Тема Тригонометрия

Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103845

Решите уравнение $2cos4x− sin3x= 1$ .

Источники: БИБН - 2025, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неприятно, когда в уравнении есть и синус, и косинус. Давайте попробуем оставить что-то одно.

Подсказка 2

С помощью ОТТ выразим косинус через синус. При раскрытии скобок получатся большие степени, поэтому наша задача — разложить выражение на множители. Вспомните формулы разности квадратов и суммы кубов для этого.

Подсказка 3

Теперь нам остаётся только аккаратно раскрыть произведение в бОльшей скобке, и заново всё сгруппировать, чтобы найти корни:)

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству уравнение равносильно

2 2 3 2(1− sinx) − sin x= 1

2 2 2 2(1− sinx) (1+ sinx) = (1 +sinx)(1− sinx+ sin x)

$sinx= −1$ либо

2(1+ sinx)(1− 2sinx+ sin2x)= 1− sinx+ sin2x

2− 4sinx +2sin2x +2sin x− 4sin2x+ 2sin3x= 1− sinx+ sin2x

1− sinx− 3sin2x+ 2sin3x= 0

1− 2sinx+ sinx− 2sin2x− sin2x+ 2sin3x =0

2 (1− 2sinx)(1+ sinx − sin x)= 0

$sinx= 1 2$ либо $sinx = −1±-√1+4. −2$

В итоге после объединения решений с учётом области значений синуса подходят $1 1−√5 − 1;2; 2 .$ Соответственно

⌊ x= − π + 2πn,n∈ ℤ | π 2 ||| x= 65π+2πn,n∈ ℤ || x= 6 + 2π1−n√,n5-∈ℤ ⌈ x= arcsin 2 1−+√25πn,n∈ ℤ x= π− arcsin 2 +2πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π π 5π 1-− √5 1−√5- − 2 + 2πn;6 + 2πn; 6 +2πn;arcsin 2 + 2πn;π− arcsin 2 + 2πn; n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104696

Решите уравнение

9 (sinx +1)(cosx+ 1) =8

Источники: ОММО - 2025, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении содержатся функции sin(x) и cos(x). Хотелось бы сделать какую-нибудь замену и выразить эти функции через замену. Какая замена может подойти?

Подсказка 2

Верно! Универсальная тригонометрическая замена t = tg(x/2) вполне подойдет. Тогда sinx = 2t/(1+t²) и cosx = (1-t²)/(1+t²). Но эта замена не совсем "бесплатная". Что еще нужно проверить?

Подсказка 3

Верно! Нужно проверить, что tg(x/2) определен! Могут ли быть решениями такие x, что для x/2 не определен тангенс?

Подсказка 4

Подставляя x = π + 2πn при целых n в уравнение, получаем, что ни один такой x решением не является, а значит, можно сделать нашу замену! Однако при простом раскрытии скобок в уравнении возникнет четвертая степень t! Можно ли этого избежать?

Подсказка 5

Конечно! Приведя к общему знаменателю и раскрыв скобки, не будем сразу умножать на знаменатель, а заметим, что в числителе выделяется полный квадрат! Как тогда упростить уравнение?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $x= π+ 2πn,n ∈ℤ,$ то $9 (sinx+ 1)(cosx+ 1)= 1⋅0⁄= 8,$ поэтому можно сделать универсальную тригонометрическую подстановку и получить при $x t= tg 2$ уравнение

( 2t ) (1− t2 ) 9 1+-t2 + 1 1+-t2 + 1 = 8

2 2(t+-1)22-= 9 (1+ t) 8

t+-1-= ±3 1+ t2 4

2 4t+ 4= ±(3+ 3t )

