n − 3) 10000 n 10000

то есть при некотором натуральном $m$ верно

3+ 33 +333+ 3333(n − 3)= 2023 +10000m = 2023+ 3333⋅3m + m

2023− (3+-33+333)+m n= 3+ 3m+ 3333

откуда с учётом натуральности $m$ сразу следует условие для сократимости дроби

2023− (3 +33+ 333)+ m ≥3333 ⇐⇒ m ≥1679

Следовательно,

n≥ 3+ 3⋅1679+ 1= 5041

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Ответ: 5041

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71019

Дарья Дмитриевна готовит зачёт по теории чисел. Она пообещала каждому студенту дать столько задач, сколько слагаемых он создаст в числовом примере

a1+ a2+...+an = 2021,

где все числа $ai$ — натуральные, больше 10 и являются палиндромами (не меняются, если их цифры записать в обратном порядке). Если студент не нашёл ни одного такого примера, он получит на зачёте 2021 задачу. Какое наименьшее количество задач может получить студент?

Источники: Изумруд-2023, 11.1 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Легко можно придумать пример для трех. Например, 22+888+1111. Попробуйте доказать, что меньше трех придумать невозможно.

Подсказка 2

Пример на одного числа невозможен, так как 2021 - не палиндром. Если же чисел будет два, то одно число обязательно должно быть четырехзначным. Рассмотрите несколько вариантов того, как может выглядеть это четырехзначное число. Подумает, как при этом должно выглядеть второе число в сумме.

Показать ответ и решение

Одну задачу студент получить не может, так как 2021 не является палиндромом. Предположим, что он может получить две задачи, тогда хотя бы одно из чисел $a1,a2$ — четырёхзначное. Если оно начинается на 2, то вторая цифра 0 и само число равно 2002. В таком случае второе число равно 19, что не палиндром. Если же число начинается с 1, то его последняя цифра также 1 и у второго числа последняя цифра должна быть нулём, что неверно для палиндромов. Значит две задачи студент получить не мог. Пример на 3 задачи существует, например, $1111+ 888+ 22= 2021.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76730

Десятичная запись суммы $1+ 11+ 111+ ...+ 11...1$ оканчивается на 2023. Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Она равна 1+11+111+1111(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 1111)

Показать ответ и решение

Указанную сумму обозначим через $S$ , а количество слагаемых в ней (совпадающее с количеством цифр в последнем слагаемом) - через $n$ . Тогда сумма остатков слагаемых от деления на 10000 равна $123 +1111(n− 3)$ , и дает при делении на 10000 такой же остаток, что и $S$ .

Поэтому выполнено равенство $123+ 1111(n− 3)= 10000m+ 2023$ , где $m$ - некоторое натуральное число. Отсюда

10000m + 2023− 123 m + 789 n− 3= ------1111------= 9m + -1111- +1

Наименьшее $m$ , при котором $m+ 789$ делится на 1111, равно 1111-789=322.

Следовательно, искомое решение $n$ равно $3+ 9322 +1+ 1= 2903$ .

Ответ: 2903

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33302

Найдите все натуральные числа, которые больше своей цифры ровно в $5$ раз.

Показать ответ и решение

Так как число больше цифры в $5$ раз, то оно делится на $5$ . А число, делящееся на $5$ , оканчивается либо на $0$ , либо на $5$ . Если число оканчивается на $0$ , то оно в $5$ раз больше $0$ , значит, само равно $0$ , но число $0$ не натуральное. Если же число оканчивается на $5$ , то само оно в $5$ раз больше, чем $5$ , то есть равно $25$ .

Ответ: 25

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#39056

На доске написаны два натуральных числа, сумма которых равна $47531$ . Если из одного числа стереть последнюю цифру, то получится второе. Также известно, что одно из чисел делится на $10$ . Чему равна разность этих чисел?

Показать ответ и решение

Раз одно из чисел делится на $10$ , то оно оканчивается на $0$ . Оба числа не могут оканчиваться на $0$ , иначе их сумма тоже будет оканчиваться на $0$ , а по условию это не так. Получается, что из числа, которое оканчивается на $0$ стирают цифру и получают второе. Таким образом, наши числа имеют вид $x$ и $10x$ . Тогда их сумма равна $11x =47531$ , откуда $x =4321$ . Значит, их разность равна $10x− x= 9x= 9⋅4321= 38889$ .

