Тема Тригонометрия

Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103845

Решите уравнение $2cos4x− sin3x= 1$ .

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству уравнение равносильно

2 2 3 2(1− sinx) − sin x= 1

2 2 2 2(1− sinx) (1+ sinx) = (1 +sinx)(1− sinx+ sin x)

$sinx= −1$ либо

2(1+ sinx)(1− 2sinx+ sin2x)= 1− sinx+ sin2x

2− 4sinx +2sin2x +2sin x− 4sin2x+ 2sin3x= 1− sinx+ sin2x

1− sinx− 3sin2x+ 2sin3x= 0

1− 2sinx+ sinx− 2sin2x− sin2x+ 2sin3x =0

2 (1− 2sinx)(1+ sinx − sin x)= 0

$sinx= 1 2$ либо $sinx = −1±-√1+4. −2$

В итоге после объединения решений с учётом области значений синуса подходят $1 1−√5 − 1;2; 2 .$ Соответственно

⌊ x= − π + 2πn,n∈ ℤ | π 2 ||| x= 65π+2πn,n∈ ℤ || x= 6 + 2π1−n√,n5-∈ℤ ⌈ x= arcsin 2 1−+√25πn,n∈ ℤ x= π− arcsin 2 +2πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π π 5π 1-− √5 1−√5- − 2 + 2πn;6 + 2πn; 6 +2πn;arcsin 2 + 2πn;π− arcsin 2 + 2πn; n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104696

Решите уравнение

9 (sinx +1)(cosx+ 1) =8

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $x= π+ 2πn,n ∈ℤ,$ то $9 (sinx+ 1)(cosx+ 1)= 1⋅0⁄= 8,$ поэтому можно сделать универсальную тригонометрическую подстановку и получить при $x t= tg 2$ уравнение

( 2t ) (1− t2 ) 9 1+-t2 + 1 1+-t2 + 1 = 8

2 2(t+-1)22-= 9 (1+ t) 8

t+-1-= ±3 1+ t2 4

2 4t+ 4= ±(3+ 3t )

[ 3t2− 4t− 1= 0 3t2+4t+ 7= 0

∘----- 3t= 2± 22+ 3

2± √7 x= 2arctg--3-- +2πn,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки

sinx +cosx+ sinxcosx = 1 8

Так как

2 sinxcosx= (sinx+-cosx)-−-1, 2

то

sinx +cosx+ (sinx+-cosx)2− 1-− 1= 0 2 8

Сделаем замену $t= sinx+ cosx :$

t2−-1- 1 t+ 2 − 8 =0

Откуда

⌊ 1 || t= 2 ⌈ 5 t= −2

Так как $sin x+ cosx≥ −2,$ то при $5 t =− 2$ равенство не выполняется, следовательно,

sinx+ cosx= 1 2

Представим левую часть в виде синуса суммы:

sin(x+ π)= -1√- 4 2 2

Откуда

⌊ π √2 || x+ 4 = arcsin 4-+2πk |⌈ π √2 ,k ∈ℤ x+ 4 = π− arcsin 4-+ 2πk

⌊ √ - | x= arcsin--2− π +2πk || 4 4√- ,k ∈ℤ ⌈ x= 3π− arcsin -2+ 2πk 4 4

Ответ:

$2arctg 2±√7 +2πn,n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#118415

Решите уравнение

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше выражение:

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0

(2sin3x − sin x) +(2sin2x− 1)= 0

sinx(2sin2x − 1)+ (2 sin2x− 1)= 0

(2sin2x − 1)(sinx+ 1)= 0

Тогда:

cos2x (sinx +1)= 0

Получается,

[ cos2x= 0 sin x+ 1=0

⌊ π |⌈ 2x= 2 + πk , k ∈ℤ sinx= −1

⌊ x= π + πk ||⌈ 4 2 , k∈ ℤ x =− π+ 2πk 2

Ответ:

$π + πk, − π+ 2πk, k∈ ℤ 4 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83950

Решите уравнение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

Показать ответ и решение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

⌊ ( | { 1+2( sinx=) 0 || ( cos x+ π ≥0 |⌈ ( π)4 cos x+ 4 = 0

Решим сначала первый случай

1 +2sin x= 0

⌊ π 1 | x= −6 + 2πk sin x= −2 ⇔ |⌈ 5π , k∈ ℤ x= − 6 +2πk

Проверим условие из системы

( ) ( ) cos − π +2πk+ π =cos π- > 0 6 4 12

( ) ( ) cos − 5π-+ 2πk + π = cos − 7π < 0 6 4 12

Следовательно, в этом случае подходит только $x =− π+ 2πk, k∈ ℤ. 6$

Теперь решим второй случай

( π) cos x+ 4 = 0

π π x+ 4 = 2 + πk, k∈ ℤ

π x= 4 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,π +πk, k∈ℤ 6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#84837

Решите уравнение

cosx+cos2x+ cos3x+ cos4x= 0

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов получаем уравнение

3x x 7x x 2cos2-cos2 + 2cos2-cos 2 = 0

x( 3x 7x ) cos2 cos-2 + cos2 = 0

( ) cosx 2cos5xcosx = 0 2 2

⌊ cosx= 0 |⌈ cos25x= 0 cos2x= 0

⌊ x= π+ 2πk, k∈ ℤ |⌈ x= π5 + 2π5k, k ∈ℤ x= π2 + πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π +2πk;π+ 2πk;π +πk; k ∈ℤ 5 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#84839

Решите уравнение

cos4xcos5x = cos6xcos7x

Показать ответ и решение

По формуле произведения косинусов получаем

1 1 2(cos9x+ cosx)= 2(cos13x+ cosx)

cos13x − cos9x= 0

По формуле разности косинусов получаем

− 2sin11xsin2x= 0

[ sin11x= 0 sin2x= 0

[ x= π1k1, k∈ ℤ x= π2k, k∈ ℤ

Ответ:

$πk ;πk; k∈ ℤ 11 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85341

Решите уравнение

1− sinx= cosx − sin2x

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

1− sinx= cosx − 2sin xcosx

На скобки разложить пока не получается, поэтому распишем $1$ по основному тригонометрическому тождеству и получим

2 2 sin x+ cos x+ 2sinxcosx− sinx− cosx =0

(sinx+ cosx)2− (sinx +cosx)=0

[ sinx +cosx= 0 sinx +cosx= 1

Если $cosx =0$ , то $sinx± 1$ , поэтому эта серия не является решением первого уравнения. Поэтому поделив его на $cosx ⁄= 0$ , получим $tgx =− 1$ , что равносильно $x = 3π4-+πk, k∈ℤ$

Второе уравнения возведем в квадрат

sin2x+ cos2x+ 2sinx cosx= 1

cosxsinx = 0 ⇐ ⇒ sin2x= 0

πn x= 2 , n∈ ℤ

Но возведение в квадрат — не равносильное преобразование, поэтому проверим полученные решения.

⌊ | x= 2ππn ||| x= 2 +2πn ⌈ x= π3+π 2πn x= -2 + 2πn

Из полученных серий только $π x= 2 +2πn$ и $x= 2πn$ удовлетворяют исходному $sinx+ cosx =1.$

Ответ:

$π + 2πn; 2πn; 3π+ πn, n ∈ℤ 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85345

Решите уравнение

√ - 2 x 2 √ - 2 3sin 2 +2= 2sin x + 3

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла

2 x cosx= 1− 2sin 2

x 1− cosx sin22 = --2----

Поэтому исходное равенство можно записать в виде

2√3⋅ 1-− cosx+ 2= 2(1− cos2x)+ √3 2

−√3cosx= −2cos2x

cosx(2cosx− √3)= 0

[ cosx =0√- cosx = 23

[ π x = 2 +π πn,n ∈ℤ x =± 6 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ±π +2πk,k∈ ℤ 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85551

Решите уравнение

2 36cos(x+ cosx)cos(x− cosx)+ 9= π

и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $[π;7π] 3 4$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем

π2 1 cos2x+ cos(2cosx)= 18 − 2

Пусть $t=cosx$ , тогда левая часть уравнения равна $2 f(t)= 2t − 1+ cos2t$ . Функция $f$ возрастает на $[0;1]$ (так как $′ f (t)= 2(2t− sin2t$ ) >0 при $t>0$ ) и является чётной, причём $(π) π2 1 f 6 = 18 − 2$ . Следовательно, корнями уравнения $π2 1 f(t)= 18 − 2$ на отрезке $[−1;1]$ являются числа $π t= ±6$ . Возвращаясь к переменной $x$ , находим

π x= ±arccos6 +πn,n∈ Z

Так как

√ - π = arccos--2< arccosπ< arccos1= π , 4 2 6 2 3

то на указанный отрезок попадают корни $π−$ $arccosπ,π+ arccosπ 6 6$ и $2π− arccos π 6$ . Их сумма равна $4π− arccosπ 6$ .

Ответ:

$x =± arccosπ+ πn,n ∈Z 6$ .

Сумма корней равна $π 4π − arccos6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#86451

Решите уравнение

√- x sinx =− 3cos2

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

x x √ - x 2sin 2 cos2 = − 3cos 2

Ни в коем случае нельзя сокращать на косинус, надо рассмотреть два случая:

[ x cos2x = 0√3 sin 2 = −-2

Решения первого уравнения $x= π+ 2πk,k ∈ℤ$ , а второго — $8π 10π x= 3 + 4πk,k ∈ℤ;x= 3 + 4πk,k∈ ℤ.$

Ответ:

$π +2πk;8π+ 4πk;10π+ 4πk; k∈ ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88167

Решите уравнение

5+ 2sin2x− 5cosx = 4sinx

Показать ответ и решение

Применяя формулу двойного угла для синуса, получаем

5 +4sinx cosx− 5cosx − 4sinx= 0

5(1− cosx)− 4sin x(1− cosx)= 0

(1− cosx)(5− 4sinx)= 0

⌊ cosx= 1 ⌈ sinx = 5-нет решений 4

Итого, $x= 2πk, k∈ ℤ$

Ответ:

$2πk, k ∈ℤ$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90015

Решите уравнение

cos3x-+sin5x- cosx+ sin3x = −1.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(π ) cosx +sin 3x ⁄= 0 ⇐ ⇒ sin 2 − x + sin3x⁄= 0

( π+ 4x) (π− 8x) ( π) (π ) 2sin --4-- cos --4-- ⁄=0 ⇐ ⇒ sin x + 4 cos 4 − 2x ⁄= 0 =⇒

( |{ x ⁄= 3π4-+πk, k∈ ℤ | ( x ⁄= 3π8-+ π2k, k∈ ℤ

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

cos3x+ sin5x= − cosx− sin3x ⇐⇒ 2cosxcos2x= −2sin4xcosx

cosx(cos2x+ sin4x)=0 ⇐ ⇒ cosx(cos2x+2sin2xcos2x)= 0

⌊ | cosx= 0 cosxcos2x(1+2sin 2x)= 0 ⇐⇒ ⌈ cos2x =0 sin2x =− 12

⌊ π | x= 2 + πn, n ∈ℤ ||| x= π+ πn, n∈ℤ || 4 2 ||| x= − π-+ πn, n∈ ℤ |⌈ 12 x= − 51π2 + πn, n ∈ℤ

После пересечения с ОДЗ исключается серия $x= 3π4 + πk(k ∈ℤ),$ а подходящие серии $π4 + πn,− π12 + πn,− 5π12 + πn(n ∈ℤ)$ можно объединить в $π4 + πn3 (n∈ ℤ).$

Ответ:

$π + πn; π + πn, n∈ ℤ 2 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90407

Решите уравнение

√3 1 sin11x+ -2-sin7x+ 2cos7x= 0.