[ 3t2− 4t− 1= 0 3t2+4t+ 7= 0

∘----- 3t= 2± 22+ 3

2± √7 x= 2arctg--3-- +2πn,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки

sinx +cosx+ sinxcosx = 1 8

Так как

2 sinxcosx= (sinx+-cosx)-−-1, 2

то

sinx +cosx+ (sinx+-cosx)2− 1-− 1= 0 2 8

Сделаем замену $t= sinx+ cosx :$

t2−-1- 1 t+ 2 − 8 =0

Откуда

⌊ 1 || t= 2 ⌈ 5 t= −2

Так как $sin x+ cosx≥ −2,$ то при $5 t =− 2$ равенство не выполняется, следовательно,

sinx+ cosx= 1 2

Представим левую часть в виде синуса суммы:

sin(x+ π)= -1√- 4 2 2

Откуда

⌊ π √2 || x+ 4 = arcsin 4-+2πk |⌈ π √2 ,k ∈ℤ x+ 4 = π− arcsin 4-+ 2πk

⌊ √ - | x= arcsin--2− π +2πk || 4 4√- ,k ∈ℤ ⌈ x= 3π− arcsin -2+ 2πk 4 4

Ответ:

$2arctg 2±√7 +2πn,n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#118415

Решите уравнение

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше выражение:

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0

(2sin3x − sin x) +(2sin2x− 1)= 0

sinx(2sin2x − 1)+ (2 sin2x− 1)= 0

(2sin2x − 1)(sinx+ 1)= 0

Тогда:

cos2x (sinx +1)= 0

Получается,

[ cos2x= 0 sin x+ 1=0

⌊ π |⌈ 2x= 2 + πk , k ∈ℤ sinx= −1

⌊ x= π + πk ||⌈ 4 2 , k∈ ℤ x =− π+ 2πk 2

Ответ:

$π + πk, − π+ 2πk, k∈ ℤ 4 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#120650

Дан прямоугольный треугольник с натуральными длинами сторон. Пусть $α$ — его острый угол, а угол $β$ таков, что $tg2β = tg3α.$ Докажите, что величина $tgβ$ рациональна.

Источники: Курчатов - 2025, 11.1 ( см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим катеты через p и q. Соответсвенно, тангенс будет равен p/q. Теперь попробуйте расписать тангенсы двойного и тройного углов.

Подсказка 2

Получилось что-то совсем неприятное, слева — выражение от tgβ, справа — выражение от p и q. Как насчёт того, чтобы обозначить это выражение через n и попытаться понять, при каких n уравнение относительно tgβ будет иметь рациональные корни?

Подсказка 3

Нетрудно заметить, что это уравнение относительно tgβ является квадратным. Значит, для его рациональности достаточно лишь проверить, что дискриминант является квадратом рационального числа. При проверке не забывайте, что гипотенуза тоже имеет рациональную длину!

Показать доказательство

Пусть катеты треугольника будут $p$ и $q,$ тогда $tgα= p. q$ По формулам двойного и тройного аргументов получаем следующие формулы:

2tgβ tgα(3− tg2α) p(3q2 − p2) 1−-tg2β-= tg2β =tg3α= --1−-3tg2α--= q(q2− 3p2) :=n

Значит, $tg2β +2ntgβ − 1= 0.$ Это уравнение имеет рациональные корни тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения будет точным квадратом. Вычисляя дискриминант, находим

( ) D ∕4 =n2+ 1= p(3q2− p2) 2+ 1=-(p2+q2)3- q(q2− 3p2) p2(3q2− p2)2

Видно, что это число является квадратом рационального числа, поскольку гипотенуза тоже натуральное число, а значит, $2 2 p + q$ тоже точный квадрат.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124628

Решите уравнение

4− 3cos4x= 10sinxcosx.

Показать ответ и решение

Заметим формулу синуса двойного угла в левой части уравнения:

4− 3cos4x= 5sin2x

Теперь раскроем косинус двойного угла:

4− 3(1 − 2sin22x)= 5sin2x

6sin22x− 5sin2x+ 1= 0

Сделаем замену: пусть $t= sin2x,$ при этом $t∈ [−1;1].$ Тогда наше уравнение имеет вид:

6t2− 5t+1 =0

Это квадратное уравнение, его дискриминант равен $D =52− 4⋅6= 1.$ Тогда его корни равны $5− 1 1 t1 =-12-= 3$ и $1 t2 = 2.$ Нам подходят оба корня, так как и $t1,$ и $t2$ лежат на отрезке $[− 1;1].$ Сделаем обратную замену:

⌊ | sin2x = 1 |⌈ 31 sin2x = 2

⌊ 2x= arcsin 1+ 2πk ||| 3 1 || 2x= π− arcsin 3 + 2πk, k∈ ℤ ||| 2x= π + 2πk |⌈ 6 2x= 5π6 +2πk

⌊ x= 1 arcsin1 +πk ||| 2π 1 3 1 || x= 2 − 2arcsin 3 + πk ||| x= -π +πk , k∈ ℤ |⌈ 12 x= 5π +πk 12

Ответ:

$1 arcsin1 +πk, π− 1arcsin1+ πk, π-+ πk, 5π-+ πk, k∈ℤ 2 3 2 2 3 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124631

Решите уравнение

2 sin4x +2cosx = 1.

Показать ответ и решение

Вспомним формулу косинуса двойного угла:

2 2 2 cos2x = cos x− sin x= 2cos x− 1

Из неё следует, что $2 cos2x= cos2x+ 1.$ Подставим это в наше уравнение:

sin4x+cos2x+ 1= 1

Сократим единички и раскрем синус двойного угла:

2sin 2x cos2x+ cos2x= 0

cos2x (2sin 2x +1)= 0

Если произведение двух множителей равно нулю, то как минимум один из них равен нулю. Получается,

[ cos2x= 0 2 sin2x+1 =0

⌊ ⌈ cos2x= 01 sin2x= −2

⌊ π | 2x= 2 +πk || 5π ||⌈ 2x= − 6 +2πk k∈ ℤ 2x= − π + 2πk 6

⌊ x= π + πk || 4 2 ||| x= − 5π12 +πk k∈ ℤ ⌈ -π x= −12 +πk

Ответ:

$π + πk, − 5π +πk, − π-+ πk, k∈ ℤ 4 2 12 12$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124632

Решите уравнение

2cos2x +sin 3x = 2.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше уравнение пользуясь формулами:

2 3 cos2x= 1− 2sin x и sin3x= 3sin x− 4sin x

Получим:

2(1− 2sin2x)+3sin x− 4sin3x= 2

sinx(4sin2x+ 4sinx− 3)= 0

Значит,

[ sin x= 0 4sin2x +4sinx− 3= 0

В первом случаи получаем $x= kπ, k∈ ℤ.$ Во втором решим квадратное уравнение относительно $sin x∈[−1;1].$

D= 42− 4⋅4⋅(−3)= 64= 82

Тогда:

sinx = 12 или sinx =− 32

Так как $− 32 <− 1,$ остается только случай

sinx = 1 2

⌊x = π+ 2πk, k∈ ℤ || 6 ⌈x= 5π+ 2πk, k∈ ℤ 6

Ответ:

$π + 2πk, 5π-+ 2πk, πk k∈ ℤ 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125514

Решить уравнение

2 2 3sin x+ sin2x+ 2cos x= 4.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и основным тригонометрическим тождеством, получим

2 2 2 2 3sin x +2sin xcosx +2cosx = 4(sin x+ cos x)

2 2 sin x− 2 sinxcosx +2cos x= 0

Поделим всё выражение на $cos2x,$ тогда

tg2 x− 2 tgx +2= 0

tg2x− 2tgx+ 1=− 1

(tgx− 1)2 =− 1

Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ:

Нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125516

Решить уравнение

3 2 4sin x+ 4cos x= 1+ 3sinx.

Показать ответ и решение

Полагая $sinx = t,$ преобразуем уравнение

3 2 4t +4(1− t )= 1+3t

3 2 4t− 4t− 3t+3 =0

Разложив левую часть полученного уравнения на множители, приходим к уравнению

(t− 1)(4t2− 3)= 0

Если $t=1,$ то $sinx= 1,$ откуда

x= π +2πn , n∈ ℤ 2

Если $4t2 = 3,$ то

4 sin2x= 3

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла

2(1− cos2x)= 3

1 cos2x =− 2

Отсюда

π x= ±3 +πn , n ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πn , ± π+ πn , n∈ ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126174

Решите уравнение

( 3 3 ) 2 sin x− cos x + cosx − sinx =0.

