.05 Кинематические связи

Пусть и — мгновенные скорости оси блока и груза, — мгновенное значение угловой скорости вращения блока вокруг своей оси, — радиус блока. Рассмотрим мгновенные скорости и точек блока и , лежащих на концах его горизонтального диаметра. В точке блок касается левого вертикального участка нити. Так как нить нерастяжима, скорости всех точек этого участка равны скорости точки , то есть нулю. Поскольку нить не скользит по блоку, скорость также обращается в нуль. В точке блок касается правого вертикального участка нити, скорости всех точек которого равны . Поэтому . Используя закон сложения скоростей, находим связь скоростей и и, как следствие, связь ускорений и :

Отсюда получаем:

Рассмотрим полную механическую энергию системы, состоящей из блока, нити и груза. Для того чтобы правильно записать кинетическую энергию блока, воспользуемся известным фактом, что если тонкий обруч массой катится без проскальзывания по столу, то его кинетическая энергия равна , где — скорость центра обруча. В нашем случае роль стола играет левый вертикальный участок нити . Блок как бы катится вверх по этому неподвижному участку. Отсутствие проскальзывания соответствует обращению в нуль скорости . Таким образом, в нашей задаче кинетическая энергия обруча равна . Учитывая равенство , получаем:

где и — высоты оси обруча и центра масс груза над полом.

Рассмотрим баланс энергии системы за малое время :

Здесь в левой части стоит приращение энергии , в правой части — работа силы на перемещении . В связи с этим равенством следует отметить два обстоятельства:

• Сила, действующая на нить со стороны пола в точке , не совершает работу, поскольку скорость точки равна нулю.
• Так как нить не скользит по блоку, силы трения, действующие между блоком и верхним участком нити, являются силами трения покоя. Суммарная работа этих сил равна нулю (другими словами, при взаимодействии нити с блоком не выделяется тепло).

Запишем приращение энергии :

Обозначим через приращение скорости оси блока за время . Тогда для приращения квадрата скорости имеем:

При уменьшении отношение становится сколь угодно малым и может быть отброшено. Тогда:

Приращения высот и равны:

Собирая всё вместе, получаем:

Введём ускорение оси блока :

Тогда и выражение для принимает вид:

Подставляя этот результат в уравнение баланса энергии, находим ускорение :

Ускорение груза в два раза больше:

Для того чтобы найти силы натяжения и , запишем второй закон Ньютона для системы, состоящей из блока и верхнего участка нити. Внешними силами, действующими на эту систему, являются сила , сила тяжести и направленные вниз силы натяжения, действующие со стороны вертикальных участков нити. Так как нить невесома, эти силы равны и . Получаем:

Запишем также второй закон Ньютона для груза:

Используя полученное выше выражение для ускорения и равенство , после некоторых алгебраических преобразований находим силы натяжения и их разность:

Отношение равно: