Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Тема Тригонометрия

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#30902Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

sinx 5− 2sin x 4 + 2 = 18.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что 4^sin(x) = 2^(2sin(x)), а когда что-то повторяется, то что надо делать?

Подсказка 2

Да, можно сделать замену 4^sin(x) = t. Решаем квадратное уравнение относительно t и не забываем при обратной замене, что |sin(x)|≤1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=4sinx$ , откуда получим:

32 t+ t = 18

t=2 или t= 16

sinx sinx 4 =2 или 4 = 16

sinx = 1или sinx= 2 2

Второе, очевидно, не подходит по области значений. Тогда $sinx= 1 2$ , откуда и получаем ответ.

Ответ:

$π + 2πn,5π+ 2πn, n∈ ℤ 6 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#30903Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

sin(π4−x) 1+ 2tgx = 3⋅4 √2cosx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поработаем со степенью четверки: заметим формулу синуса разности, а потом просто поделим числитель на знаменатель!

Подсказка 2

В правой части должно получиться 3 * 2 ^ (1-tg(x)). Теперь замечаем повторяющуюся двойку в степени тангенса, а когда что-то повторяется, то настоящие работяги берут это и заменяют! А дальше - дело техники: решить квадратное уравнение и вернуться к обратной замене

Показать ответ и решение

Заметим, что

sin (π− x) √1cosx− √1sin x -√--4--- = -2--√----2----= 1−2tgx 2cosx 2cosx

Обозначим $2tgx$ через $y$ . Тогда наше уравнение примет вид

1+ y = 3⋅ 2⇐ ⇒ y2+y − 6 =0 y

y = 2 или y = −3.

С учётом $y > 0$ получаем

π y =2 ⇐⇒ tgx= 1⇐⇒ x = 4 + nπ,n∈ ℤ

Ответ:

$x = π+ nπ,n ∈Z 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#30904Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

(∘ ----√-)s1inx (∘ ----√-)s1inx 9+ 4 5 + 9− 4 5 = 174 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь у нас под корнями выражения вида a+b и a-b. Хм, а что интересного будет в их произведении?

Подсказка 2

Ого, получится 81-80=1, то есть эти подкоренные выражения - взаимно обратные числа! Тогда можно и сами слагаемые из условия обозначить как t и 1/t

Подсказка 3

Теперь просто решаем квадратное уравнение относительно замены (находим t), должны получиться корни 4 и 1/4. Как бы теперь дорешать до исходной переменной х?

Подсказка 4

А проверьте кое-что интересное: можно ли как-то хорошо преобразовать выражения под знаком корня? На самом деле можно выделить полный квадрат: 4 ± 2 * 2 * √5 + 5. Теперь надо как-то оценить полученное и понять, найдётся ли такой синус или нет

Показать ответ и решение

Заметим под корнем полный квадрат:

∘ ---√-- ∘-------√---- √ - 9± 4 5= 5 ±2⋅2⋅ 5+4 = 5±2,

а по формуле разности квадратов

√ - √ - ( 5− 2)( 5+ 2)= 1.

После замены $t= (√5+ 2)1∕sin(x)$ , получим:

t+ 1 = 17- t 4

1 t= 4 или t=4

(√5+ 2)s 1inx = 1или (√5 +2)s1inx = 4 4

Обратим внимание на то, что $√5 +2 >4$ , при этом область значений $s1inx$ это $(−∞, −1]∪[1,+∞ ).$

Если взять $sin1(x)$ из первого луча, то

(√5-+ 2)s1inx ≤(√5+ 2)− 1 < 1, 4

если же из второго, то

√- s1inx √- ( 5+ 2) ≥( 5 +2)> 4,

откуда оба полученных решения не подходят.

Ответ:

$x ∈∅$ (решений нет)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#31000Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos2x sin2x 3 − 3 = −2.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение:

cos2x sin2x cos2x --3-- cos2x 3 − 3 = −2⇐ ⇒ 3 −3cos2x =− 2=⇒ t= 3

√- =⇒ t2+ 2t− 3 =0 t=− 1± 4= 1,− 3

Поскольку $t> 0$ , то имеем $cos2x 0 2 t =3 ⇐= cos x= 0$ , откуда и получаем ответ.

Ответ:

$x = π+ πn,n ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#32700Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sin4xsinx− sin3xsin 2x = 1cos3x+ √1-+cosx 2$ .