Показать ответ и решение

По формулам сокращенного умножения

3 3 2 2 sin (x)− cos (x)= (sin(x)− cos(x))⋅(sin(x)+ sin(x)cos(x)+cos(x))

Так как $sin2(x)+cos2(x)= 1,$ получаем

3 3 sin(x)− cos(x)= (sin(x)− cos(x))⋅(1+ sin(x)cos(x))

Исходное уравнение примет вид

(sin(x)− cos(x))(2+2 sin(x)cos(x))− (sin(x)− cos(x))= 0

(sin(x)− cos(x))(1+2sin(x)cos(x))= 0

(sin(x)− cos(x))(1+ sin(2x))= 0

1) $sin(x)= cos(x):$

x= π4 +πn,n ∈ℤ

2) $sin(2x)= −1:$

2x = 3π+ 2πn,n ∈ℤ 2

x = 3π+ πn,n ∈ℤ 4

Ответ:

$x = π+ πn, 4$ $3π+ πn, 4$ $n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#127829

Решите уравнение

2 ctg2x+ 3tg3x= 2tgx + sin4x.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| sin2x⁄= 0 ||||| |{ cos3x⁄= 0 ||| cosx⁄= 0 ||||( sin4x⁄= 0

( π π |{ x ⁄= 6 + 6k,k∈ ℤ |( π x ⁄= 4t,t∈ ℤ

Заметим, что

2 1 cos2x sin4x − ctg2x = sin2xcos2x-−sin2x = tg2x

Поэтому можно переписать уравнение в виде:

3(tg 3x − tgx)= tg2x − tgx

Сначала преобразуем скобку в левой части уравнения с помощью формулы синуса разности:

sin3x- sinx- sin3xcosx−-sinxcos3x- --sin2x-- tg3x− tgx = cos3x − cosx = cos2xcosx = cos3xcosx

Теперь преобразуем отдельно правую часть тоже с помощью формулы синуса разности:

sin2x sinx sin2xcosx− sinxcos2x sinx tg2x− tgx = cos2x − cosx =---cos2xcosx-----= cos2xcosx

Таким образом, уравнение принимает вид:

--3sin2x- = --sinx--- cos3xcosx cosxcos2x

Учитывая ОДЗ и используя формулу синуса двойного угла, получаем:

3sin2xcos2x = sinxcos3x

6cosx cos2x= cos3x

6cosxcos2x = cosx(2cos2x− 1)

cosx(4cos2x+ 1)= 0

Учтем ОДЗ и получим, что

1 cos2x =− 4

1 x =± 2 + πn,n∈ ℤ

Ответ:

$± 1 +πn,n ∈ℤ 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#83950

Решите уравнение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

Показать ответ и решение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

⌊ ( | { 1+2( sinx=) 0 || ( cos x+ π ≥0 |⌈ ( π)4 cos x+ 4 = 0

Решим сначала первый случай

1 +2sin x= 0

⌊ π 1 | x= −6 + 2πk sin x= −2 ⇔ |⌈ 5π , k∈ ℤ x= − 6 +2πk

Проверим условие из системы

( ) ( ) cos − π +2πk+ π =cos π- > 0 6 4 12

( ) ( ) cos − 5π-+ 2πk + π = cos − 7π < 0 6 4 12

Следовательно, в этом случае подходит только $x =− π+ 2πk, k∈ ℤ. 6$

Теперь решим второй случай

( π) cos x+ 4 = 0

π π x+ 4 = 2 + πk, k∈ ℤ

π x= 4 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,π +πk, k∈ℤ 6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#84837

Решите уравнение

cosx+cos2x+ cos3x+ cos4x= 0

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов получаем уравнение

3x x 7x x 2cos2-cos2 + 2cos2-cos 2 = 0

x( 3x 7x ) cos2 cos-2 + cos2 = 0

( ) cosx 2cos5xcosx = 0 2 2

⌊ cosx= 0 |⌈ cos25x= 0 cos2x= 0

⌊ x= π+ 2πk, k∈ ℤ |⌈ x= π5 + 2π5k, k ∈ℤ x= π2 + πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π +2πk;π+ 2πk;π +πk; k ∈ℤ 5 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#84839

