Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Тема Тригонометрия

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83948

Решите систему:

{ sin x+cosy = 1; sin2x − cos2y =1.

Показать ответ и решение

2 2 sin x− cos y = (sinx+ cosy)(sinx− cosy)= sinx− cosy =1

Тогда $sinx= 1$ и $cosy = 0$ . Отсюда $x= 2πk+ π,k∈ℤ 2$ и $y = πn+ π,n∈ℤ 2$

Ответ:

$(2πk+ π;πn+ π), k,n ∈ℤ 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83949

Решите уравнение

√ ------- 1− cos2x= sin2x

Показать ответ и решение

√------- { 1− cos2x= sin22x 1 − cos2x = sin2x ⇐⇒ sin2x≥ 0

Решим первое уравнение

1− cos2x= sin22x

1− cos2x= 1− cos22x

cos2x= cos22x

[ ⌊ cos2x= 0 ⌈ 2x= π2 + πk cos2x= 1 ⇐ ⇒ 2x= πk , k∈ ℤ

Учтём, что $sin2x≥ 0,$ получим

⌊ 2x= π + 2πk ⌈ 2x= 22πk , k∈ ℤ

⌊ x= π + πk ⌈ 4 , k∈ ℤ x= πk

Ответ:

$π + πk,πk,k∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83951

Решите уравнение

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

Показать ответ и решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

81sin2x+ 811−sin2x = 30

81sin2x+ 81⋅81− sin2x = 30

Сделаем замену $2 a= 81sinx,$ тогда получим

a+ 81a = 30

a2− 30a +81= 0

По теореме Виета корнями будут $a= 3$ и $a= 27,$ делаем обратную замену

[ sin2x 81sin2x= 3 81 = 27

⌊ 2 1 || sin x = 4 ⌈ 2 3 sin x = 4

⌊ 1 | sin x= ±2 |⌈ √3 sin x= ±-2-

⌊ π x= ±6 +2πk ||| 5π || x= ±-6 +2πk ||| π , k∈ℤ || x= ±3 +2πk |⌈ x= ±2π +2πk 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83952

Решите систему:

{ tgx= √2sin y; ctgx= √2cosy.

Показать ответ и решение

Пусть $t= tg2 x$ . Тогда $ctg2x= 1 t$ . Возведем в квадрат оба уравнения и сложим их:

1 t+ t = 2

t=1

Отсюда

tgx= ±1

x =± π+ πn,n∈ ℤ 4

Тогда из системы

siny =cosy = ±√1 2

y = π +πk,k∈ ℤ 4

Ответ:

$(π + πn;π +πk),k,n ∈ℤ 4 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#84368

Решите уравнение

2 2 3sin x+ 5sinxcosx− 2cos x= 2

Показать ответ и решение

Представим 2 в правой части как $2cos2x+ 2sin2x$ . Получим:

2 2 2 2 3sin x +5sin xcosx− 2cosx =2 cos x+ 2sin x

sin2 x+5 sinxcosx − 4cos2x= 0

1 случай.) $cosx =0$

Тогда $sin2x= 1− cos2x= 1$ . Подставим это в получившееся уравнение:

0= sin2x+ 5sinxcosx− 4cos2x= 1+ 5⋅0− 4 ⋅0 =1

Получаем противоречие, решений нет.

2 случай.) $cosx ⁄=0$

Разделим обе части уравнения на $cos2x⁄= 0$ .

2 sin2x+ 5⋅ sin-x− 4= 0 cos x cosx

Сделаем замену $scinoxsx = t$ .

t2+ 5t− 4= 0

Решив квадратное уравнение, получим следующие корни:

√-- √-- t1 = −5+-41- t2 = −-5−-41 2 2

√-- √-- sinx-= −5+--41- sinx-= −5−--41- cosx 2 cosx 2

−5+ √41 −5− √41 tg x= ---2---- tg x= ---2----

−5+ √41 −5− √41 x= arctg ---2---+ πn x = arctg ---2---+ πn n ∈ℤ

Ответ:

${arctg −5+√41+ πn,arctg −5−-√41-+πn |n∈ ℤ} 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85338

Решите уравнение

2 4− cos x= 4sinx

Показать ответ и решение

Выразим по основному тригонометрическому тождеству $cos2x= 1− sin2x$

2 sin x− 4 sinx+ 3= 0

(sin x− 1)(sinx− 3)=0

[ sinx= 1 sinx= 3

Но $|sinx|≤ 1$ , поэтому уравнение $sin x= 3$ не имеет решений. Итого получаем

x = π+ 2πk, k∈ℤ 2

Ответ:

$π + 2πk, k ∈ℤ 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85339

Решите уравнение

√- x 5 − 2cosx= 5 2sin 2

Показать ответ и решение

Применим формулу двойного угла $cosx = 1− 2sin2 x 2$

2 x √- x 4 sin 2 − 5 2sin 2 + 3= 0

⌊ x 1 ⌈ sin2 =√2- sinx2 =23√2

Заметим, что $23√2 > 1$ , поэтому второе уравнение не имеет решений. Решением первого уравнения являются точки

[ x2 = π4 + 2πk x2 = 34π+ 2πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π + 4πk; 3π+ 4πk, k∈ℤ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85340

Решите уравнение

4 4 1 sin x+ cos x= sin2x− 2

Показать ответ и решение

Заметим, что

2 2 2 4 4 2 2 1= (sin x+ cos x) =sin x +cos x+2sin xcos x

Подставляя в исходное уравнение, получаем после применения формулы синуса двойного угла

sin22x 1 1− 2 = sin2x− 2

sin22x+2 sin2x− 3 =0

[ sin2x= 1 sin2x= 3 не имеет реш ений

Ответ:

$π + πk, k∈ Z 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85344

Решите уравнение

1+4 cosx= cos2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева cosx, справа cos(2x)... а хочется, чтобы неизвестные были одинаковыми. Как можно выразить cos(2x) через cosx?

Подсказка 2

cos(2x) = 2cos²x - 1. Теперь в уравнении всего одна неизвестная - cosx, и мы может решить его с помощью замены переменной.

Показать ответ и решение

По формуле $cos2x = 2cos2x− 1$ получаем уравнение

2 2cos x− 4cosx− 2 =0

Сделаем замену $t= cosx, t∈ [−1;1]$ и решим получившееся квадратное относительно $t$ уравнение

2 √- t − 2t− 1= 0 ⇐ ⇒ t= 1± 2

Но $t= 1+ √2≥ 1$ следовательно, не является решением.

Сделаем обратную замену: $cosx= 1− √2$

x= ±arccos(1 − √2)+ 2πn, n∈ Z

Ответ:

$±arccos(1− √2)+ 2πn, n∈ Z$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88164

Решите уравнение

2 2cos x+ 5sinx +1 =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и синус, и косинус в выражении, как-то не очень удобно. Что надо применить, чтобы осталась только одна тригонометрическая функция?

Подсказка 2

Применим основное тригонометрическое тождество, тогда останется функция от синуса. Что делаем дальше?

Подсказка 3

В таких случаях всегда делаем замену переменной и получаем обычное квадратное уравнение, которое мы умеем решать. После этого останется лишь найти его корни и сделать обратную замену.

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству $cos2x= 1− sin2x$ . Делая замену $sinx= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 2t− 5t− 3 =0

[ t= 3 не подходит t= − 1 2

sinx= − 1 2

[ x= − π+ 2πk, k∈ ℤ x= 7π6+2πk, k∈ ℤ 6

Ответ:

$− π + 2πk, 7π-+ 2πk, k ∈ℤ 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88165

Решите уравнение

2 2sin x+cos4x= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

cos(4x) — что-то очень страшное… Как с этим можно бороться?

Подсказка 2

Точно, у нас же есть формула двойного угла, давайте применять!