Показать ответ и решение

Применим формулу произведения синусов для левой части, получим

1 1 √------- 2(cos3x− cos5x− cosx +cos5x)= 2 cos3x+ 1+ cosx

Тогда $1 √ ------- − 2cosx = 1+ cosx$ , что равносильно системе: $cosx ≤0$ и

1 √- 4cos2x= 1+cosx⇐ ⇒ cos2x− 4cosx − 4= 0⇐ ⇒ cosx =2 ±2 2

Откуда подходит только $√- cosx =2 − 2 2$ , так что $√ - x =± arccos(2− 2 2)+2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$±arccos(2− 2√2)+ 2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#34668Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√--------------- √- 5 − 2sin x+3 cos2x= 2 3cosx.

Показать ответ и решение

При $cosx< 0$ уравнение не имеет решений, а при $cosx≥ 0$ получаем

2 5− 2sinx +3cos2x= 12 cos x

5− 2sinx +3− 6sin2x =12− 12sin2x

3sin2x− sinx− 2= 0 ⇐⇒ sinx= 1±-5 ⇐ ⇒ sinx = − 2 или sinx =1 6 3

В первом случае под условие $cosx ≥0$ подходит только $x= − arcsin2+ 2πn,n ∈ℤ 3$ , а во втором случае $x= π +2πn,n∈ ℤ 2$ подходит под ограничение $cosx≥ 0$ , потому что при таких значениях $x$ косинус равен нулю.

Ответ:

$− arcsin 2+ 2πn,π+ 2πn, n∈ ℤ 3 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#51601Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x+cos2x= cos4x− 3|sinx|.

Показать ответ и решение

Обозначим $sin x= t$ , тогда $sin3x =3t− 4t3$ , $cos2x− cos4x= 2sin3xsinx =2t(3t− 4t3).$ Исходное уравнение примет вид

4 3 2 8t + 4t− 6t − 3(t+|t|)=0

Сделаем замену $t= sinx∈ [− 1,1]$ , разберём два случая

Пусть $t≤ 0,$ тогда уравнение равносильно уравнению
$( ) t2 4t2+ 2t− 3 = 0$
Если $t= sinx = 0,$ то $x= πn,n ∈ℤ.$ Эти значения $x$ являются корнями исходного уравнения.
Решив уравнение $4t2+ 2t− 3= 0,$ найдем его корни $t1 = −-1−√13, 4$ $t2 = √13−1, 4$ где $t1 < −1,t2 > 0.$ В этом случае исходное уравнение не имеет корней.
Пусть $t> 0,$ тогда уравнение равносильно
$4t4+ 2t3 − 3t2− 3t= 0, 4t2(t− 1)+ 6t(t− 1)+ 3(t− 1)=0$
$( ) (t− 1) 4t2+ 6t+3 = 0$ Уравнение имеет единственный действительный корень $t=1$ , поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в скобках отрицателен. Если $t= sinx= 1> 0$ то $x= π2 + 2πn,$ $n∈ ℤ$ .

Ответ:

$πn,π +2πn, n ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#88916Максимум баллов за задание: 7

а) Решите уравнение $2cos2x− 3sin(− x)− 3= 0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] 2-;4π .$

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка

Используйте нечётность синуса, для того чтобы избавиться от минуса в аргументе второго слагаемого, также воспользуйтесь ОТТ, чтобы свести данное уравнение к квадратному относительно синуса, останется лишь решить его, и пункт (а) убит!

Пункт б), подсказка

Выполните отбор корней любым удобным Вам способом (по окружности, двойным неравенством или подстановкой)

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла $cos2x= 1− 2 sin2x= 2cos2x− 1.$

Отсюда $2 2 cosx =1 − sin x.$ Так как $sin(−x)= − sinx,$ то

2cos2x− 3sin(−x)− 3 =0 2 2− 2sinx +3sinx− 3= 0 2sin2x− 3sinx +1= 0

Пусть $sinx= t.$ Тогда $sin2x= t2.$ Решим уравнение относительно новой переменной:

2t2− 3t+1 =0 D = 32 − 4⋅2⋅1= 1 t1,2 = 3±-1 4 t1 = 1 1 t2 = 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ sinx = 1 |x = π2 + 2πk, k ∈ℤ |⌈ ⇔ ||⌈x = π6 + 2πk, k ∈ℤ sinx = 12 x = 5π-+2πk, k∈ ℤ 6

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

$PIC$

Ответ:

а) $π + 2πk; 6$ $5π-+ 2πk; 6$ $π+ 2πk, 2$ $k∈ℤ$

б) $5π 2 ;$ $17π 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#92064Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tgx − tg2x= sinx.