Показать ответ и решение

Вспомним, что

π 1 π √3 sin6 = 2, cos 6 =-2-

Тогда преобразуем равенство из условия:

sin11x +cosπsin 7x +sin πcos7x= 0 6 6

sin11x +sin(7x+ π)= 0 6

Применим формулу суммы синусов:

2sin(9x+ π-)cos(2x− -π)= 0 12 12

[ 9x+ π12 = πk,k ∈ℤ 2x− π12 = π2 + πk,k∈ ℤ

[ π πk x= −7π108 +πk-9 ,k∈ ℤ x= 24 +-2 ,k∈ ℤ

Ответ:

$x =−-π-+ πk,7π+ πk (k ∈ℤ) 108 9 24 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91148

Решите уравнение

cos3x− cos2x= sin3x

Показать ответ и решение

cos(3x)− sin(3x)= cos(2x)

Воспользуемся формулой косинуса и синуса тройного угла, а так же косинусом суммы

3 3 2 2 4cosx− 3cosx+ 4sin x− 3sinx= cos x− sin x

4(cosx+sinx)(1− cosxsin x)− 3(cosx+ sinx)= (cosx− sinx)(cosx+sinx)

⌊ cosx+ sinx= 0 ⌈ 1− 4cosxsinx= cosx − sin x

Рассмотрим первое уравнение

cosx+ sinx =0

√ - ( π ) 2cos x −4 = 0

x− π = π+ πk, k∈ ℤ 4 2

x = 3π-+ πk, k∈ ℤ 4

Теперь рассмотрим второе уравнение

1− 2sin(2x)= cosx− sinx

Заметим, что $sin(2x)=1 − (cosx− sinx)2$

1− 2(1− (cosx− sinx)2)=cosx− sinx

Сделаем замену $t= cosx− sinx :$

2t2− t− 1= 0

(t− 1)(2t+ 1)= 0

⌊ | t= 1 ⌈ t= − 1 2

Сделаем обратную замену:

⌊ | cosx− sinx= 1 ⌈ 1 cosx− sinx= −2

⌊ ( π) 1 | cos x+ 4 = √2- |⌈ ( π) 1 cos x+ 4 = −2√2-

⌊ π π | x+ 4 = 4 + 2πk, k∈ ℤ || π 7π ||| x+ 4 = 4-+ 2πk, k∈ ℤ || π ( -1-) ||| x+ 4 = arccos − 2√2 +2πk, k ∈ℤ |⌈ π ( 1 ) x+ 4 = − arccos −2√2 + 2πk, k∈ ℤ

⌊ x =2πk, k ∈ℤ || 3π ||| x =-2 +2πk, k ∈ℤ || ( 1 ) π ||| x =arccos − 2√2- − 4 +2πk, k ∈ℤ |⌈ ( ) x =− arccos −-1√- − π4 + 2πk, k∈ ℤ 2 2

В итоге окончательным ответом будет

⌊ x = 3π +πk, k∈ℤ ||| 4 || x =2πk, k ∈ℤ ||| 3π || x = 2 +2πk, k ∈ℤ ||| ( -1-) π || x =arccos − 2√2- − 4 +2πk, k ∈ℤ |⌈ ( -1-) π x =− arccos −2√2 − 4 + 2πk, k∈ ℤ

Ответ:

$3π +πk,2πk,3π+ 2πk,arccos(−-1√-)− π +2πk,− arccos(−-1√-)− π +2πk, k∈ ℤ 4 2 2 2 4 2 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91955

Решите уравнение

-tg-3x-+tgx- 1+ tg3xtgx = tg 4xtg2x

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ

(| π (|| cosx⁄= 0 ||||| x⁄= 2 +πn ||||{ cos2x ⁄= 0 ||||{ x⁄= π + πn cos3x ⁄= 0 =⇒ 4π π2n ||||| cos4x ⁄= 0 ||||| x⁄= 6 +-3 |( 1+ tg3xtgx ⁄= 0 ||||| π πn ( x⁄= 8 +-4 , n∈ ℤ

Преобразуем левую часть. Домножим и числитель, и знаменатель на $cos3x cosx:$

(sin3x sinx) cos3xcosx⋅(cos3sxin +3xcsosinxx)-= sin3xcosx-+sin-xcos3x-= sin(3x+-x)= sin-4x cos3xcosx⋅1+ cos3xcosx cos3xcosx+sin3xsinx cos(3x− x) cos2x

Тогда получаем следующее

-tg-3x-+tgx- sin4x 1+ tg3xtg x = tg 4x tg2x ⇐⇒ cos2x − tg4xtg2x= 0

sin-4x- sin4xsin2x- sin4x( -sin2x) cos2x − cos4xcos2x = 0 =⇒ cos2x 1 −cos4x = 0

sin 4x(cos4x− sin2x) ----cos2xcos4x----= 0

Тогда получаем, что

[ sin4x(cos4x− sin2x)=0 =⇒ sin4x= 0 cos4x− sin2x= 0

⌊ πl | x= -4 , l∈ ℤ ⌈ 2 1− 2sin 2x− sin2x= 0

Решим последнее уравнение:

2 t= sin2x, =⇒ 1− 2t− t= 0

⌊ t= −1 =⇒ sin2x= −1 |⌈ t= 1 =⇒ sin2x= 1 2 2

Тогда получаем следующую серию

⌊ x= πl || 4 ||| x= 3π+ πl || 4 ||| x= π-+ πl |⌈ 152π x= 12 + πl, l∈ℤ

Объединяя серии и объединяя с ОДЗ, получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле тангенса суммы

tg4x= tg(3x+ x) =-tg3x+tgx- 1 − tg3xtgx

Сначала запишем ОДЗ:

( ||| 1+ tg 3x tgx ⁄=0 |||{ cos4x ⁄=0 | cos2x ⁄=0 ||||| cosx ⁄= 0 ( cos3x ⁄=0

По формуле тангенса разности

tg2x= tg(3x− x) =-tg3x− tgx 1 +tg3xtgx

Подставим все, что получили в исходное уравнение, получится следующее:

-tg3x-+tgx-= -tg3x+-tgx-tg3x−-tgx-- 1+ tg3xtgx 1− tg3xtgx 1+tg3xtgx

Видно, что можно будет кое-что сократить. Но сначала нужно проверить случай, когда $tg3x+tgx =0.$ Решения этого уравнения нам подходят, если они удовлетворяют ОДЗ. Это уравнение эквивалентно уравнению $tg3x =tg(− x).$ А это равенство может выполняться только если аргументы тангенсов отличаются на число, кратное $π.$ То есть $3x= −x +πt,t∈ ℤ.$ Таким образом, $π x = 4t.$ После пересечения решений этого равенства с ОДЗ получим $x= πt1.$ Это нетрудно получить подстановкой во все условия, если записать $t$ в виде $t= n1+ 4πt1,$ где $t1 ∈ℤ$ и $n1 ∈{0,1,2,3}.$

Перейдем к случаю $tg3x +tgx⁄= 0.$ В этом случае с учетом ОДЗ после сокращений получим уравнение:

-tg3x-− tgx 1 − tg3xtgx = 1

Теперь необходимо дополнительно учесть, что $1− tg3xtgx ⁄=0.$ Это условие проверим подстановкой после того, как решим уравнение.

Итак, после умножения на знаменатель уравнение примет вид:

tg 3x − tgx= 1− tg 3x tgx

Перенесем все в левую часть и разложим на множители

(1+tgx)(1− tg3x) =0

Тогда $tgx = −1$ или $tg3x =1.$ Таким образом, $3π x= 4 + πk$ или $π- π x = 12 + 3n,$ $n,k ∈ℤ.$

$3π x= 4 + πk$ не подходит по ОДЗ, поскольку $3π- cos(24 +πk)= 0.$

$π- π x= 12 + 3n$ тоже можно проверить, представив $n$ в виде $n =d+ 3l,$ где $l∈ ℤ$ и $d= 0,1,2.$ Тогда получится, что при $d =2$ этот корень не подходит по ОДЗ, поэтому в этом случае ответ таков: $-π x= 12 + πl$ или $5π- x = 12 +πl,l∈ℤ.$

Ответ:

$πl, π-+ πl,5π+ πl,l∈ ℤ 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92115

Решите уравнение $2sin3 x= cos3x$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

По формуле косинуса тройного угла $cos3x= 4cos3x− 3cosx.$ Заметим, что $cosx ⁄= 0,$ так как в противном случае, по основному тригонометрическому свойству $sin x⁄= 0,$ что противоречит равенству. Значит, мы можем поделить на ненулевое число $3 cos x:$