Оценки в тригонометрии

Покажем выполнение следующего неравенства

Второе неравенство очевидно — оно следует из того, что . Для первого хочется применить формулу вспомогательного угла, но мешает лишний косинус. Заметим, что , поскольку иначе левая часть не больше единицы и равенство невозможно. В силу симметрии мы можем рассмотреть только случай , тогда выполнены неравенства

Итак, неравенства доказаны, остаётся выписать условия, при которых в обоих достигаются равенства. Сделаем это по случаям

• . Здесь получаем систему

  

• . Аналогично имеем

  

Замечание.

Быстро обосновать неравенство можно с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца: