Тема Тригонометрия

Оценки в тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77217

Решите уравнение

cos(sinx)− cos(cosx)= cos2x

Показать ответ и решение

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

2 2 cos(sinx)− cos(cosx)= cosx − sin x

2 2 cos(sinx)+sin x =cos(cosx)+cosx

Получаем уравнения вида $f(sinx)= f(cosx)$ , где $f(t)= cost+ t2$

Исследуем функцию $f$

′ ′′ f (t)= 2t− sint; f (t)= 2− cost

Вторая производная положительна при любом $t$ , следовательно первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда $f′(t)= 0$ имеет не больше одного решения. Точка $t=0$ подходит. Также заметим, что $f′(t)≥ 0$ при $t≥ 0$ и $f′(t)≤ 0$ при $t≤0$ . А значит $f(t)$ возрастает при $t≥ 0$ и убывает при $t≤ 0$ . Кроме того, функция $f$ четна.

Тогда уравнение $f(sinx)= f(cosx)$ может иметь решение только в случаях $sinx= cosx$ или $sin x= − cosx$ . Решив эту совокупность, получим $x= π + πk, k∈ℤ 4 2$

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

( sinx+-cosx) ( sinx−-cosx) 2 2 −2sin 2 ⋅sin 2 = −(sin x− cos x)

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

sinx +cosx sin x− cosx a= ----2----; b=----2----

Тогда наше уравнение запишется в виде

2sina ⋅sinb= 2a ⋅2b

sina⋅sinb= 2ab

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель $ab, (ab ⁄=0)$

sin-a sinb ab(2− a ⋅ b )= 0

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства $|sintt|< 1 при t ⁄= 0.$

Значит, при $ab⁄= 0$ уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при $a= 0$ или $b=0.$

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение $sina⋅sinb =2ab$ и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ $π πk x = 4 + 2 , k∈ ℤ.$

Ответ:

$π + πk, k∈ ℤ 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79603

Решите уравнение

88π2- -1--- sin x = cos3x

Источники: ОММО - 2024, задача 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дано тригонометрическое уравнение с какими-то страшными аргументами тригонометрических функций, формулы тут не поприменяешь, к сожалению. В таких случаях обычно принято использовать метод оценки. Попробуйте воспользоваться им.

Подсказка 2

Давайте умножим наше уравнение на cos(3x). Что можно сказать про решения нашего уравнения, если вспомнить про ограничения на синус и на косинус?

Подсказка 3

Синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Значит, произведение синуса на косинус будет равно 1 только в случаях, когда синус и косинус равны 1, а также когда синус и косинус равны -1 одновременно.

Подсказка 4

Рассмотрим решения cos(3x) = ±1, x = πk/3. Подставив данную серию решений в уравнение с синусом равном ±1, найдите все подходящие k.

Подсказка 5

После подстановки получается выражение 88π²*3/πk = π/2 + πn, преобразовав, получим: 3*8*11 / k = 1/2 + n. Обратите внимание, что в правой части уравнения стоит целое число с одной второй, значит, слева тоже должно быть целое число + одна вторая. Какие k подходят под данное условие?

Подсказка 6

Так как нам необходимо, чтобы получилась именно 1/2 + какое-то целое в левой части уравнение, то на место k подойдут все такие целые числа, которые при сокращении с числителем будут оставлять в знаменателе 2.

Подсказка 7

То есть, каждое k делится на какой-то набор нечетных делителей числителя и еще на 16. Получается, что все k будут четными, значит, cos(3x) может равняться только 1. Остается отобрать такие пары k и n, что sin(88π²*3/x) = 1, x = π/2 + πn.

Показать ответ и решение

Домножим на $cos3x⁄= 0$

88π2 sin -x--⋅cos3x= 1

Так как $|sint|≤1, |cost|≤1$ , равенство возможно только в случаях

⌊ { 88π2 | sin-x--=1 ||| { cos3x=2 1 ⌈ sin88πx--=− 1 cos3x= −1

Уравнение $cos3x = ±1$ имеет решения $πk x= -3 , k ∈ℤ, k⁄= 0$ . Подставив эту серию в $88π2 sin--x-= ±1$ , получаем

88π2⋅3 π -πk---= 2 + πn, n∈ ℤ

3-⋅8-⋅11 = 1+ n k 2

Тогда $k$ может принимать только следующие значения

k= ±16, ± 16⋅3, ±16⋅11, ± 16 ⋅33

Так как все получившиеся $k$ четны, $cos3x = 1$ . Выберем из получившихся пар $(n,k)$ такие, что $sin88π2-=1. x$ То есть те, где $n$ четно.