Ответ: 38889

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#71444

Десятичная запись натурального числа $N$ содержит каждую цифру от 0 до 9 ровно один раз. Обозначим через $A$ сумму пяти двузначных чисел, составленных из первой и второй, третьей и четвёртой $,...,$ девятой и десятой цифр $N$ , а через $B$ — сумму четырёх двузначных чисел, составленных из второй и третьей, четвёртой и пятой $,...,$ восьмой и девятой цифр $N.$ Оказалось, что $A$ равно $B,$ может ли $N$ начинаться с чётной цифры?

Источники: Всесиб-2022, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишем условие с помощью десятичной записи чисел. Какое уравнение на числа A и B у нас получится и что из него будет следовать?

Подсказка 2

Понимаем, что сумма первой и последней цифры числа делится на 9! Какой тогда может быть их сумма? Как найти связь между цифрами на четных позициях и на нечетных?

Подсказка 3

Подставляем в наше уравнение из подсказки 1 сумму первой и последней цифры, которая равна 9(почему?). Теперь мы можем найти связь между суммами цифр на четных позициях и на нечетных, а также мы знаем сумму всех цифр. Остаётся лишь осознать, как это применить)

Показать ответ и решение

Пусть $N = aa-...aa-a-, 12 8 9 10$ где $a ,a,...,a,a ,a 1 2 8 9 10$ — некоторая перестановка чисел $0,1,2,...,8,9.$ Тогда

---- ---- ----- A = a1a2+ a3a4+ ...+ a9a10 = 10(a1+a3+ ...+ a9)+ (a2+a4+ ...+ a10)

---- ---- ---- B =a2a3+ a4a5+ ...+ a8a9 = 10(a2+a4+ ...+ a8)+ (a3+a5+ ...+ a9)

Если $A= B,$ то

10a + 9(a + ...+ a)+ a = 9(a + a + ...+a ) 1 3 9 10 2 4 8

Отсюда следует, что $a1+ a10$ делится на 9.

Одна из двух различных цифр $a1,a10$ ненулевая, поэтому

a1+ a10 ≥0 +1= 1 и a1+ a10 ≤8+ 9= 17

1 ≤a1+ a10 ≤17⇒ a1 +a10 = 9

Значит,

a1+ a3+...+a9+ 1= a2+ a4 +...+ a8

Вспомним, что $a1,a2,...,a8,a9,a10$ — некоторая перестановка чисел $0,1,2,...,8,9,$ поэтому сумма всех цифр $a1,a2,...,a8,a9,a10$ равна $0+ 1+ 2+...+9 =45$ — нечётна. Тогда

a1+ a3+ ...+ a9 +a2+ a4+...+a8+ a10+1 =46= 2(a2+a4+ ...+ a8)+a10

Следовательно, цифра $a 10$ чётна, а цифра $a =9 − a 1 10$ — нечётная цифра.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#72755

Если взять три разные цифры, составить из них все шесть возможных двузначных чисел, записанных двумя разными цифрами, и сложить эти числа, то получится $462.$ Найдите эти цифры. Приведите все варианты и докажите, что других нет. В качестве ответа введите в порядке возрастания через пробел все возможные значения наименьшей цифры в тройке.

Источники: Муницип - 2022, Ленинградская область, 8.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что наши три цифры - a, b, c. Как можно выразить сумму всех наших двузначных чисел?

Подсказка 2

Как 20(a+b+c)+2(a+b+c) = 22(a+b+c)! Откуда a+b+c = 462/22 = 21. Осталось найти все наборы различных цифр, у которых сумма = 21)

Показать ответ и решение

Обозначим три различные цифры как $a, b, c.$ Всевозможные двузначные числа: $ab, ba, ac, ca, bc, cb.$

По условию

(10a +b)+ (10a+ c)+ (10b+ c)+(10c+ b)+(10c+a)+ (10b+ a)=462

Приведем общие слагаемые

a +b+ c= 21

То есть $b+c= 21− a.$ Так как это различные цифры, $b+c≤ 8+ 9= 17.$ Следовательно $21− a≤17.$ Переберем возможные значения $a ≥4$

Если $a= 4,$ то $b+c =17.$ Это возможно только в случае $b =8, c =9$ и наоборот.

Если $a= 5,$ то $b+c =16.$ Это возможно только в случае $b =9, c =7$ и наоборот.

Если $a= 6,$ то $b+c =15.$ Это возможно только в случае $b =7, c =8$ и наоборот.

