Кинематические связи —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30905

Система состоит из двух массивных грузов, невесомых блоков и невесомой нерастяжимой верёвки. Средний блок перемещают вниз с ускорением $2 a0 = 5 м/ с$ . Ускорение свободного падения $2 g = 10 м/с$ . Трение отсутствует.
1. Найдите ускорение груза массой $m = 1 кг$ . Ответ укажите в $м/ с2$ , округлив до целого числа.
2. Куда направлено ускорение тела массой $1 кг$ ? 1 – вверх, 2 – вниз.
3. Чему равно натяжение нити? Ответ укажите в ньютонах, округлив до целого числа
(Всеросс., 2020, ШЭ, 10)

Источники: Всеросс., 2020, ШЭ, 10

Показать ответ и решение

1) Так как нить нерастяжима, то

x1 + 2x0 + x2 = const.

Продифференцировав 2 раза, получим

− a1 + 2a0 − a2 = 0. (1)

Пусть сила натяжения нити равна $T$ , она всюду одинакова. Тогда

( { T − 2mg = 2ma2 (2) ( T − mg = ma1

Тогда из (1)

a2 = 2a0 − a1.

Подставив в (2)

( { T − 2mg = 4ma0 − 2ma1 ( T − mg = ma1

Вычитая, получим

4a g 4 ⋅ 5 м/ с2 + 10 м/ с2 − 2mg + mg = 4ma0 − 2ma1 − ma1 ⇒ a1 = ---0+ --= -------------------- = 10 м/ с2 3 3 3

2) Мы выбрали ускорение, направленное вверх (см. рис.), получилось положительное значение, следовательно, вы выбрали верно и оно направлено вверх – (1).
3) Силу натяжения нити можно найти из второго закона Ньютона

T = mg + ma1 = m (g + a1) = 1 к г(10 м/ с2 + 10 м/с2) = 20 Н

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30906

В системе, показанной на рисунке, массы грузов равны соответственно $m1 = m3 = m = 0,1 кг$ , $m2 = 3m$ . Первоначально систему удерживают, затем отпускают. Грузы приходят в движение. Начальные скорости всех грузов нулевые. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с2$ . Массы блоков и нитей по сравнению с массой грузов пренебрежимо малы. Нерастяжимые нити свободно скользят по блокам.
1. Найдите скорость $V1$ груза 1 в тот момент, когда груз 2 опустится на $H = 0,5 м$ .
2. Найдите силу $T2$ натяжения нити, на которой подвешен груз 2.
(«Физтех», 2019, 9)

Источники: Физтех, 2019, 9

Показать ответ и решение

1) Так как нить нерастяжима, то

x1 + 2x2 + x3 = const.

Продифференцировав

v1 + 2v2 + v3 = 0.

Продифференцировав ещё раз, получим

− a1 + 2a2 − a3 = 0. (1)

Пусть сила натяжения нити равна $T$ , она всюду одинакова. Тогда

( || T − mg = ma1 |{ 3mg − 2T = 3ma2 (2) ||| ( T − mg = ma3

Тогда из (2)

T − mg = ma1 = ma3 ⇒ a3 = a1 = a.

Ускорения грузов 1 и 3 равны, тогда

− a + 2a2 − a = 0 ⇒ a2 = a.

Так как $a1 = a3$ , то $x1 = x3 = x$ , если груз 2 опустится на $H$

(x − Δx ) + 2(x + H ) + (x − Δx ) = x + 2x + x ⇒ Δx = H. 2 2

Значит, грузы 1 и 3 тоже изменили положение на $H$ . Аналогично, для скоростей $v1 = v3 = v$ .

v + 2v2 + v = 0 ⇒ v2 = − v

Запишем закон сохранения энергии

2 ∘ ----- √ -- 3mgH = 2mgH + 5mv---⇒ v = 2gH--= 2 м/ с 2 5

2) Так как сначала система находилась в покое, то их скорости равны 0, уравнение кинематики для второго груза на ось $x$

2 √ ----- H = v--⇒ v = 2aH. 2a

Откуда

2gH-- g- 5 = 2aH ⇒ a = 5.