$n= 16$ или $n =− 17$ при $k= ±16$

$n= 5$ или $n =− 6$ при $k =±3 ⋅16$

$n= 1$ или $n =− 2$ при $k =±16 ⋅11$

$n= 0$ или $n =− 1$ при $k =±16 ⋅33$

Подставляя в

88π2 π sin-x--= 2 +πn

176π x = 1+-2n-

получаем ответ.

Ответ:

$16π, − 16π, − 176π, 176π 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85306

Решите уравнение

√ ------- 3x √ - 2π 1+ cos6x⋅sin 2 = 2 2cos 3

Показать ответ и решение

Сразу посчитаем правую часть:

√ - 2π √ -( 1) √ - 2 2cos 3 = 2 2 − 2 = − 2

Оценим левую часть:

√------- √ - 1+ cos6x ≤ 2, |sin 3x|≤1 2

Подытожим оценку:

|√1+-cos6xsin3x|≤√2- 2

Тогда наше равенство равносильно системе, так как, чтобы уравнение было верным, все неравенства должны стать равенствами:

√------- 3x √- ({ √1+-cos6x= √2 1+ cos6xsin 2-= − 2 ⇐ ⇒ ( sin3x =−1 2

( √ ------- √- { 1+cos6x= 2 ( 3x = − π +2πk, k∈ ℤ 2 2

Заметим, что из второго уравнения системы следует первое:

( ) cos6x= cos 3x-⋅4 = cos(−2π+ 8πk)=1, k∈ℤ 2

Значит, все условия в системе соблюдаются при

3x π 2 = − 2 + 2πk, k ∈ℤ

π 4πk x= − 3 +-3-, k∈ ℤ

Ответ:

$− π + 4πk k∈ ℤ 3 3 ,$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85343

Решите уравнение

√- ( 8 7 ) 2 2 cos x +x + 1 = 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аргумент косинуса выглядит страшно, поэтому по началу может быть не понятно, как подступиться к такой задаче. В таких случаях нужно смотреть на всё уравнение: а чему вообще должен быть равен косинус?

Подсказка 2

Поделим обе части уравнения на 2√2 и получится, что косинус равен 3/2√2. Вспомните, что косинус по модулю не превышает единицу, и поймите, может ли он равняться 3/2√2.

Показать ответ и решение

Заметим, что $-3√-≥ 1 2 2$ . Действительно,

√- 3 9 2≤ 2 ⇐ ⇒ 2 ≤4 ⇐⇒ 8≤9

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#86471

Найдите все пары чисел $(x;y)$ , удовлетворяющие уравнению

(cosx +cosy)(sinx+ siny)= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас уже итак довольно простое выражение, поэтому раскрывать скобки не очень-то хочется. Вам не кажется, что сейчас грех не воспользоваться формулами суммы синусов и суммы косинусов?

Подсказка 2

После применения формул слева появляются множители sin((x+y)/2) и cos((x+y)/2), которые так и просят собрать их по формуле синусa двойного угла. После привидения и сокращения одинаковых множителей слева и справа какую интересную картинку можно увидеть?

Подсказка 3

Слева у нас остается sin(x+y)*cos²((x-y)/2), а справа 1. Сразу напрашивается метод оценки, т.к. множители слева по модулю не превосходят 1. Выпишите, когда произведение наших множители слева обращается в 1, и доведите решение до конца!

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формулам суммы косинусов и синусов уравнение равносильно

x+ y x− y x +y x− y 2cos -2--cos -2--⋅2sin--2-cos--2- =2

По формуле синуса двойного угла это превращается в

sin(x+ y)⋅cos2 x−2-y= 1

Так как $0≤ cos2 x−2y ≤1$ и $− 1 ≤sin(x+ y)≤ 1,$ то левая часть уравнения не превосходит 1. А равенство достигается лишь в случае

{ sin(x+ y)=1 cos2 x−2y =1

{ x+ y = π+ 2πn,n ∈ℤ x− y = 22πm, m∈ ℤ

(|{ x = π4 + π(n +m ), y = π4 + π(n − m ), |( n ∈ℤ,m ∈ℤ

( |{ x= π4 + πk +2πm, | y = π4 +πk, ( k∈ ℤ,m ∈ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки в левой части:

(cosx+ cosy)(sinx +sin y)= (cosxsinx+ cosxsiny +cosysinx+ cosy siny)

Применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца для векторов из $4$ чисел:

a= (cosx,siny,sin x,cosy),b= (sin x,cosx,cosy,sin y)

Получим:

(a,b)=(cosxsinx+ cosxsiny+ cosysinx +cosysiny)≤

∘ ----------------------∘ ----------------------- ≤ |a|⋅|b|= cos2x +sin2y +sin2x+ cos2y sin2x+ cos2x+ cos2y+ sin2y = 2

Но левая часть неравенства равна $2$ по условию. Значит, в неравенстве КБШ левая и правая части равны для $x,y,$ удовлетворяющих условию задачи.

Как известно, равенство в КБШ достигается, когда векторы коллинеарны, то есть для некоторого $k$

(|| cosx= ksinx ||{ sinx =k cosy || cosy = ksiny ||( siny =k cosx

Последовательно подставляя, уравнения системы получим:

2 3 4 cosx= ksinx = kcosy = k siny = k cosx

Откуда либо $cosx =0$ , тогда $siny =cosy = cosx =0,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству $0 =sin2x +cos2x ⁄=1.$

Либо $k4 = 1$ , то есть $k =±1$ .

В случае $k= −1$ получится система:

(|| cosx =− sinx ||{ sinx =− cosy || cosy =− siny ||( siny =− cosx

Подставим $cosy = − siny$ во второе уравнение системы и $cosx= − sinx$ в четвёртое

( ||| cosx =− sinx |{ sinx =sin y ||| cosy =− siny |( siny =sin x

Нетрудно проверить, что в таком случае

(cosx+ cosy)(sinx +sin y) =−2

что не подходит под условие задачи.

В случае $k= 1$ получится система:

( |||| cosx =sin x { sinx= cosy |||| cosy = siny ( siny = cosx

Которая имеет решения

(π4 +πk+ 2πm;π4 +πk),k,m ∈ ℤ

Ответ:

$(π +πk +2πm;π + πk), k,m ∈ℤ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#62507

Решите уравнение

∘5-− sin2x sinx+ cos8xcosx= ---2---

Показать ответ и решение

Покажем выполнение следующего неравенства

√ - ∘-5− sin-2x sinx+ cos8xcosx ≤ 2≤ ---2---

Второе неравенство очевидно — оно следует из того, что $sin2x≤ 1$ . Для первого хочется применить формулу вспомогательного угла, но мешает лишний косинус. Заметим, что $cos8xcosx> 0$ , поскольку иначе левая часть не больше единицы и равенство невозможно. В силу симметрии мы можем рассмотреть только случай $cosx> 0,cos8x> 0$ , тогда выполнены неравенства

( ) ( ) sinx +cos8x cosx≤ sinx +cosx⋅1= √2⋅ √1-sinx +√1-cosx = √2sin x + π ≤ √2 2 2 4

Итак, неравенства доказаны, остаётся выписать условия, при которых в обоих достигаются равенства. Сделаем это по случаям

$cosx> 0,cos8x> 0$ . Здесь получаем систему
$( ( π ) ( π |{ sin x +4 =1 |{ x= 4πk+2πn π |( cos8x= 1 ⇐ ⇒ |( x= π4 ⇐ ⇒ x = 4 + 2πm sin 2x =1 x= 4 +πm$
$cosx< 0,cos8x< 0$ . Аналогично имеем
$(|{ sin(x− π4)= 1 (|{ x= 34π+ 2πn cos8x =− 1 ⇐⇒ x= π+ πk ⇐⇒ x∈ ∅ |( sin2x= 1 |( x= 8π+ π4m 4$

Замечание.

Быстро обосновать неравенство $√- sinx +cos8x cosx≤ 2$ можно с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца:

(sinx+ cos8xcosx)2 ≤ (sin2x+ cos2x)(12+ cos28x)=1 +cos28x ≤2

Ответ:

$π + 2πn, n∈ ℤ 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63946

Решите уравнение

sin(cosx) =sin (1+ sinx)

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.2 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Равенство синусов...когда оно возможно?

