Оценки в тригонометрии

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

Получаем уравнения вида , где

Исследуем функцию

Вторая производная положительна при любом , следовательно первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда имеет не больше одного решения. Точка подходит. Также заметим, что при и при . А значит возрастает при и убывает при . Кроме того, функция четна.

Тогда уравнение может иметь решение только в случаях или . Решив эту совокупность, получим

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

Тогда наше уравнение запишется в виде

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства

Значит, при уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при или

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