Для второго груза $T2 = 2T$

3mg 12 3mg − T2 = 3ma = -----⇒ T2 = ---mg = 2,4 Н 5 5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30907

На легкой нерастяжимой веревке с помощью трех блоков подвешены два груза. Блоки легкие, вращаются без трения, веревка по ним не скользит. Один из концов веревки закреплен на шкиве выключенной лебедки. Удерживая груз 2 на месте, включают лебедку и сразу после этого груз 2 отпускают. Лебедка вытягивает веревку с постоянной скоростью $u = 2 м/ с$ . Спустя какое время скорости грузов окажутся равны по модулю? Соотношение масс грузов $m2 : m1 = 2$ . Ускорение свободного падения $g = 10 м/с2.$
(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 7–9)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2019, 7–9

Показать ответ и решение

Направим координатную ось $x$ вертикально вниз.

Сумма длин вертикальных отрезков нити в процессе движения системы должна убывать со скоростью вытягивания веревки лебедкой. Поэтому координаты грузов $x 1,2$ должны удовлетворять соотношению

x2 +x1 + x1 = const− ut ⇒ 2x1 + x2 = const− ut.

Следовательно, изменения этих координат за малое время $Δt$ связаны соотношением

2Δx1 + Δx2 = − uΔt

которое означает, что в любой момент времени проекции скоростей этих тел на ось $x$ связаны

2v1 + v2 = − u.

Движение, согласно условию, начинается таким образом, что при $t = 0$ скорость второго груза $v2(0) = 0$ . Значит, $v1(0) = − u. 2$ Рассуждая аналогично, замечаем, что проекции ускорений грузов также связаны: $a2 = − 2a1.$ Кроме того, эти ускорения удовлетворяют уравнениям движения, следующим из 2 закона Ньютона:

( { 2T − m1g = m1a1 ( T − m2g = m2a2

Здесь $T$ – сила натяжения нити. С учетом, что $a2 = − 2a1$ , получим

( { 2T − m1g = m1a1 ⇒ − m1g + 4m1g = m1a1 + 8m1a1 ( 2T − 4m1g = − 8m1a1

Откуда ускорение $a1$

a1 = g (Направлено вверх) 3

А ускорение $a2$ :

a = − 2a = − 2g (Напр авлено вниз) 2 1 3

Законы изменения скоростей грузов записываются в виде

u- g 2 v1(t) = − 2 − 3t v2(t) = 3gt.

Условие $|v1(t)| = |v2(t)|$ выполняется при $t$

u g 2 3u -+ -t =-gt ⇒ t = --. 2 3 3 2g

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Получена кинематическая связь скоростей грузов и лебедки	2

Получена связь ускорений грузов $a1$ и $a2,$ записана система уравнений движения, следующая из второго закона Ньютона	2

Получены выражения для ускорений $a1$ и $a2$	2

Сформулированы законы изменения скоростей грузов	2

Получено верное значение для времени $t$ , спустя которое скорости грузов стали равны по модулю	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30908

На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела с массами $m$ и $m∕2$ . К телам прикреплены невесомые блоки, и они связаны невесомой и нерастяжимой нитью так, как показано на рисунке. К концу нити прикладывают постоянную силу $F$ . Найти ускорение конца нити.
(«Росатом», 2011, 9 )

Источники: Росатом, 2011, 9

Показать ответ и решение

Предположим, что в результате движения левый брусок (а значит, и закрепленный на нём конец нити) сместился на $Δx 1$ вправо, а правый – на $Δx 2$ влево. Ввиду нерастяжимости нити её незакреплённый конец сместился на расстояние

Δl = Δx1 + 2Δx2 + 2Δx1,

на $Δx1$ – нижний коней, прикрепленный к $m$ , $2Δx2$ – нижний блок, $2Δx1$ – верхний блок.
Продифференцировав уравнение два раза по времени и обозначив ускорение незакреплённого конца нити за $a$ , получим его связь с ускорениями брусков.

a = 3a1 + 2a2

Запишем второй закон Ньютона на ось $x$

( |||{ T = F ||| 3T = ma1 ( 2T = m ∕2a2

Тогда

3F- 4F- a1 = m a2 = m .

3F 4F 17F a = 3-m-+ 2 m-= -m--.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие нерастяжимости нити	2

Получена связь ускорения незакреплённого конца нити с ускорениями брусков	2

Записан второй закон Ньютона в проекции на $OX$ для брусков и конца нити	2

Получен верный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#30909

Через блоки переброшена легкая нерастяжимая веревка, к одному концу которой прикреплено тело массой $m$ , второй конец которой прикреплен к горизонтальному потолку. Левый блок имеет массу $2m$ , правый – $m$ , причем масса блоков практически сосредоточена в их осях. Систему удерживают, а в некоторый момент времени веревку 1 перерезают и предоставляют систему самой себе. Найти ускорения тел после этого.
(«Росатом», 2020, 10)

Источники: Росатом, 2020, 10

Показать ответ и решение

Силы, действующие на тела и блоки, показаны на рисунке, причем модули сил $⃗T$ и $T⃗′$ равны друг другу (поскольку это силы натяжения одной и той же безмассовой нити). Второй закон Ньютона для левого тела, верхнего блока и системы «нижний блок-тело» в проекциях на ось, направленную вертикально вниз, дает

( ||| mg − T = ma1 { || 2mg + 2T = 2ma2 |( 2mg − 2T = 2ma3

где $a1$ , $a2$ и $a3$ ускорения левого груза, верхнего блока и системы нижний блок-тело соответственно. Поскольку первое и третье уравнение отличаются только множителем 2, то $a1 = a3$ . Поэтому только два уравнения системы независимы

( { mg − T = ma 1 (1) ( mg + T = ma2

Установим теперь связь ускорений. Во-первых, очевидно, что и левое тело, и система «нижний блок-тело» движутся вниз (если бы их ускорения были бы разные, одно из них могло бы двигаться вверх; одновременно двигаться вверх они не могут). Далее. Поскольку у левого тела и системы «нижний блок-тело» одинаковые ускорения, они движутся совершенно одинаково, имеют в любые моменты одинаковые скорости и совершают одинаковые перемещения за одинаковые интервалы времени. Поэтому, если за некоторый интервал времени левое тело переместилось вниз на некоторую величину $Δx$ , то система «нижний блок-тело» переместилось вниз на такую же величину. Для таких перемещений потребуется лишняя нить длиной $3Δx$ . Эта нить может освободиться только за счет перемещения верхнего блока, который должен, таким образом, сместиться вниз на величину $3∕2Δx$ . А следовательно, для ускорений имеет место связь

a1 = 3a2. (2) 2

Тогда из (1) и (2)

4 6 a2 = 5g a1 = 5 g

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно расставлены силы, действующие на тела системы и блоки	0.5

Правильно написаны законы Ньютона для всех тел и блоков	0.5

Правильные условия связи сил и ускорений тел и блоков	0.5

Правильные ответы	0.5

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#30910

Механическую систему, состоящую из двух невесомых подвижных блоков, двух тел массой $m$ и $2m$ и невесомых и нерастяжимых нитей, удерживают в определенном положении (см. рисунок). В некоторый момент времени систему отпускают. Найти ускорения тел.
(«Росатом», 2020, 11)

Источники: Росатом, 2020, 11

Показать ответ и решение

Силы, действующие на тела системы и на блоки, показаны на рисунке (из которого ясны все обозначения).

Второй закон Ньютона для тел в проекциях на ось, направленную вертикально вниз, дает

( { 2mg − T1 = 2ma1 (1) ( T3 + mg = ma2

Установим условия связи ускорений и сил натяжения. Поскольку левый блок – невесом $T = 2T 1 2$ . Аналогично из условия невесомости второго блока $T2 = 2T3$ . Отсюда $T1 = 4T3$ . Для установления связи ускорений рассмотрим малое перемещение тела $2m$ . Пусть это тело переместилось вниз на некоторую величину $Δx$ . Тогда на эту же величину переместится вниз и левый блок. Для такого перемещения слева и справа от него потребуются два лишних кусочка веревки длиной $Δx$ . А для этого правый блок должен опуститься вниз на величину $2Δx$ . Для такого его перемещения слева и справа от него потребуются два кусочка веревки длиной $2Δx$ . Следовательно, тело $m$ переместится вниз на величину $4Δx$ . Это значит, что перемещение тела $m$ в любые интервалы времени вчетверо больше перемещения тела $2m$ . Поэтому его скорость в любой момент времени вчетверо больше скорости второго тела. А, следовательно, такое же соотношение имеет место и для ускорений

a2 = 4a1.

В результате система уравнений (1) принимает вид

( { 2mg − 4T3 = 2ma1 ⇒ a = g- a = 4-g ( T + mg = 4ma 1 3 2 3 3 1

То что ускорение второго тела оказалось больше ускорения свободного падения подтверждает факт натянутости всех нитей – в противном случае тела падали бы с ускорением $g$ .

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#30911

Имеется система из трех тел с массами $m$ , $2m$ и $3m$ и двух невесомых блоков,один из которых неподвижный, второй – подвижный. Тела $m$ и $3m$ привязывают к веревке, которую пропускают через блоки, тело $2m$ привязывают к оси подвижного блока. До некоторого момента тела удерживают, а затем отпускают. Найти ускорения тел.
(«Росатом», 2020, 11)

Источники: Росатом, 2020, 11

Показать ответ и решение

На каждое тело действуют сила тяжести и сила натяжения веревки.

Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекции на ось, направленную вертикально вниз, дает

( || T + mg = ma1 |{ 2mg − 2T = 2ma2 ||| ( 3mg − T = 3ma3

Здесь $a 1$ , $a 2$ и $a 3$ – ускорения тел массой $m$ , $2m$ и $3m$ соответственно, $T$ – сила натяжения веревки, привязанной к телам массой $m$ и $3m$ , $2T$ – сила нятяжения веревки, привязанной к телу $2m$ . Умножая первое уравнение на 2 и складывая его со вторым, а последнее уравнение на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим уравнения, в которые не входит сила натяжения веревки

( { a + a = 2g 1 2 (1) ( 3a − a = 2g 3 2

Получим уравнение связи ускорений. Если тело $m$ совершило перемещение $Δx1$ , а тело $2m$ – перемещение $Δx2$ , направленное вниз, то слева от неподвижного блока потребуется кусок веревки длиной $2Δx2$ и освободится кусок веревки длиной $Δx1$ . Поэтому тело $3m$ совершит перемещение $Δx1 − 2Δx2$ , направленное вертикально вниз. А это значит, что

a3 = a1 − 2a2 (2)

Решая систему уравнений (1), (2), получим

8- 2- 4- a1 = 5 g a2 = 5 g a3 = 5 g

Все ускорения получились положительными, что означает, что направления ускорений были выбраны верными – все тела движутся вниз.
(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#30912

На шероховатой горизонтальной поверхности покоятся два бруска с одинаковой массой $m$ . Коэффициенты трения брусков о поверхность равны $μ$ и $2μ$ . К брускам привязана верёвка, которая переброшена через лёгкий горизонтально расположенный блок (см. рисунок; вид сверху). Какое минимальное горизонтальное ускорение $⃗a$ нужно сообщить блоку, чтобы оба бруска стронулись с места?
(«Росатом», 2020, 9–10 )

Источники: Росатом, 2020, 9–10

Показать ответ и решение

Понятно, что при небольшом ускорении блока сила натяжения веревки будет небольшой и сможет сдвинуть только тело с меньшим трением. Второй же груз в этом случае будет стоять. При увеличении ускорения блока будет возрастать сила натяжения нити, и при определенном ускорении блока тело с большим трением сдвинется. Найдем этот момент, постепенно увеличивая ускорение блока. Итак, пусть ускорение блока $a$ таково, что тело с меньшим трением движется, а с большим – покоится. Тогда второй закон Ньютона для движущегося тела в проекциях на ось, направленную вдоль ускорения блока дает

T − μmg = ma1, (1)

где $a1$ – ускорение движущегося тела. Очевидно, что ускорение тела $a1$ вдвое превосходит ускорение блока $a$ . Действительно, если блок перемещается на некоторую величину $Δx$ , то с той стороны от блока, где находится покоящееся тело, требуется лишний кусочек веревки длиной $Δx$ . Поэтому веревка с другой стороны становится короче на величину $Δx$ . Кроме того, блок, от которого начинается веревка, привязанная ко второму телу, тоже перемещается на $Δx$ . Следовательно, перемещение второго тела составляет $2Δx$ , т.е. скорость второго тела вдвое больше скорости блока в любой момент времени. Поэтому и ускорение второго тела больше ускорения блока в два раза. В результате из (1) имеем

T = 2ma + μmg (2)