Подсказка 2

Когда аргументы синуса равны или в сумме дают π (с учётом прибавления 2πk)! Рассмотрим первый случай. Так и запишем: cos(x) = 1 + sin(x) + 2πk. Пока не совсем понятно, как же работать с k...попробуем его оценить! Часто в работе с тригонометрическими функциями используют какие-то неравенства, оценки - быть может, и сейчас мы сможем как-то оценить 2πk = 1 + sin(x) - cos(x), чтобы как-то найти k? С помощью чего можно это сделать(учитывая, что сами тригонометрические функции оцениваются нетрудно: |sin(x)| <= 1, |cos(x)| <= 1)

Подсказка 3

С помощью модулей! Помним правило для модуля суммы: |a+b|<= |a|+|b|. Пробуем им воспользоваться, какую тогда оценку на |2πk| получим?

Подсказка 4

|2πk|<= |sin(x)| + |1| + |cos(x)| <= 3 <= 2π, тогда несложно найти k) Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение и не забыть про второй случай, вытекающий из подсказки 2!

Показать ответ и решение

Для данного равенства возможны два случая.

1.

$cosx= 1+ sinx+ 2πk,k ∈Z;$ при этом

|2πk|= |1+sinx− cosx|≤1 +|sinx|+ |cosx|≤1+ 1+ 1< 2π

Отсюда $k= 0$ . Далее,

cosx =1+ sinx

cosx− sinx =1

По формуле вспомогательного аргумента

( π) √2- cos x+ 4 = 2

x= − π4 ± π4 +2πn,n∈ Z

2.

$cosx+ 1+ sinx= π+ 2πk,k ∈Z$

Поскольку

|cosx+ 1+ sinx|≤|cosx|+ 1+ |sin x|≤ 1+ 1+ 1< π ≤|π+ 2πk|,

то в этом случае решений нет.

Ответ:

$− π ± π+ 2πn,n ∈ℤ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#67931

При каком наименьшем по модулю значении параметра $α$ уравнение

20( π ) 23( π ) 1234 sin x −3 − 789cos αx− 4 = 2023

имеет решение на отрезке $[−π,π]?$

Источники: Ломоносов-2023, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из-за страшного вида уравнения можно понять, что просто преобразованиями это не решить, значит тут какая-то идея! Вот интересное замечание: 1234+789 = 2023. На что это может натолкнуть?

Подсказка 2

Можно из этого понять, что т.к. синус и косинус по модулю не превосходят 1, то максимум левой части как раз равен 2023! Теперь можно приравнять синус к ±1, а косинус к -1, и посмотреть на корни.

Подсказка 3

Выходит системка вида x = 5π/6 + πk и ax = 5π/4 + 2πn. Давайте посмотрим, когда первый корень может быть в этом промежутке.

Подсказка 4

Да, только при k = -1, 0! Осталось разобраться с альфа. Давайте подставим первый корень во второй чтобы выразить альфа через n и k) Останется только понять, при каких n и k модуль этого выражения достигнет минимума, а зная чем может быть k, это не так сложно)

Показать ответ и решение

Так как синус и косинус по модулю не превосходят $1,$ а $1234+ 789= 2023,$ решением уравнения может быть только такой $x,$ при котором входящие в уравнение синус и косинус равны соответственно $± 1$ (при возведении в 20-ю степень даст $1$ ) и $− 1$ (таким же останется при возведении в 23-ю степень).

( ( ) (| 5π { sin x− π3 =±1 |{ x= 6 + πk, k∈ ℤ ( cos(αx − π )=− 1 ⇔ ||( 5π 4 αx= 4 + 2πn, n∈ ℤ

Подставив $x$ из первого выражение во второе, выразим $α$

(5π ) 5π 15+ 24n α -6 +πk = 4-+ 2πn ⇒ α= 10+-12k, k,n∈ ℤ

Найдём возможные целые значения $k,$ подставив $x$ в условие $− π ≤ x≤ π,$

−π ≤ 5π +πk ≤π, k∈ℤ ⇒ k∈ {−1;0} 6

Чтобы найти $α$ с наименьшим модулем, выберем $n,$ минимизирующее модуль числителя, (для приведенных числителей это $0$ или $− 1),$ а также допустимое $k,$ максимизирующее модуль знаменателя. Нетрудно заметить, что это $n= −1$ и $k =0,$ поэтому получаем

α= −9-= −0,9 10

Ответ:

$− 0,9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#68075

Решить уравнение

( 4 )( 4 ) 2 2 sin 5x+ 1 sin 3x+ 1 = 4sin 5x⋅sin 3x.