Показать ответ и решение

sinx- sin2x- cosx − cos2x = sinx

Если $sinx =0$ , то $x$ подходит под условие и ОДЗ. Пусть $sinx⁄= 0.$

1 2cosx cosx − 2cos2x−-1-=1

Переобозначим $t= cosx$ и домножим на $t$ и $2t2− 1$ .

2t2− 1− 2t2− t(2t2− 1)= −(2t3− t+1)= −(t+1)(2t2− 2t+ 1)

Дискриминант меньше 0 и значит единственный корень $t= cosx= 1$ , а в этом случае $sinx= 0$ .

Ответ:

$πk,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#92089Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2cos2x+ 2sin2x= 3.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что $sin2x ≥0$ , иначе левая часть уравнения не превосходит 2 . Поэтому $[ π ] x ∈ πk,2 + πk$ , где $k$ целое. Перенесем $2 2cos x$ направо, и возведем обе части в квадрат

2 4 2 4 sin 2x =4 cos x− 12 cos x+ 9 16sin2xcos2x= 4cos4x− 12cos2x+ 9 16(1− cos2x)cos2x= 4cos4x− 12cos2x+ 9

Перенесем все слагаемые направо, затем сделаем замену $t= cos2x$ . Получим квадратное уравнение

20t2− 28t+9= 0

Его корни $1 2$ и $9- 10$ . Получили уравнения $2 1 cosx = 2$ или $2 -9 cos x= 10$ . Откуда с учетом ограничений на $x$ , получаем ответ $(π ) ( 3√10- ) -4 + πk ∪ arccos-10-+πk$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

2 2 ( 2 2 ) 2cos x+ 2sin2x= 3⇔ 2cos x+ 4sinxcosx= 3sinx +cos x ⇔ ⇔ 3sin2x − 4sin xcosx+ cos2x =0 ⇔ 3tg2x − 4tgx+ 1= 0⇔ [ tgx= 1, [ x = π+ πk ⇔ tgx= 1 ⇔ x = arc4tg 1+ πk 3 3

Ответ:

$π + πk;arccos3√10+πk;k∈ ℤ 4 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#77698Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

x x 2⋅cos(2⋅2021 )− 3⋅cos(2021 )+1 =0

Источники: САММАТ - 2021, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену t = 2021^x. Как можно преобразовать получившееся равенство? Какие известные формулы применить?

Подсказка 2

Формулу понижения степени! Справа ноль, тогда хочется попробовать как-то разложить левую часть на множители...

Подсказка 3

(cos(t) - 1)(4cos(t) + 1) = 0. Разберем случаи! Тогда решать уже будет не так сложно :) Не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 2021x,t>0.$ Тогда

2 2cos(2t)− 3cos(t)+1= 0⇔ 4cos (t)− 3cos(t)− 1 =0,

(cos(t)− 1)(4cos(t)+ 1)= 0.

1) $cos(t)= 1⇒ t= 2πn,n∈ℤ,n ≥1,$ чтобы $t> 0⇒ x =log2021(2πn),n ∈ℕ.$

2) $[ t=arccos(−0,25) cos(t)= −0,25 ⇒ t=± arccos(−0,25)+2πn,n∈ ℤ n≥ 1, чтобы t>0.$

$[ x= log (arccos(− 0.25)) x= log2021(± arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ. 2021$

Ответ:

$log (arccos(−0.25)),log (2πn),log (±arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ 2021 2021 2021$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#94773Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 3sin x− 3cosx− 6 sinx+ 2sin2x+ 3= 0.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении встречаются как sin(x), так и cos(x), поэтому не получается так просто свести всё к одной переменной... Формулки тоже особо не применить тут, разве что синус двойного расписать. Тогда как тут можно попробовать решить, какие методы остаются?

Подсказка 2

Ага, остаётся метод оценки и разложение на множители. И если немного подумать, можно понять, что оценка тут ни к чему не приводит, тогда остаётся раскладывать на множители!

Подсказка 3

Тут можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Мы хотим получить sin²(x), тогда можем поставить в обе скобки sin(x) с коэффами A и B перед ними, при этом B сразу выражается через А. 3 можно расписывать по-разному, применяя основное тригонометрическое тождество, рассмотрите несколько способов.