Подсказка 3

Такс, а у нас теперь уже косинус двойного угла. И нам мешает только синус. А давайте вспомним еще одну формулу для косинуса двойного угла, с помощью которой мы сократим этот синус! Что останется?

Подсказка 4

Останется лишь решить квадратное уравнение: 2t² - t = 0, где t = cos(2x)

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла $cos4x= 2cos22x− 1$ . А также $2 sin2x= 1− cos2x$ . Делая замену $cos2x= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 2t − t= 0

[ t= 0 t= 1 2

⌊ x= π+ πk, k∈ℤ ⌈ 4π 2 x= ±6 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ± π+ πk, k∈ ℤ 4 2 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88166

Решите уравнение

2 2cos2x+ 4cosx =sin x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что не нравится в этом выражении? От чего хотелось бы избавиться?

Подсказка 2

Косинус двойного угла здесь выбивается из общей картины. Поэтому давайте применим формулу косинуса двойного угла! Получится квадратное уравнение, какие у него корни?

Подсказка 3

Корни этого уравнения не самые приятные. Про один из них точно видно, что он меньше единицы! А вот второй — как раз от -1 до 1. Так что надо воспользоваться обратной тригонометрической функцией.

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла $cos2x = 2cos2x− 1$ . Делая замену $cosx= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 5t+ 4t− 3 =0

⌊ −2+-√19- || t= 5√-- ⌈ t= −2−--19-< −2−-3= −1 5 5

−2+-√19- cosx = 5

−2+ √19 x =± arccos---5---+ 2πk, k∈ ℤ

Ответ:

$−2+-√19- ±arccos 5 +2πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88168

Решите уравнение

6− 5sin2-x cos2x = 5tgx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать в задаче это записать условие на косинус. Он должен быть не равен нулю. Дальше какое естественное действие хочется сделать с тангенсом?

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

{ cosx⁄= 0 2 6− 5sin x= 5sinx cosx

Подставляя $6= 6(sin2x +cos2x)$ во второе уравнение, получаем

2 2 sin x+6 cos x− 5sinxcosx= 0

$cos2x= 0$ не является решением, поэтому поделив обе части неравенства на $cos2x⁄= 0$ , имеем

tg2 x− 5 tgx +6= 0

[ tgx= 2 tgx= 3

[ x = arctg2 +πk, k ∈ℤ x = arctg3 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$arctg2 +πk, arctg3+ πk, k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88917

а) Решите уравнение $cos2(π− x)− sin(3π +x) = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π-;− π . 3 2$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Используя формулы приведения преобразуем косинус и синус, а также приведем все тригонометрические функции к одному виду пользуясь основным тригонометрическим тождеством

Подсказка 2

После решения получившегося уравнения мы получили серии решений. Воспользуемся тригонометрической окружностью для поиска корней на данном в условии промежутке и выпишем ответ

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

( ) cos2(π− x)− sin 3π+ x = 0 2 2 cos⌊ x+ cosx= 0 cosx =0 ⌈ cosx =− 1 ⌊ π- | x= 2 + πn,n∈ ℤ ⌈ x= π + 2πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни на отрезке $[ 5π π-] − 3 ;−2$ с помощью неравенства.

Для первой серии решений:

− 5π≤ π-+ πn≤ − π- 3 2 2 − 13≤ n ≤− 1 6 n = −2;−1 ⇒ x = − 3π;− π 2 2

Для второй серии решений:

− 5π ≤ π+ 2πm ≤ − π 3 2 4 3 − 3 ≤ m ≤− 4 m = −1 ⇒ x = −π

Следовательно, на отрезке $[ 5π π] − 3 ;− 2$ лежат корни $3π π- − 2 ;−π;− 2.$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; 2$ $π+ 2πm,$ $m ∈ℤ$

б) $3π − -2 ;$ $− π;$ $π − 2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90410

Решите уравнение

2 2 sin x+ 4cos x− 2sin2x+ sinx − 2cosx= 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас имеется какое-то выражение 2 степени с синусами и косинусами. При этом у нас ровно два члена 2 степени, поэтому разумно будет попытаться выделить с ними полный квадрат. Сделайте это и посмотрите на то, что останется...