Источники: Росатом-2023, 11.2, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что относительно замены a=sin^2(5x), и b=sin^2(3x) уравнение симметрично. Попробуйте оценить каждую из скобок снизу по отдельности и подумать, что это дает(размышления про симметрию нужны, так как, вероятно, нужно как-то по одному алгоритму оценивать каждую из скобок).

Подсказка 2

Верно, мы можем оценить, что первая скобка - это хотя бы 2sin^2(5x), а вторая - хотя бы 2sin^2(3x) (так как t^2+1>=2t - по неравенству о средних или просто можно перенести в левую часть все). Значит, левая часть почти всегда больше или равна правой. Что это дает нам? Какая система из этого следует?

Подсказка 3

Действительно, у нас выходит, что sin^2(3x)=sin^2(5x)=1 А это значит, что |sin(3x)|=1=|sin(5x)|. Остается решить эту систему и получить ответ.

Показать ответ и решение

Выполним равносильные преобразования в исходном уравнении:

4 4 4 4 2 2 sin 5x ⋅sin 3x +sin 5x+ sin 3x+ 1− 4sin 5x⋅sin 3x = 0

(sin45x⋅sin43x− 2sin25x⋅sin23x+ 1)+ (sin45x − 2sin25x ⋅sin23x +sin43x)= 0

(sin25x⋅sin23x− 1)2+ (sin25x − sin23x)2 = 0

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Тогда

( {sin25x⋅sin23x− 1= 0 (sin25x− sin23x= 0

Учитывая ограниченность синуса, имеем

( ( π ( π πn { |sin5x|=1 |{ 5x= 2 +πn |{ x= 10 +-5 ,n ∈ℤ ( |sin3x|=1 ⇔ |( 3x= π +πm ⇔ |( x= π + πm-,m ∈ℤ 2 6 3

Далее находим пересечение серий

({ π-+ πn = π+ πm-⇔ 3n− 5m =1 ⇔ n =2 +5k ,k ∈ℤ 10 5 6 3 (m = 1+3k

Окончательно получаем $π x= 2 + πk,k ∈ℤ$

Ответ:

$π + πk,k ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#69372

Решите уравнение

4 tgx x4 (x − 2)(2 − 1)+ (3 − 9)tgx =0

Источники: Звезда - 2023 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

"По-нормальному" мы это уравнение точно не решим, поэтому давайте вспоминать все хитрости, которые у нас есть. В уравнение мы видим похожие конструкции в обоих слагаемых. Попробуйте ещё получше преобразовать tg(x), 3^x⁴-9 и 2^{tg x}-1, чтобы они стали совсем идентичными. Как тогда их можно связать между собой?

Подсказка 2

Верно, если записать tg(x)=tg(x)-0, 2^{tg x}-1=2^{tg x}-2^0 а 3^x⁴-9=3^x⁴-3^2, то это всё намекает посмотреть на уравнение с точки зрения функции. А справа у нас ноль. То есть хорошо бы было просто сказать, что каждое из слагаемых равно нулю. Но у нас может быть такое, что одно положительное, а другое отрицательное... Или не может? Попробуйте понять, почему у нас два слагаемых обязательно одного знака.

Подсказка 3

Верно, можно сказать, что мы сравниваем два числа и степени 3 и 2 возведённые в них. Тогда из-за возрастания 3^x и 2^x знак в таких скобках будет совпадать в скобках с просто выражениями x⁴ и 2 или tg(x) и 0. Всё, теперь можем уже "законно" сказать, что каждое из слагаемых должно быть равно нулю и доделать задачу!

Показать ответ и решение

Функции $y = 2t$ и $y = 3t$ - возрастающие, следовательно, выражение $3x4 − 9= 3x4 − 32$ имеет такой же знак, как и $4 x − 2$ , а выражение $tgx tgx 0 2 − 1= 2 − 2$ имеет такой же знак, как и $tgx− 0= tgx$ . Таким образом, слагаемые в левой части уравнения - одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Имеем

[ 4 x − 2= 0 tgx= 0

Решая эти уравнения, получаем ответ.

Ответ:

$±√42;πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#71245

Решите уравнение:

8cosx cosycos(x− y)+1 =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока не очень понятно, как это решать, поэтому надо это уравнение преобразовать. Какую формулу можно применить?