Решите уравнение

cos4xcos5x = cos6xcos7x

Показать ответ и решение

По формуле произведения косинусов получаем

1 1 2(cos9x+ cosx)= 2(cos13x+ cosx)

cos13x − cos9x= 0

По формуле разности косинусов получаем

− 2sin11xsin2x= 0

[ sin11x= 0 sin2x= 0

[ x= π1k1, k∈ ℤ x= π2k, k∈ ℤ

Ответ:

$πk ;πk; k∈ ℤ 11 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#85341

Решите уравнение

1− sinx= cosx − sin2x

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

1− sinx= cosx − 2sin xcosx

На скобки разложить пока не получается, поэтому распишем $1$ по основному тригонометрическому тождеству и получим

2 2 sin x+ cos x+ 2sinxcosx− sinx− cosx =0

(sinx+ cosx)2− (sinx +cosx)=0

[ sinx +cosx= 0 sinx +cosx= 1

Если $cosx =0$ , то $sinx± 1$ , поэтому эта серия не является решением первого уравнения. Поэтому поделив его на $cosx ⁄= 0$ , получим $tgx =− 1$ , что равносильно $x = 3π4-+πk, k∈ℤ$

Второе уравнения возведем в квадрат

sin2x+ cos2x+ 2sinx cosx= 1

cosxsinx = 0 ⇐ ⇒ sin2x= 0

πn x= 2 , n∈ ℤ

Но возведение в квадрат — не равносильное преобразование, поэтому проверим полученные решения.

⌊ | x= 2ππn ||| x= 2 +2πn ⌈ x= π3+π 2πn x= -2 + 2πn

Из полученных серий только $π x= 2 +2πn$ и $x= 2πn$ удовлетворяют исходному $sinx+ cosx =1.$

Ответ:

$π + 2πn; 2πn; 3π+ πn, n ∈ℤ 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#85345

Решите уравнение

√ - 2 x 2 √ - 2 3sin 2 +2= 2sin x + 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим квадратное уравнение на синус, только вот у него неудобные коэффициенты у аргумента из-за чего не получается сделать замену, но x/2 это половина x, что наталкивает на формулы, которые помогут исправить наше уравнение.

Подсказка 2

Да, можно же понизить степень, вылезет косинус, но так как у нас остался ещё синус в квадрате, то не составит труда и его заменить на косинус, и у нас наконец получится квадратное уравнение на косинус, которое легко решается.

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла

2 x cosx= 1− 2sin 2

x 1− cosx sin22 = --2----

Поэтому исходное равенство можно записать в виде

2√3⋅ 1-− cosx+ 2= 2(1− cos2x)+ √3 2

−√3cosx= −2cos2x

cosx(2cosx− √3)= 0

[ cosx =0√- cosx = 23

[ π x = 2 +π πn,n ∈ℤ x =± 6 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ±π +2πk,k∈ ℤ 2 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#85551

Решите уравнение

2 36cos(x+ cosx)cos(x− cosx)+ 9= π

и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $[π;7π] 3 4$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с произведением косинусов неудобно. Какие преобразования можно сделать, чтобы облегчить решение?

Подсказка 2

Воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и сделаем замену. А что если рассмотреть выражение как функцию?

Подсказка 3

Функция слева приобретет вид f(t) = 2t^2-1 + cos(2t). Исследуем же ее!

Подсказка 4

Какой является эта функция и где она монотонна?

Подсказка 5

Функция f возрастает на [0;1] и является четной. Если пристально посмотреть, какие же t нам подходят? А какие из них попадают в наш отрезок?

Показать ответ и решение

Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем

π2 1 cos2x+ cos(2cosx)= 18 − 2

Пусть $t=cosx$ , тогда левая часть уравнения равна $2 f(t)= 2t − 1+ cos2t$ . Функция $f$ возрастает на $[0;1]$ (так как $′ f (t)= 2(2t− sin2t$ ) >0 при $t>0$ ) и является чётной, причём $(π) π2 1 f 6 = 18 − 2$ . Следовательно, корнями уравнения $π2 1 f(t)= 18 − 2$ на отрезке $[−1;1]$ являются числа $π t= ±6$ . Возвращаясь к переменной $x$ , находим

π x= ±arccos6 +πn,n∈ Z

Так как

√ - π = arccos--2< arccosπ< arccos1= π , 4 2 6 2 3

то на указанный отрезок попадают корни $π−$ $arccosπ,π+ arccosπ 6 6$ и $2π− arccos π 6$ . Их сумма равна $4π− arccosπ 6$ .