Подсказка 2

После собирания полного квадрата у нас чудесным образом выделяется выражение sinx-2cosx. Тогда, заменив его на t, получаем квадратное уравнение на t. Скорее решайте его!

Подсказка 3

Получается, что возможны всего два варианта: sinx-2cosx=1 и sinx-2cosx=-2. Решить их уже не составляет никакого труда, ведь все мы знаем прекрасный метод вспомогательного угла! Или можно использовать прекрасные формулы универсальной тригонометрической подстановки...

Показать ответ и решение

Раскроем синус двойного угла

2 2 sin x+4 cos x− 4sinxcosx+sinx− 2cosx= 2,

и выделим полный квадрат

2 (sinx− 2cosx) + (sin x− 2cosx)− 2= 0.

Сделаем замену $t= (sin x− 2cosx)$ . Тогда наше уравнение имеет вид

t2+ t− 2 =0.

Получается, $t= 1$ или $t=− 2$ . Дальше можно решить задачу по-разному.

Первое решение.

Воспользуемся методом вспомогательного угла:

$1)sin x− 2cosx= 1.$ Решим это уравнение с помощью введения дополнительного угла. Для этого поделим обе части на $√12-+22 = √5 :$

√1-sinx− √2-cosx= √1-. 5 5 5

Поскольку верно равенство $(√1)2+ (√2)2 = 1, 5 5$ то существует такой угол $α,$ что $sinα= √2- 5$ и $cosα = 1√-. 5$ Будем считать, что $α =arccos√1. 5$ Получается

cosα sinx− sinαcosx= √1-. 5

По формуле синуса разности:

sin(x− α)= √1. 5

⌊ 1 | x− α= arcsin √5 + 2πk, ⌈ x− α= π− arcsin 1√-+ 2πk, k∈ ℤ. 5

⌊ 1-- -1- |⌈ x= arcsin √5 + arccos√5 +2πk, k∈ ℤ. x= π− arcsin 1√-+ arccos 1√-+2πk, 5 5

Воспользуемся тем, что $arcsinφ + arccosφ = π 2$

⌊ π x = 2 + 2πk, |⌈ 3π- -1- k ∈ℤ. x = 2 − 2arcsin√5-+ 2πk,

2) Аналогично решим уравнение $sinx− 2cosx =− 2.$

1 2 − 2 √5-sinx− √5-cosx= √5-.

sin(x− α)= −√2. 5

⌊ −2- |⌈ x− α= arcsin √5 + 2πk, k∈ ℤ. x− α= π− arcsin −√2+ 2πk, 5

⌊ ⌈ x= 2πk, x= π+ 2arcsin 2√-+ 2πk, k∈ ℤ. 5

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой ( $x= π+ 2πk$ ( $k$ - целое) не подходит): пусть $k= tg x 2$ , тогда $sinx= -2k2,cosx= 1−k22. 1+k 1+k$

$1)sin x− 2cosx= 1.$ Получается

-2k-- 1−-k2 1+ k2 − 2⋅1+ k2 = 1.

Решив квадратное уравнение, получим

[ x tg2x = −3, tg2 = 1.

[ x =− 2arctg3 +2πn, x = π + 2πn,n∈ ℤ. 2

2)Аналогично решим уравнение $sinx − 2cosx= −2.$

2 --2k2 − 2⋅ 1-− k2 = −2. 1 +k 1 +k

⌊ tg x2 = 0, ⌈ tg x= − 1 . 2 2

[ x= −2arctg 1+2πn, x= 2πn,n∈ 2ℤ.

Ответ:

$− 2arctg3+ 2πn;π+ 2πn;− 2arctg 1+ 2πn;2πn, n ∈ℤ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92260

Решите уравнение

tgx⋅tg2x cos2x+ 2 = 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Явно напрягает произведение тангенсов. Давайте распишем их по определению и запишем условие их существование!