В случаях, когда $a= 7, a= 8$ или $a= 9$ перебирая всевозможные подходящие пары цифр $(b,c)$ получаем уже найденные ранее тройки.

Ответ: 4 5 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88895

Найдите все двузначные числа, которые в $6$ раз больше суммы своих цифр.

Показать ответ и решение

Пусть число имеет вид $ab,$ тогда по условию имеем: $10a+ b= 6a +6b.$ Следовательно, $4a= 5b.$ Цифра $a$ делится на $5$ и не может быть $0,$ потому что это первая цифра числа. Значит, $a= 5$ и $b= 4.$

Ответ:

$54$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88897

На доске написано два двузначных числа. Второе двузначное число получается из первого перестановкой цифр, а их разность равняется сумме цифр каждого из них. Какие числа могли быть написаны?

Источники: ПВГ-2015, 8.5 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Пусть числа имеют вид $ab$ и $ba,$ тогда по условию $ab− ba= a+ b.$ Таким образом, $9a− 9b =a +b,$ то есть $4a =5b.$ Цифра $a$ не может быть $0$ и делится на $5,$ то есть $a = 5$ и $b =4.$

Ответ:

$54$ и $45$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88925

Натуральное число $n$ назовём хорошим, если каждое из чисел $n,n+ 1,n+ 2$ и $n+ 3$ делится на сумму своих цифр. Например, $n= 60398$ — хорошее. Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмёркой, будет девятка?

Показать ответ и решение

Допустим, что нашлось хорошее число $n= a-a-...a--a-8, 12 k−1 k$ где $a ⁄= 9. k$ Тогда

------------ ---------------- n +1 =a1a2...ak−1ak9,n+ 3= a1a2...ak−1(ak+1)1

Числа $n+ 1$ и $n +3$ нечётны, а суммы их цифр равны $a1 +a2+ ...+ a +9,a1+ a2 +...+ a + 2. k k$ Эти суммы отличаются на $7,$ значит одна из них чётна. То есть одно из нечётных чисел $n+ 1$ или $n +3$ делится на чётное число, противоречие.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90833

Десятичная запись натурального числа $n$ содержит шестьдесят три цифры. Среди этих цифр есть двойки, тройки и четверки. Других цифр нет. Число двоек на 22 больше числа четверок. Найти остаток от деления $n$ на $9.$

Показать ответ и решение

Пусть $x$ – число двоек, $y$ – число троек, $z$ – число четвёрок.

Тогда

{ x+ y+ z = 63 x = z+22

Отсюда $y+ 2z =41.$ Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на $9.$ Пусть $S$ – сумма цифр. Тогда

S = 2x+ 3y+4z = 2(x+y +z)+ y+ 2z =2 ⋅63+ 41= 167

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#97919

При перемножении двузначного и трёхзначного чисел получилось четырёхзначное число вида $A = abab.$ Найдите наибольшее $A$ , если известно, что $A$ делится на $14.$

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 10 класс

Показать ответ и решение

Заметим, что $A= abab-=ab⋅101$ . Так как 101 и 14 взаимно просты, то $ab$ делится на 14 . Максимальное значение $ab= 98$ .

Ответ: 9898

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#42112

Петя ошибся, записывая десятичную дробь: цифры записал верно, а запятую сдвинул на одну позицию. В результате получилось число, которое меньше нужного на $19,71.$ Какое число должен был записать Петя?

Дайте ответ в виде десятичной дроби, дробную часть отделяйте запятой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Т.к. число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. А это значит, что во сколько раз оно было уменьшено?

Подсказка 2

В 10 раз! И т.к. вы знаете разность между нужным числом и уменьшенным в 10 раз, то само число понятно как находится)

Показать ответ и решение

Так как в результате ошибки число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. При этом число уменьшилось в $10$ раз. Пусть получилось число $x$ , тогда искомое число — это $10x.$ По условию: $10x− x= 19,71$ , значит, $x= 2,19$ , тогда $10x= 21,9.$

Ответ: 21,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#42781

Найдите наибольшее натуральное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме всех предыдущих цифр числа.

Источники: Муницип - 2019, Республика Бурятия, 7.2

Показать ответ и решение

Пусть $a i$ — цифра числа на позиции $i$ . Тогда $a ≥1 3$ , поскольку число не может начинаться с нулей. Далее $a4 = 2a3 ≥ 2,a5 = 2a4 ≥4,a6 = 2a5 ≥8$ (если $a3 = a1+ a2$ , то $a4 =a3+ a2+ a1 =2a3$ и аналогично для следующих). Если в числе есть $a7 = 2a6$ , то $a7 ≥16$ , что невозможно, поэтому цифр в числе не более шести.