Ответ:

$x =± arccosπ+ πn,n ∈Z 6$ .

Сумма корней равна $π 4π − arccos6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#86451

Решите уравнение

√- x sinx =− 3cos2

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

x x √ - x 2sin 2 cos2 = − 3cos 2

Ни в коем случае нельзя сокращать на косинус, надо рассмотреть два случая:

[ x cos2x = 0√3 sin 2 = −-2

Решения первого уравнения $x= π+ 2πk,k ∈ℤ$ , а второго — $8π 10π x= 3 + 4πk,k ∈ℤ;x= 3 + 4πk,k∈ ℤ.$

Ответ:

$π +2πk;8π+ 4πk;10π+ 4πk; k∈ ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#88167

Решите уравнение

5+ 2sin2x− 5cosx = 4sinx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В формуле у нас почти везде участвует просто синус или косинус. Что тогда можно сделать с синусом двойного угла?

Показать ответ и решение

Применяя формулу двойного угла для синуса, получаем

5 +4sinx cosx− 5cosx − 4sinx= 0

5(1− cosx)− 4sin x(1− cosx)= 0

(1− cosx)(5− 4sinx)= 0

⌊ cosx= 1 ⌈ sinx = 5-нет решений 4

Итого, $x= 2πk, k∈ ℤ$

Ответ:

$2πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90015

Решите уравнение

cos3x-+sin5x- cosx+ sin3x = −1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом запишем ОДЗ. Но как обойтись с синусом тройного угла?

Подсказка 2

Формулы приведения помогут нам сделать синус из cos(x). А потом можно применить формулу преобразования суммы триг. функций в произведение.

Подсказка 3

С ОДЗ разобрались! Теперь умножим левую и правую части на cos(x) + sin(3x) ≠ 0. Что дальше можно сделать, чтобы упростить выражение?

Подсказка 4

Применим формулы преобразования суммы в произведение, после чего сразу можно будет вынести за скобки общий множитель. Что тут ещё можно сделать?

Подсказка 5

Попробуем раскрыть sin(4x) по формуле двойного угла — так у нас появится ещё один общий множитель: cos(2x). Осталось совсем немного и задача убита!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(π ) cosx +sin 3x ⁄= 0 ⇐ ⇒ sin 2 − x + sin3x⁄= 0

( π+ 4x) (π− 8x) ( π) (π ) 2sin --4-- cos --4-- ⁄=0 ⇐ ⇒ sin x + 4 cos 4 − 2x ⁄= 0 =⇒

( |{ x⁄= 3π4 + πk, k∈ ℤ | ( x⁄= 3π8 + πm2-, m ∈ℤ

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

cos3x+ sin5x= − cosx− sin3x ⇐⇒ 2cosxcos2x= −2sin4xcosx

cosx(cos2x+ sin4x)=0 ⇐ ⇒ cosx(cos2x+2sin2xcos2x)= 0

⌊ | cosx= 0 cosxcos2x(1+2sin 2x)= 0 ⇐⇒ ⌈ cos2x =0 sin2x =− 12

⌊ π | x= 2 + πn, n ∈ℤ ||| x= π+ πn, n∈ℤ || 4 2 ||| x= − π-+ πn, n∈ ℤ |⌈ 12 x= − 51π2 + πn, n ∈ℤ

После пересечения с ОДЗ исключается серия $x= 3π4 + πk(k ∈ℤ),$ а подходящие серии $π4 + πn,− π12 + πn,− 5π12 + πn(n ∈ℤ)$ можно объединить в $π4 + πn3 (n∈ ℤ).$

Ответ:

$π + πn; π + πn, n∈ ℤ 2 4 3$