Подсказка 2

В итоге получим tg(x) * tg(2x)/2 = sin²(x)/cos(2x). После подстановки в уравнение мы можем обе части домножить на ненулевое число cos(2x)!

Подсказка 3

Получим классическое тригонометрическое уравнение. Если распишем косинус двойного угла через синус, то получим квадратное уравнение относительно него ;)

Подсказка 4

Остается соотнести полученные решения с условием существования исходных тангенсов!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе слагаемое, но перед этим запомним, что оба тангенса должны быть определены:

tgx-⋅tg2x- sin-xsin2x- sin2x- 2 = 2cosxcos2x = cos2x

Тогда домножим наше уравнение на ненулевое число $cos2x.$ А также после замены $2 t=sin x$ получаем $cos2x= 1− 2t$ и квадратное уравнение

(1− 2t)2 +t= 1− 2t

1− 4t+ 4t2 +t= 1− 2t

2 1 4t − t =0, t= 0 или t= 4

cos2x =1 или cos2x= 1 2

x= πn;n ∈ℤ или 2x= ± π+ 2πn;n ∈ℤ 3

Ответ:

$πn;±π + πn;n ∈ℤ 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#60910

Решите уравнение

∘ ------13- 8sinx+ -3 =2cosx+ 2tgx.

Показать ответ и решение

Уравнение $∘f(x)= g(x)$ равносильно системе $f(x)=(g(x))2,g(x)≥0.$

Сначала бездумно возведём обе части уравнения из условия в квадрат, а в конце проверим неравенство:

13 2 2 8sin x+ 3-= 4cos x+ 8sinx +4tg x

Воспользуемся тождеством $2 1 cos x= 1+tg2x$ , а также заменой $2 t= tg x$ , получим

13 4 3-= 1+-t +4t ⇐⇒ 13(t+ 1)=12+ 12t(t+1) ⇐⇒

12t2− t− 1 =0 ⇐ ⇒ t∈ {− 1,1} 4 3

Откуда при обратной замене $t$ на квадрат тангенса $x$ получаем $tg x= ±√1 ⇐ ⇒ x =± π6 + πn,n∈ ℤ 3$ .

Теперь остаётся выбрать из решений те, которые подходят под неравенство $cosx+ tgx ≥0.$

После недолгих размышлений (значения косинуса и тангенса тут табличные) остаются $x =± π+ 2πn,n ∈ℤ. 6$

Ответ:

$± π + 2πn, n∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#67502

Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции

f(x)= 2cos2x+ 2cosx − 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала рассмотрим функцию g(x) = 2cos(2x) + 2cos(x). После применения формулы косинуса двойного угла получаем параболу относительно cos(x). Какие у нее максимум и минимум?

Подсказка 2

Верно, получается, что минимум достигается в вершине параболы, а максимум - в одном из граничных значений косинуса, т.е. в -1 и +1. Теперь поймем, что сдвиг на целое число единиц никак не меняет количество искомых нами чисел в получившемся промежутке, а значит мы уже сейчас можем дать ответ.

Показать ответ и решение

Достаточно найти область значений выражения

2 2 2cos2x+ 2cosx =2(2cos x− 1)+2cosx= 2(2 cos x+ cosx− 1)

Получаем параболу, зависящую от $cosx$ . Её вершина находится в точке $cosx = − 1 4$ , а значение в ней $− 9 4$ . Отсюда легко видеть, что максимальное значение будет в одной из точек $cosx= ±1$ . Подставляя обе, получаем максимум $4$ . На отрезке $[− 9,4] 4$ лежат $7$ целых чисел, это и является ответом (сдвиг на целое число его не меняет).

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#30900

Решите уравнение:

4|sinx|+ 2cos2x= 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы не рассматривать два случая раскрытия модуля, сделайте замену модуля синуса, а не самого синуса. Дальше нужно вспомнить формулу косинуса двойного угла :)

Подсказка 2

а² = |а|² -> пользуемся этим, чтобы решить уравнение относительно |sin(x)|

Показать ответ и решение

Так как