Пример строится напрямую из оценки: $101248$ . Заметим, что мы доказали, что в примере не больше $6$ цифр, но почему это число наибольшее подходящее шестизначное? Если нашлось число больше, то в нём $a3 ≥ 2 =⇒ a6 = 2⋅2⋅2⋅a3 ≥ 16$ , что невозможно (если в нём $a3 =1$ , то все остальные цифры определены однозначно).

Ответ: 101248

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#38887

В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на $3$ , вторую — на $2$ , третью — на $1$ . В итоге число увеличилось в $4$ раза. Приведите пример такого исходного числа.

Источники: Школьный этап - 2018, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пускай a, b, c- цифры числа x. Как х выражается через них?

Подсказка 2

x=100a+10b+c. Как изменится число x, если a увеличить на 3, b на 2 и с на 1?

Подсказка 3

100(a+3)+10(b+2)+(c+1)=100a+10b+c+321=x+321. По условию это число равняется 4x. Осталось только решить уравнение x+321=4x и убедиться, что x- натуральное трехзначное число.

Показать ответ и решение

Покажем, как можно найти ответ. Обозначим искомое число за $x$ . Тогда условие задачи можно записать как $x +321= 4x$ и единственным решением этого уравения будет $x =107$ .

Ответ: 107

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#61647

Число в семеричной системе счисления является трёхзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления? Найдите все возможные значения.

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Первое условие говорит нам, что число представимо в виде $49a+ 7b+c,a⁄= 0$ , а второе — что в виде $121c+ 11b+a$ . Приравняв, получим

120c+ 4b =48a ⇐⇒ 30c +b= 12a

Отсюда сразу же следует, что $b$ кратно шести, поскольку $12$ и $30$ делятся на это число. Значит, $b=0,6$ , разберём эти случаи

$b= 0 ⇐⇒ 30c= 12a ⇐⇒ 5c= 2a$ . Здесь $a= 0,5$ (кратно пяти), но первое значение невозможно по условию, потому подходит только $a =5,c= 2$ . В итоге получаем число $49⋅5+ 2= 247$ .
$b= 6 ⇐⇒ 30c+6 =12a ⇐⇒ 5c+1 =2a$ . Отсюда $a =3,c= 1$ , получаем $49⋅3+ 7⋅6+1 =190$ .

Ответ:

$190,247$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#95912

Существует ли такое трехзначное число, что при вычеркивании любой его цифры получается число, являющееся квадратом целого числа?

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Обозначим это число через $abc.$ Тогда и $ab,$ и $ac-$ — квадраты, где $a⁄= 0.$ Но разных двузначных квадратов, начинающихся на одну и ту же цифру, нет, значит, это два одинаковых квадрата, то есть $b= c.$ При этом $-- -- bc= bb$ — также квадрат. Это число точно делится на $11,$ а значит, делится и на $121.$ Это возможно только если $b= c= 0.$ Но число $-- -- ab= a0$ не может быть квадратом ни при каком $a⁄= 0.$ Значит, такого трехзначного числа не существует.

Ответ:

Нет, не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#96047

У Маши и Саши было по карточке, на этих карточках было написано одно и то же натуральное число. Маша отрезала от своей карточки последнюю цифру, а Саша — две последние цифры. В итоге сумма чисел на двух машиных карточках стала равна $83,$ а на сашиных — $92.$ А какое число было написано на карточках изначально?

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Обозначим число на карточках как $Xab,$ где $X$ — число, а $a$ и $b$ — цифры. Тогда условие можно переписать как $Xa-+b= 83,$ $-- X + ab=92.$ Вычтем из второго равенства первое. Получим $9a − 9X = 9.$ Значит, $a= X+ 1.$ Поэтому $X$ — тоже цифра, на $1$ меньшая, чем $a.$ Подставим $X = a− 1$ в первое равенство: $11a− 10+b= 83,$ или $11a+ b=93.$ Так как $b$ — цифра, то она не больше $11,$ поэтому она равна остатку числа $93$ при делении на $11.$ Значит, $b= 5,a =8,$ а исходное число равно $785.$

Ответ:

$785$

Предыдущий раздел

Следующий раздел