Количество способов, исходов, слагаемых → .01 Правила сложения и умножения

Заметим, что делитель числа не может иметь простые множители кроме 2 и 3, так как само имеет только эти простые числа в своем каноническом разложении. Отсюда любой делитель имеет вид где и

Тогда так же имеет вид с аналогичными условиями на и Отсюда

Рассмотрим отношение чисел и

Получившееся число является целым, так как делится на по условию. Это значит, что и то есть и

Таким образом, у нас есть способ выбрать число на каждый из которых есть способ выбрать число откуда количество способов выбрать пару и равно При этом каждая такая пара задаёт разложение числа на множители и где делится на поэтому и будет ответом.

В данном случае проще сначала посчитать количество пятизначных чисел, в записи которых нет цифры , а затем вычесть их из , то есть количества пятизначных чисел.

Итак, считаем пятизначные числа, в которых нет . На первом месте может стоять любая из цифр (кроме и ), на втором, третьем, четвёртом и пятом местах — любая из цифр (кроме ). Так как цифры выбираются последовательно и выбор очередной цифры не зависит от выбора предыдущих, то эти способы перемножаются. Значит, всего есть пятизначных чисел без в записи. Тогда пятизначных чисел с цифрой в записи всего

Замечание. Если бы мы считали сразу количество чисел с цифрой , то у нас возникло бы две проблемы. Во-первых, пятерка может стоять на любом из мест, и все эти способы надо учесть. Во-вторых, пятерок может быть несколько, и такие числа, как, например, мы можем посчитать несколько раз. Поэтому-то, чтобы решить эти две проблемы одним махом, мы считаем числа, в записи которых нет .

Каждый из 5 элементов последовательности точек и тире можно выбрать двумя способами, поэтому количество символов, которые можно закодировать, равно

Символ может кодироваться последовательностью из одного, двух, трех, четырех или пяти элементов. В каждом случае ответ считается аналогично предыдущему пункту и равны соответственно Осталось сложить все эти числа:

(a) На каждую позицию номера можно выбрать одну из цифр, поэтому всего номеров Так как четных цифр всего , то, выбирая на каждую позицию одну из пяти четных цифр, получаем, что номеров с четными цифрами всего

(b) Пусть первая цифра выбирается произвольным образом - для нее есть вариантов. Тогда следующая цифра может быть выбрана девятью способами, так как нельзя использовать ту цифру, которая была выбрана первой. Аналогичными рассуждениями приходим к тому, что на каждой из позиций цифра может быть выбрана произвольным образом из некоторых девяти цифр. Тогда число номеров, в которых соседние цифры различны, равно

(c) Первую цифру можно выбрать ю способами. Вторую цифру - ю, так как нельзя использовать цифру, стоящую на первом месте. Третья цифра может быть выбрана ю способами, так как теперь не могут быть использованы цифры с первого и второго мест. Рассуждая аналогично, получаем, что для оставшихся мест имеется и способов соответственно. Получаем, что искомое число равно

(d) Выберем первую цифру произвольным образом (есть способов.) После того, как первая цифра была выбрана, была выбрана и четность оставшихся пяти цифр, и для каждой из них остается ровно вариантов выбора. Тогда количество номеров с четными или нечетными цифрами равно

(e) Если из общего числа номеров вычесть число номеров, в которых все цифры четны, получим число номеров, в которых есть хотя бы одна нечетная цифра. Тогда число номеров с нечетной цифрой равно

f Вычтем из числа номеров, не содержащих , число номеров, не содержащих цифр и Ясно, что это и будет искомым числом, так как тогда останутся номера, не содержащие но в которых есть Номеров без нулей всего так как каждую цифру можно выбрать девятью способами. Число цифр, в которых нет еще и цифры равно так как каждая из цифр может быть выбрана восьмью способами. Таким образом, искомое число номеров равно

Так как все 10 цифр различны, то надо использовать все 10 цифр. Так как 4 и 5 стоят рядом, будем воспринимать 45 или 54 как один знак, тогда остаётся 9-значное число. На первом месте не должен стоять 0, поэтому можно использовать 8 знаков. На вторую позицию остаётся любой из знаков, кроме того который уже использовали, то есть 8. На третью позицию 7 вариантов, далее 6 и так далее.