Подсказка 4

Ура, разложили на множители! Остаётся решить парочку несложных уравнений (помните же про метод вспомогательного угла?) и записать ответ!

Интересный способ решения!

Угадывать разложение на множители, конечно, весело, но есть ещё один способ решения! Можно записать левую часть как стандартный тригонометрический многочлен (погуглите) и выразить скобку с sin(2x) и cos(2x) через скобку с sin(x) и cos(x) (вам может помочь возведение в квадрат). Тогда можно будет ввести замену и решить уравнение!

Показать ответ и решение

Запишем левую часть уравнения как стандартный тригонометрический многочлен:

(4sin2x− 3cos2x)− 6(2sinx +cosx)+9= 0

Обозначим линейную часть (без коэффициента -6 ) через $y$ :

y = 2sin x+cosx

и посчитаем величину $y2$ (при этом запишем её как стандартный тригонометрический многочлен):

y2 =4sin2 x+4sinxcosx +cos2x = 41− cos2x+ 2sin2x+ 1+-cos2x = 1(4sin 2x − 3cos2x)+ 5 2 2 2 2

Видно, что квадратный блок исходного уравнения может быть выражен через квадрат линейного блока:

2 4sin2x− 3cos2x= 2y − 5

Поэтому наше уравнение можно решать с помощью новой неизвестной $y = 2sinx +cosx$ :

y2− 3y +2 =0⇔ y = 1 или y = 2

Возвращаясь к основной неизвестной $x$ , мы получим совокупность из двух уравнений:

[ 2sinx+ cosx =1 2sinx+ cosx =2

⌊ 1- 1- ⌈ cos(x− arccos √15)= √25 cos(x− arccos √5)= √5

⌊ ⌈ x− arccos√15-= ±arccos√15 +2πk,k∈ℤ x− arccos√15-)=± arccos 2√5 + 2πk,k∈ ℤ

⌊ x = π2 + 2πk,k ∈ℤ ||| x = 2πk,k∈ ℤ |⌈ x = 2arccos√15-+2πk,k∈ ℤ x = − π2 + 2arccos√15 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πk,2πk,2arccos√1 +2πk,− π +2arccos√1 +2πk, k∈ ℤ 2 5 2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#98813Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех действительных корней уравнения

( ( 2 )) sin π x − x +1 = sin(π(x− 1)),

принадлежащих отрезку $[0;2].$

Источники: Ломоносов - 2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая связь на аргументы синусов следует, если синусы от таких аргументов равны? Составьте совокупность и решите!

Подсказка 2

Мы получаем, что x = 1 +- sqrt(2k - 1), либо x = +- sqrt(2n + 1). Осталось заключить эти выражения на отрезок из условия и получить ответ на задачу!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно совокупности

[ π(x2− x+ 1) =π(x− 1)+2πk, ( 2 ) k,n∈ ℤ π x − x+ 1 =π − (x− 1)π +2πn,

Преобразуя совокупность, получим

[ x2− x+ 1= (x − 1)+ 2k, x2− x+ 1= 1− (x − 1)+ 2n

[ (x− 1)2 =2k− 1, x2 =2n+ 1

[ √----- x= 1±√--2k− 1, x= ± 2n +1

Если $√ ----- 0≤ 1± 2k− 1 ≤2$ , то

√----- − 1≤ ± 2k− 1≤ 1

0 ≤2k− 1≤ 1

k= 1

тогда $x= 0$ или $x= 2$ .

Если $√----- 0≤ 2n+ 1≤ 2$ , то

0≤ 2n+ 1≤ 4,

то есть $n =0$ или $n =1$ ; тогда $x= 1$ или $√- x = 3$ .

Ответ:

$3+ √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#63999Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 4 8sin x +8cos x= 8cos2x+ 9

Источники: Вместо ЕГЭ - 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами уравнение с двумя триг. функциями. А можем ли как-то перейти всего к одной? С одним неизвестным выражением проще работать.

Подсказка 2

Можем раскрыть косинус двойного угла и применить ОТТ ко всем синусам (или ко всем косинусам), ведь они в удобных степенях! Но пока перед нами все же уравнение 4ой степени. А как можно упростить его внешний вид?

Подсказка 3

Конечно, ввести замену квадрата триг. функции! Получим обычное квадратное уравнение, которое легко решится. Остается только добить до ответа!

Показать ответ и решение

Обозначим $cos2x = t$ и получаем

2 2 8(1− t) + 8t =8(2t− 1)+9

2 2 8(1− 2t+t )+8t − 16t− 1= 0

16t2− 32t+7= 0

√---- t = 16±-16⋅9 =1 ± 3 16 4

Так как $0≤ t≤ 1,$ то может быть только $t= 1. 4$ Получаем

cosx= ±1 ⇐⇒ x =± π+ πn,n∈ ℤ 2 3

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#31592Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1|| 1|| 2 2||cos2x+ 2||= sin x+ sinxsin5x.

Показать ответ и решение

2 sin x+sin xsin5x= sinx(sinx+ sin5x)= 2sinxsin3xcos2x= cos2x(cos2x− cos4x)

Пусть $t=cos2x$ .

2 |2t+1|= 4t(t− 2t +1)= −4t(2t+ 1)(t− 1)

Тогда либо $2t+ 1= 0$ , $t=cos2x= − 1 2$ и $x = 1 (± 2π+ 2πk) 2 3$ , либо $− 4t(t− 1)=±1$ .

Если $4t2− 4t− 1= 0$ , то $t= 1±√2 >− 1 2 2$ . Значит

2t+ 1= |2t+1|= −4t(2t+ 1)(t− 1)

1 =− 4t(t− 1)

4t2− 4t+1 =0

Противоречие.

Если $4t2− 4t+1= 0$ , то $1 t= 2$ и оно подходит. Значит, $1 ( π ) x =2 ± 3 + 2πk$ .

Ответ:

$1 (± π+ 2πk),k ∈ℤ 2 3$ , $1(±2π+ 2πn),n ∈ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#32377Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos4x-− 6cos2-2x-+8cos2-x √6x−-x2−-5 = 0.

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что аргументы косинусов в числителе являются степенями двойки. Это значит, что через какой-то из косинусов можно выразить все остальное. Подумайте, через какой из косинусов это удобнее всего выражать и сделайте это(очевидный плюс того, чтобы выразить все через что-то одно - это то, что потом можно будет сделать замену и это станет обычным уравнением).

Подсказка 2

Действительно, все можно выразить либо через cos^2(x), либо(что почти тоже самое из-за формулы двойного угла) через cos(2x). Поскольку квадратное уравнение решать легче, чем биквадратное, то выразим все через cos(2x) и получим, что выражение сверху это -4cos^2(2x)+4cos(2x)+3=0. Осталось найти корни этого и выбрать из них только те, что подходят под ОДЗ.

Показать ответ и решение

Преобразуем числитель

2 2 2 2 cos4x− 6cos2x+ 8cosx =2cos 2x − 1 − 6cos2x +4cos2x +4 =0

Решая квадратное уравнение, получаем $cos2x = 3,− 1 2 2$ , то есть $x = ±π +πn 3$ .

Осталось учесть ОДЗ: $x∈ (1,5)$ , отсюда из положительных корней подходят только первые $3$ : $π,2π,4π 3 3 3$ .

Ответ:

${π;2π;4π} 3 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#63560Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

√-- √ ------------ 24cosx = 11cosx− cos2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратные корни. Было бы здорово от них избавиться. А всегда ли мы можем это сделать?

Подсказка 2

Обе части должны быть неотрицательными! Так что выписываем такое ограничение (можем воспользоваться тем, что в равенстве мы можем записать ограничение только для одной части равенства) и возводим в квадрат. А на что похоже полученное выражение?

Подсказка 3

Конечно, на квадратное уравнение! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Решаем известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Запомним, что $cosx ≥0$ и возведём в квадрат, тогда:

2 2 2 24cosx = 11cosx− 2cos x+ 1⇐ ⇒ 26 cos x− 11 cosx− 1= 0

Откуда $cosx = 11±15= 1,−-1 52 2 13$ . В силу $cosx ≥0$ имеем $x= ±π +2πn,n∈ ℤ. 3$

Ответ:

$± π + 2πn,n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#39086Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√3 cosx sinx sinx+-cosx-= tg2x+ sin-x− cosx.

Источники: Физтех-2014, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, напишем ОДЗ. Во вторых, видно, что по структуре, наиболее схожи эти две дроби. Значит, стоит попытаться привести их к общему знаменателю :)

Подсказка 2

Хмм, в знаменателе косинус двойного угол, а слева тангенс двойного угла. Стоит сократить и посмотреть что получается. Хмм… Мы видим произведение синуса и косинуса и их квадраты с некими коэффициентами. На что это похоже? Что мы привыкли делать в подобных ситуациях?

Подсказка 3

Да, это очень похоже на однородное уравнение. Обычно, мы решали его делением на квадрат одного из аргументов. Ничего не может остановить нас и сейчас сделать также. Главное - не забыть об ОДЗ:)

Показать ответ и решение

ОДЗ $sinx⁄= ±cosx$ , $cos2x =cos2x− sin2x⁄= 0$

Приведём дроби к общему знаменателю

√3cosx sinx − √3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sinx cosx sin-x+cosx − sin-x− cosx =----------sin2x−-cos2x----------- =

= tg 2x = sin2x-=--2− sin-2x-2 cos2x sin x− cos x

−√3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sin xcosx =− 2sinxcosx

Если $cosx =0$ , то $sinx= 0$ , что невозможно. Значит, $cos2x⁄= 0$ и на него можно разделить.

−√3-+(√3 +1)tgx− tg2x= 0

Это квадратное уравнение от $tgx$ . Его корни $1$ и $√- 3$ . По ОДЗ $sin x⁄= cosx$ , поэтому $tgx⁄= 1$ . Значит $√- tgx = 3$ и $x = π3 + πn, n∈ ℤ$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#49146Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2( 5x- 5π) 1 cos x− cosxsin 4 − 12 + 4 =0.

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что наше уравнение квадратное относительно косинуса! Давайте попробуем его решить, мы хотим, чтобы дискриминант был >= 0. При каком условии это выполняется?

Подсказка 2!

Дискриминант: sin^4(...) - 1, значит sin^4(...) должен быть равен 1! Осталось только разобраться, чему в таком случае должен быть равен cosx!

Показать ответ и решение

Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $cosx:$ потребовать, чтобы его дискриминант $sin4(5x− 5π)− 1 4 12$ был неотрицательным, откуда сразу же вытекает условие, что синус равен $±1$ . Рассмотрим эквивалентный подход, чтобы показать, почему это справедливо:

Пусть для краткости $2(5x 5π) a= cosx,b= sin 4 − 12$ . Ясно, что $− 1≤a ≤1,0≤ b≤ 1.$ У нас есть уравнение $2 1 b 2 1−b2- a − ab+ 4 = 0 ⇐⇒ (a− 2) + 4 =0.$ Но так как $2 1− b ≥0,$ то оба слагаемых в левой части неотрицательны. А их сумма должна быть равна нулю. Это равносильно условию, когда каждое слагаемое равно нулю:

{ b a −22= 0 1 − b = 0

С учётом $b≥ 0$ получаем $b= 1,a= 1. 2$ Итак, условие задачи эквивалентно системе уравнений:

{ cosx= 1 sin2(5x2− 5π)= 1 4 12

то есть

{ cosx= 1 cos(5x2− 5π)= 0 4 12

Отсюда уже находим условия на $x$ :

{ x= ± π+ 2πk,k∈ ℤ 5x= 53π+ π +πn,n ∈ℤ 4 12 2

Остаётся эти условия пересечь, совместив параметры $n$ и $k$ . Выразим $x$ :

5x= ±5π +10πk= 11π+ 4πn =⇒ 11±5-= 10k − 4n 3 3 3

Так как в правой части целое число, в левой может быть только $11−5-=2 3$ и тогда

1 =5k − 2n ⇐⇒ 2n= 5k− 1

окончательно $k= 2m +1,n= 5m +2, m ∈ ℤ.$

В итоге ответ $x = π+ 2πk = 7π-+4πm 3 3$ уже для любого целого $m.$

Замечание. Решить систему можно с помощью тригонометрической окружности, показав, что подходит только точка, соответствующая $x = π. 3$ Но определять период всё равно придётся из уравнения.

Ответ:

$7π +4πm, m ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#88272Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 3 2sin x+ 7cos x= 2.

Источники: Вступительные испытания в МГУ - 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что в двух слагаемых есть множитель 2. А что если его вынести и как-то преобразовать?

Подсказка 2

Формула разности квадратов и ОТТ помогут нам. Как можно преобразовать выражение дальше? Каким является полученное уравнение?

Подсказка 3

Видим, что в обеих частях уравнения есть cos(x), поэтому или он 0, или мы можем на cos²(x) поделить — получим квадратное уравнение относительно cos(x), которое несложно решить ;)

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству уравнение эквивалентно