Из формулы (2) следует, что при малом ускорении блока сила $T$ , больше $μmg$ , но меньше $2μmg$ . А поскольку при увеличении ускорения блока сила $T$ возрастает, при некотором ускорении второе тело сдвинется с места. Это произойдет, если

T = ma + μmg ≥ 2μmg ⇒ a ≥ μg∕2

Тогда минимальное ускорение

amin = μg- 2

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильная идея решения – использование уравнений динамики при том, что при минимальном ускорении $a,$ когда оба груза стронулись с места, ускорение груза с бОльшим трением равно нулю	0,5

Правильная связь ускорения блока и ускорения тела с меньшим трением	0,5

Правильные уравнения динамики и использование формулы для максимальной силы трения при движении или в момент начала движения	0,5

Правильный ответ для ускорения блока	0,5

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#30913

Найдите модуль и направление ускорения, с которым нужно двигать конец нити для того, чтобы правый груз, имеющий массу $m = 3 кг$ , оставался неподвижным. Массой нити и блоков можно пренебречь. Нить нерастяжима, трение отсутствует. Ускорение свободного падения принять равным $g = 10 м/ с2$ .
(Всеросс., 2018, МЭ, 10 )

Источники: Всеросс., 2018, МЭ, 10

Показать ответ и решение

Из условия равновесия груза, имеющего массу $m$ , следует, что $2T = mg$ . Тогда второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось $Oy$ , направленную вверх, для второго тела, имеющего массу $2∕3m$ , имеет вид:

2may = T − 2 mg, 3 3

откуда

3T- g ay = 2m − g = − 4.

Знак минус означает, что груз $2m ∕3$ будет ускоряться вниз. Из условия нерастяжимости нити следует, что конец нити необходимо опускать с таким же ускорением $a = g∕4 ≈ 2,5м ∕с2$ направленным вниз. (Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия груза $m$	1

Учтено постоянство силы натяжения вдоль всей нити	1

Записан второй закона Ньютона для тела $2 3m$	3

Найдено ускорение тела $2 m 3$	1

Использована кинематическая связь для ускорений тела $2 -m 3$ и конца нити	2

Найдено ускорение конца нити	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#30914

В системе, показанной на рисунке, неподвижный блок прикреплён к потолку комнаты, а все грузы удерживают неподвижными так, чтобы отрезки лёгкой нерастяжимой нити, не лежащие на блоках, были вертикальны. Грузы массами $m 2$ и $m 3$ подвешены к осям блоков на жёстких лёгких стержнях. Все блоки лёгкие и могут вращаться вокруг своих осей без трения. Определите ускорение груза массой $m2$ после одновременного отпускания всех грузов. Ускорение свободного падения равно $g$ .
(МОШ, 2009, 9)

Источники: МОШ, 2009, 9

Показать ответ и решение

Запишем Второй закон Ньютона на вертикальную ось $x$ для грузов:

m1g − T = m1a1

m2g + T = m2a2

m3g − 2T = m3a3

Уравнение кинематических связей, связанное с нерастяжимостью нити:

x + x + (x − x )+ (x − x )+ C = const b2 b1 b2 b1 1 b1

где $C$ - длина нитей на блоках, причем $C = const$ .
Т.к.

ab2 = a3, ab1 = a2

Путем дифференцирования получаем

2a − a + a = 0 3 2 1

В итоге получаем

2g− 4T-− g− -T-+ g − T--= 0 ⇒ T = -----2g------ m3 m2 m1 m11-+ m12-+ m43-

Тогда

-T- 4m1m2--+-3m1m3--+-m2m3- a2 = m2 +g = 4m1m2 + m1m3 + m2m3 g

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно записана система уравнений Ньютона для грузов	2

Записано уравнение кинематической связи, следующей из нерастяжимости нити	2

Получена связь ускорений $a1,$ $a2$ и $a3$	2

Выражена сила натяжения нити $T$	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#30915

Имеется $2019$ неподвижных и $2018$ подвижных блоков, через которые переброшена невесомая, нерастяжимая веревка (см. рисунок). К осям подвижных блоков прикреплены $2018$ тел массой $m$ , к концам веревки – тела массой $m$ и $m ∕2$ .