Получаем Теперь учтём, что может быть 45, а может быть 54, для этого нужно количество способов умножить ещё на 2.

Будем последовательно выбирать цифры от первого места к последнему.

На первом месте могла оказаться любая цифра, кроме На втором, третьем и четвертом местах могла оказаться любая цифра. Осталось выбрать цифру на последнее место. Для этого рассмотрим, какие могли быть остатки у суммы первых четырех выбранных цифр. Обозначим этот остаток через а последнюю цифру через

• Если то или
• Если то или
• Если то или
• Если то или
• Если то или

Заметим, что для каждого можно выбрать последнюю цифру двумя способами. Это значит, что последнюю цифру нашего числа можно выбрать двумя способами. Тогда количество чисел, сумма цифр которых делится на 5, равно

Рассмотрим любую очередь, в которой побеждает человек-паук. Тогда, поменяв местами человека-паука и человека-муравья, получим очередь, в которой победителем выходит человек-муравей. Получается, что все возможные очереди разбиваются на пары, в одной из которых побеждает человек паук, а в другой - человек-муравей. Значит, ровно половина всех очередей - те, в которых побеждает человек паук.

Всего возможных очередей имеется

Тогда победных очередей для человека-паука ровно

Первой цифрой числа может быть любая из потому что число не может начинаться с Вторую цифру можно выбрать способами, так как всего цифр , при этом вторая цифра должна отличаться от соседней первой. Аналогично третью цифру можно выбрать способами, потом четвертую способами и так далее. Получаем ответ:

Посчитаем количество всех шестизначных чисел: первую цифру можно выбрать любым из способов (любая кроме ), а последующие любым из Всего шестизначных чисел:

Посчитаем количество шестизначных чисел, не содержащих “5”: первую цифру можно выбрать любым из способов (любая кроме ), а последующие любым из Всего шестизначных чисел, не содержащих “5”:

Тогда чисел, содержащих в своей записи “5” будет:

Число партий будет равно количеству способов выбрать неупорядоченную пару человек. Всего человек 20, поэтому количество способов выбрать пару с учётом порядка будет равна Чтобы убрать повторяющиеся пары, поделим это число на 2, в итоге получим способов.

Рассмотрим два случая:

1) Если Ваня взял яблоко, то в корзине осталось 11 яблок и 10 апельсинов. Получается, у Нади есть 11 способов выбрать яблоко и 10 способов выбрать апельсин, при этом на каждый из 11 способов выбрать яблоко есть 10 способов выбрать апельсин, то есть всего спобов выбрать фрукты.

2) Если Ваня взял апельсин, то в корзине осталось 12 яблок и 9 апельсинов. Аналогично предыдущему случаю, воспользуемся правилом умножения и получим, что у Нади есть способов выбрать апельсин и яблоко.

Поскольку , Надя имеет большую свободу выбора, если Ваня взял яблоко.

Так как число чётное, то его последняя цифра чётная, то есть она может быть равна 0, 2, 6, 8 (в списке нет 4, так как по условию десятичная запись числа не содержит 4). Получается, существует 4 способа выбрать последнюю цифру.

Первой цифрой числа могут быть все цифры, кроме 0 и тех, что не содержатся в записи числа по условию, то есть это 1, 2, 6, 8. Получается, есть 4 способа выбрать первую цифру. А способов выбрать каждую из оставшихся цифр на один больше, так как они могут равняться и нулю.

Воспользуемся правилом умножения, чтобы посчитать общее количество чисел, так как цифры мы выбираем независимо друг от друга. Итак, искомых чисел

Первой цифрой такого числа могут быть все цифры, кроме 0, то есть существует 9 способов её выбрать.

Способов выбрать вторую цифру так же 9, так как ей могут быть все цифры, кроме той, что была первой.

Третья цифра должна быть не равна первой и второй, поэтому способов выбрать ее уже 8. Аналогично, способов выбрать четвёртую цифру 7, пятую — 6, шестую — 5.

Так как цифры мы выбираем последовательно друг за другом, и количество способов выбрать следующую цифру не зависит от того, что именно мы выбрали ранее, то воспользуемся правилом умножения для подсчёта всех нужных чисел. Итак, искомых чисел

Для начала подсчитаем количество шестизначных чисел, в которых нет цифры 9. Способов выбрать первую цифру такого числа восемь(все цифры, кроме 0 и 9), а способов выбрать каждую из остальных цифр — девять(без 9). Получается, всего этих чисел

Теперь аналогично посчитаем количество шестизначных чисел, в которых нет 7 и нет 9. Способов выбрать первую цифру такого числа семь, а способов выбрать каждую из остальных цифр — восемь. Получается, всего этих чисел

Чтобы найти количество чисел, в которых есть хотя бы одна 7 и нет 9, нужно из чисел, в которых нет 9, вычесть числа, в которых нет ни одной 7 и нет 9. Получается, искомых чисел

Давайте сначала выберем книги на обмен от первого школьника. Первую книгу мы можем выбрать способами, затем, для каждого такого выбора мы можем выбрать вторую способами. По правилу умножения получаем способов, но при таком подсчёте мы посчитали каждую пару дважды, итого . Аналогично, есть способов выбрать книги на обмен второму школьнику. Для каждой из пар книг первого школьника есть пар второго школьника, по правилу произведения получим

Заметим, что каждая цифра должна встречаться ровно раз. Заметим, что каждая из цифр должна стоять в одном числе с одной из цифр (следует из признака делимости на а оставшиеся цифры должны стоять в одном числе друг с другом. Способов разбить на пары цифры и ровно и в каждой паре цифры можно поставить в любом порядке. Итого способов. Оставшиеся цифры разбиваются на пары способами. В одной из пар будет число оно обязано стоять в разряде единиц, так как все числа двузначные. То есть нам надо выбрать порядок только у одной пары. Итого способов. То есть всего способов составить двузначных чисел Причем эти числа выстраиваются по возрастанию однозначно, то есть на ответ это не повлияет.

Заметим, что в любой искомой доске мы можем переставлять столбцы и строки, и нужное свойство доски от этого не поменяется. Значит, мы можем любую доску свести перестановками строк и столбцов к “красивой” доске, где в первой строке будет только одна фишка на первой клетке, на второй строке ровно фишки на первых клетках и т.д. (такая доска тоже удовлетворяет условию). Тогда любая искомая доска получается из “красивой” перестановкой строк и столбцов, причем единственной. Столбцы мы можем переставлять способами, строки — Значит, всего возможных досок

Заметим, что путь однозначно восстанавливается, если мы для первых столбцов обозначим строку, в которой жук переходит из этого столбца в следующий. Тогда для каждого из столбцов мы можем выбрать любую из строк для перехода. И тогда мы получаем всего вариантов.

Число делится на следующие числа:

Месяц — это число от до Из всех этих чисел на делятся только:

День — это число от до или в зависимости от месяца. Из всех этих чисел на делятся только:

Тогда для каждого месяца есть по дней, для которых год делится и на день, и на месяц. Итого получаем вариантов.

Найдем число неотличных билетов. Заметим, что для любого числа от до существует ровно одно число из того же промежутка, модуль разности которого с исходным равен назовем это число неподходящим для исходного.

На первом месте в десятичном представлении неотличного билета может стоять любая из цифр, на втором — любая, кроме неподходящей для первой, на третьем — любая, кроме неподходящей для второй. Таким образом, число неотличных билетов равно

Наконец, поскольку общее число билетов равно число отличных билетов равно