Подсказка 2

Верно, формулу для произведения косинусов! У нас получается квадратное уравнение относительно cos(x - y), поэтому что можно найти?

Подсказка 3

Можно посчитать дискриминант и увидеть в нём кое-что красивое или же попробовать выделить полный квадрат в левой части уравнения :)

Подсказка 4

Получили систему уравнений на косинусы, остаётся только её решить и найти x и y. И так как мы пользовались оценкой, что нужно не забыть сделать?

Подсказка 5

Конечно, проверить подстановкой, подходят ли нам найденные решения!

Показать ответ и решение

По формуле произведения косинусов получаем уравнение

4(cos(x− y)+ cos(x+ y))cos(x− y)=− 1,

Выделим полный квадрат и сделаем оценку обеих частей

2 2 0 ≤(2cos(x− y)+cos(x+ y)) = cos (x +y)− 1≤ 0

По методу оценки уравнение равносильно системе

{ 2cos(x− y)+ cos(x+ y)=0 cos2(x +y)− 1= 0

Если

cos(x+ y)= 1 ⇐⇒ y = −x+ 2πn,n ∈ℤ,

то из первого уравнения системы $cos(x− y)= − 12,$ а из исходного уравнения

8cosxcosx⋅(− 1)= −1 ⇐⇒ cosx =± 1 ⇐⇒ x= ± π+ πk,k ∈ℤ 2 2 3

Если

cos(x+ y)= −1 ⇐ ⇒ y =π − x +2πn,n∈ ℤ,

то из первого уравнения системы $cos(x− y)= 12,$ а из исходного уравнения

8cosx⋅(− cosx)⋅ 1 =− 1 ⇐⇒ cosx= ± 1 ⇐⇒ x= ±π +πk,k∈ ℤ 2 2 3

Объединяя серии, получаем ответ.

Ответ:

$(π +πk,− π +πn),(− π+ πk,π+ πn),n∈ ℤ,k∈ ℤ. 3 3 3 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76752

Решите уравнение

2 sinx x2 (x − 2)(2 − 1)+ (2 − 4)sinx= 0

Показать ответ и решение

Заметим, что знак выражения $x2− 2$ совпадает со знаком выражения $2x2 − 22$ по методу рационализации. Также знак выражения $sinx$ совпадает со знаком выражения $sinx 0 2 − 2 .$ Следовательно знаки произведений совпадают. А значит, чтобы выполнялось равенство нулю, нужно, чтобы хотя бы одно из произведений равнялось нулю.

[ 2 x − 2= 0 sinx =0

Решив совокупность, получаем ответ. Легко проверить, что при этом в обеих слагаемых получаются нулевые произведения.

Ответ:

$±√2; πn, n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90406

Решите уравнение

2 √- 2 √- cos x+ 3sin x =(1+ 3)(cosx − cosxsinx +sinx).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки в правой части. У нас есть много одинаковых множителей, быть может, перенесем всё в одну сторону и разложим на множители?

Подсказка 2

Мы получим совокупность, в которой сумма синуса и косинуса 0. Как можно решить такое уравнение?

Подсказка 3

Методом вспомогательного угла! А как решить второе уравнение совокупности?

Подсказка 4

А второе решим с помощью оценки!

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в правой части равенства.

2 √ - 2 √ - √- √- cosx + 3sin x= cosx − cosxsinx+ sinx + 3cosx− 3cosxsinx+ 3 sinx

Разложим выражение на множители:

(√3-sin2x+ √3cosx sinx)+(cos2x+ cosxsinx)− (1+ √3)(cosx+ sinx)= 0

(cosx+ sinx)(√3sin x+ cosx− 1− √3)= 0

[ c√osx+ sinx= 0 √- 3sinx+ cosx − 1− 3 =0

Первое уравнение решим методом вспомогательного угла:

√- √ - -2-cosx+ --2sinx =0 2 2

sin(x+ π)= 0 4

π x =− 4 + πk,k∈ ℤ

Второе — не имеет решений, так как $√- √- 3sinx+ cosx≤ 3+ 1.$ При этом равенство достигается только при $sin x= cosx= 1,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Ответ:

$x =− π+ πk (k∈ ℤ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#30792

Решите уравнение

4sin(3x−-π∕2) ---1--- ctg2x+ tg2x =sinxcosx.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sinxcosx⁄= 0$

