Формулы в тригонометрических уравнениях
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Начинаем с ОДЗ перед преобразованием и пробуем упростить выражение (1 - tg²(x))/(1+tg²(x)).
Подсказка 2
Для упрощения используем выражения тангенса через синус и косинус. Что теперь получилось в левой части?
Подсказка 3
В левой части будет cos(2x)⋅(1+sin(2x))/(1-sin(2x)). Перейдем к правой части. Попробуйте применить формулу понижения степени.
Подсказка 4
Справа будет следующее выражение: 2+2sin(2x)+cos(2x). С дробями работать неудобно, домножим обе части уравнения на (1-sin(2x)).
Подсказка 5
Осталось раскрыть скобки, получим произведение двух множителей, равное нулю. Расписываем два случая и помним про ОДЗ.
Сначала определим ОДЗ. Тангенс определен, если 
то есть 
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
Так как
при 
то второе условие: 
Отсюда 
то есть
Теперь преобразуем обе части уравнения.
Начнем с левой части. Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:
Тогда левая часть уравнения принимает вид:
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени 
:
Приравняем преобразованные части с учетом ОДЗ:
Домножим обе части на 
:
Раскроем скобки:
Перенесем все члены в одну сторону:
Вынесем общий множитель 
за скобки:
Это уравнение распадается на два:
1)
Отсюда
Учитывая ОДЗ (
), мы должны исключить случаи, когда 
Следовательно, нам подходит только
Это соответствует такому равенству:
Отсюда
Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ.
2)
Так как если бы 
то и 
был бы равен нулю, что невозможно, мы можем разделить обе части на 
:
Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
