Оценки в тригонометрии

Подсказка 1

В условии дано тригонометрическое уравнение с какими-то страшными аргументами тригонометрических функций, формулы тут не поприменяешь, к сожалению. В таких случаях обычно принято использовать метод оценки. Попробуйте воспользоваться им.

Подсказка 2

Давайте умножим наше уравнение на cos(3x). Что можно сказать про решения нашего уравнения, если вспомнить про ограничения на синус и на косинус?

Подсказка 3

Синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Значит, произведение синуса на косинус будет равно 1 только в случаях, когда синус и косинус равны 1, а также когда синус и косинус равны -1 одновременно.

Подсказка 4

Рассмотрим решения cos(3x) = ±1, x = πk/3. Подставив данную серию решений в уравнение с синусом равном ±1, найдите все подходящие k.

Подсказка 5

После подстановки получается выражение 88π²*3/πk = π/2 + πn, преобразовав, получим: 3*8*11 / k = 1/2 + n. Обратите внимание, что в правой части уравнения стоит целое число с одной второй, значит, слева тоже должно быть целое число + одна вторая. Какие k подходят под данное условие?

Подсказка 6

Так как нам необходимо, чтобы получилась именно 1/2 + какое-то целое в левой части уравнение, то на место k подойдут все такие целые числа, которые при сокращении с числителем будут оставлять в знаменателе 2.

Подсказка 7

То есть, каждое k делится на какой-то набор нечетных делителей числителя и еще на 16. Получается, что все k будут четными, значит, cos(3x) может равняться только 1. Остается отобрать такие пары k и n, что sin(88π²*3/x) = 1, x = π/2 + πn.