На ОДЗ уравнение равносильно

π 1 2 2sin(3x − 2)sin2x= tg2-x + tg x

При любых значениях переменной

-12--+tg2x≥ 2 tg x

2sin(3x− π)sin2x≤ 2 2

Поэтому уравнение равносильно системе

{ -1--+tg2x= 2 t2g2sixn(3x − π)sin 2x =2 2

{ tg2x =1 sin(3x− π2)= sin2x =±1

Кроме того, из $sin 2x =±1$ следует $1−tg2x cos2x= 1+tg2x =0$ следует $tg2x= 1$ , поэтому достаточно учесть только $π sin(3x −-2)=sin 2x =±1$ (причём ОДЗ тоже будет выполняться).

Итак, для $sin2x= sin(3x − π2)=1$ имеем $x= π4 +πn,x= π3 + 2π3k$ — легко видеть, что у этих серий нет общих решений.

Иначе же $x =− π4 + πn,x= 2πk3$ , данные серии также не имеют общих корней, потому решений нет.

Ответ: корней нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#30997

Решите уравнение

2 ∘----- 2sin x+ 1= 3 1+ y2.

Показать ответ и решение

2 2 ∘----2 ∘ ---2- sin x≤ 1=⇒ 2sin x+1 ≤3 1 +y ≥ 1=⇒ 3 1+y ≥ 3

Откуда оба выражения должны быть равны тройке, следовательно, $sin2x =1 ⇐⇒ cos2x =0$ и $∘1-+-y2-=1 ⇐⇒ y = 0$ .

Ответ:

$(x = π+ πn, y = 0),n ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31192

Решите уравнение

2 2 2 sin x+3x cosx+ 3x =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Заметим, что сумма чисел должна быть равна нулю, но, например, sin²(x) всегда ≥ 0. Тогда посмотрим на вторую часть выражения, это 3x²(cos(x) + 1). Как можно было бы ее оценить?

Подсказка 2.

Хотелось бы, конечно, чтобы она тоже оказалась ≥ 0. Как бы это доказать. 3x² точно ≥ 0, ну и cos(x) + 1 тоже, ведь cos ∈ [-1, 1]. Что теперь нам дают такие оценки?

Подсказка 3.

Если сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, то каждое из них равно нулю! Осталось приравнять и технически выяснить, какие же тут решения ;)

Показать ответ и решение

Так как

(| sin2x≥ 0 { x2 ≥0 |( 1+cosx≥ 0

то $sin2x+ 3x2(cosx +1)≥ 0$ при любом значении $x$ . Равенство же достигается тогда и только тогда, когда

{ sin2x= 0 x2(1+ cosx) =0

Первое уравнение этой системы является следствием второго, ведь при $x= 0$ верно $sinx= 0$ , а при $cosx= −1$ это тоже верно в силу основного тригонометрического тождества.

Так что система равносильна

x2(1+cosx)=0.

В итоге $x= 0$ или $x = π+2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

${0}∪{π +2πn,n∈ ℤ}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31196

Решите уравнение

4 4 2 2 2 tg x+ tg y+2 ctg xctg y =3+ sin (x +y).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадрат синуса в правой части точно не больше единицы, так что вся правая часть не больше четырёх. Наша цель будет доказать, что левая часть не меньше четырёх

Подсказка 2

Заметим, что тангенсы и котангенсы хорошо сокращаются в произведении, а сумму и произведение неотрицательных чисел хорошо связывает неравенство о средних.

Показать ответ и решение

Заметим, что $3+sin2(x+ y)≤4,$ а по неравенству о средних

4 4 2 2 tg x+ tgy +2ctg xctg y ≥

2 2 2 2 ≥ 2tg xtg y+ 2ctg xctgy ≥

≥ 4∘tg2-xtg2yctg2xctg2y = 4

Значит, равенство может выполняться только при $sin2(x +y)= 1$ и

tg4x =tg4y = ctg2xctg2y = ctg2xctg2y =1

tg2x= tg2y = 1

π πk π πn x= 4 + 2-, y = 4 + 2-,n,k ∈ℤ

При этих значениях

( ) sin2(x+ y) =sin2 π+ π(n+-k) = 1 2 2

тогда и только тогда, когда $n+ k$ является чётным.

Ответ:

( $π+ πk 4 2$ ; $π + πn 4 2$ ), где $n$ и $k$ это любые целые числа одинаковой чётности

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#31393

Решите уравнение

3 cosx +cosy− cos(x +y)= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскроем косинус суммы. Давайте перенесем 3 в левую часть и попробуем оценить появившееся выражение. Для этого нам пригодится формула:

Подсказка 2

sin² x это 1 - cos² x. Давайте заменим их. И тогда у нас будет оценка через cos² x, cos² у на 2sinxsiny. Подставим ее в наше выражение.

Подсказка 3

Очень хочется сделать какую-то оценку в левой части выражения, попробовать склеить его в произведение множителей. Вообще, было бы полезно доказывать, что левая часть либо неотрицательна, либо неположительна. Из этого бы следовало, что она обязательно равна нулю (по условию)!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса суммы уравнение равносильно

2cosx+ 2cosy− 2cosx cosy+ 2sinxsiny− 3=0.

Так как

2 2 sin x+ sin y− 2sinxsiny ≥ 0,

то левая часть не превосходит

2cosx +2cosy− 2cosxcosy+ 1− cos2x+ 1− cos2y− 3 =

= −(cos2x+ cos2y+ (−1)2+ 2cosxcosy− 2cosx⋅1− 2 cosy⋅1)= −(cosx+ cosy− 1)2,

так что она неположительна. При этом в силу уравнения левая часть должна быть равна нулю.

Это возможно тогда и только тогда, когда в обоих неравенствах на полный квадрат достигается равенство нулю.

То есть $sin2x+ sin2y = 2sinxsiny$ и $cosx +cosy = 1$ . Из этих двух условий следует, что $cosx= cosy = 12$ .

Значит, $x= ±π3 +2πk,k∈ ℤ$ и $y = ±π3 +2πn,n∈ ℤ$ .

Осталось учесть $cos(x +y)= − 12$ .

Значит, если $x = π3 + 2πk,k ∈ℤ$ , то $y = π3 + 2πn,n ∈ℤ$ , а если $x =− π3 + 2πk,k ∈ℤ$ , то $y =− π3 + 2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

( $π +2πk 3$ ; $π +2πn 3$ ), ( $− π+ 2πk 3$ ; $− π+ 2πn 3$ ), $n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#33521

При каждом значении параметра $a∈ [−2;2]$ решите уравнение

|x− a− 1|+ |x − a|= sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим сразу же ограничение на правую часть, тогда что можем сказать про левую часть? Само по себе ограничение на левую часть нам ничего не даст, но что будет, если вынесем “-” в одном из модулей и пристально посмотрим на эти модули?

Подсказка 2

Верно, по неравенству треугольника получим, что сумма модулей вовсе будет равна 1! А значит мы можем получить решение как и для левой части уравнения, так и для правой части. Останется лишь применить условие про значения а и найти решение при каждом а!

Показать ответ и решение

Запишем первое подмодульное с другим знаком, от этого уравнение из условия не поменяется $|1− (x− a)|+ |x − a|= sinx$ . Заметим, что правая часть не больше единицы, поэтому и левая часть должна быть не больше единицы. Но по неравенству треугольника $|1− (x− a)|+ |x − a|≥ |1− (x− a)+ (x− a)|= 1$ . Значит, левая часть должна быть в точности равна единице, то есть $|1− (x− a)|+ |x − a|= 1 ⇐⇒ 1− (x− a)≥ 0 и x − a ≥0 ⇐⇒ a≤ x≤ a+ 1$ . Cоответственно единице должна быть равна и правая часть уравнения, то есть $π sinx= 1 ⇐⇒ x= 2 +2πk,k∈ℤ$ .

Вспомним условие, что $− 2 ≤a ≤2$ , и оценим, каким может быть $k$ .

Если $k≥ 1$ , то $π x≥ 2 + 2π > 4> a+ 1$ , что не соответствует $a≤ x≤ a+1$ .

Если $k≤ −1$ , то $π x≤ 2 − 2π <−4 <a$ , что не соответствует $a ≤x ≤a+ 1$ .

Значит, может быть только $k= 0$ , соответственно $π x =-2$ . Только такое решение может быть при $− 2 ≤a ≤2$ . И при этом всё равно оно является решением для тех значений параметра, чтобы $0 ≤x− a≤ 1$ , то есть $π π − 2 = x− 1≤ a≤ x= 2$ . Осталось проверить, что $[π2 − 1$ ; $π2]$ принадлежит отрезку $[−2;2]$ и записать ответ.