Найти величину и направление ускорения самого левого тела.
(«Росатом», 2019, 11)

Источники: Росатом, 2019, 11

Показать ответ и решение

Пусть сила натяжения веревки, охватывающей все блоки, и к одному концу которой привязан груз $m$ , а к другому – $m ∕2$ , равна $T$ . Тогда силы натяжения веревок, привязанных к осям нижних блоков, равны $T ∕2$ . Поэтому второй закон Ньютона для всех наших тел дает:

( |||{ Л евое тело: ma1x = T − mg | Н иж н ие те ла ma2x = 2T − mg ||( m- m- П рав ое тел о 2 a3x = T − 2 g

Из второго-третьего уравнений видим, что уравнения второго закона Ньютона для нижних тел и левого тела совпадают, поэтому они имеют одинаковые ускорения $a3x = a2x$ . На левое тело действует вдвое меньшая сила натяжения (при той же силе тяжести), поэтому его ускорение будет направлено вниз, а ускорение остальных тел – вверх. Поэтому второй закон Ньютона для левого тела и всех остальных тел дает

( { ma1 = mg − T (1) ( ma2 = 2T − mg

где $a1$ и $a2$ ускорения самого левого и всех остальных тел соответственно. Найдем связь ускорений тел. Пусть нижние тела и правое тело поднялись за некоторый малый интервал времени вверх на величину $Δx$ . Тогда слева появится лишний кусок веревки длиной

2 ⋅ 2018 Δx + Δx = 4037Δx

И, следовательно, левое тело опустится вниз на величину $4037Δx$ . Поэтому и его ускорение будет в $4037$ раз больше ускорения остальных тел: $a1 = 4037a2$ . В результате из системы уравнений (1) находим

4037 g g a1 = -----g ≈ -- a2 = -----. 8075 2 8075

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан второй закон Ньютона	2

Записан связь между ускорениями тел	2

Расписаны перемещения тел	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#30916

Система грузов (см. рисунок) с массами $m1 = m3 = 10 к г$ и $m2 = 20 кг$ сначала находится в покое, трение отсутствует, а массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Затем к грузу $m 1$ прикрепили довесок $Δm = 1,25 кг 1$ , к грузу $m 3$ – довесок $Δm = 5 кг 3$ , и систему предоставили себе самой. В каком направлении и с какими ускорениями станут двигаться грузы?
(Всеросс., 1998, ОЭ, 9)

Источники: Всеросс., 1998, ОЭ, 9

Показать ответ и решение

Нить нерастяжима, следовательно, сила натяжения $T$ по всей длине одинакова. Пусть $′ m 1 = m1 + Δm1$ , $′ m 3 = m3 + Δm3$ . Для грузов запишем систему уравнений:

( | ′ ′ ||{ m 1a1 = m 1g − T, (1 ) || m2a2 = m2g − 2T, (2) |( m ′a = m ′g − T (3) 3 3 3

Запишем уравнение, связывающее между собой ускорения грузов. Ускорение среднего блока, равное ускорению второго груза, равно полусумме ускорений частей нити слева и справа от него, которые в свою очередь равны ускорениям других двух грузов. Тогда:

a = − a1-+-a3 (4) 2 2

У нас есть четыре неизвестных $a1$ , $a2$ , $a3$ , $T$ и четыре уравнения. Решая их, находим

a = 0, a = − g-, a = g-. 1 2 8 3 4

Следовательно, первый груз останется в покое, второй будет двигаться вверх, а третий – вниз.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#30917

В системе, изображённой на рисунке, определите ускорения груза и двух одинаковых блоков 1 и 2. Нить невесома и нерастяжима, массы блоков пренебрежимо малы по сравнению с массой груза $M$ , трения нет. Ускорение свободного падения $g$ известно.
(МОШ, 2016, 9)

Источники: МОШ, 2016, 9

Показать ответ и решение

Для определения ускорения груза массы блоков можно принять равными нулю (так как массы блоков пренебрежимо малы по сравнению с массой груза $M$ ). Тогда, записывая второй закон Ньютона, например, для 1 блока, получаем, что натяжение нити в системе равно нулю (на самом деле, оно очень маленькое, гораздо меньше чем $M g$ ). Следовательно, груз вместе с нижним блоком падают с ускорением $g$ . Записав длину нити и продифференцировав уравнение по времени дважды, получаем уравнение кинематической связи для ускорений:

2a3 − a1 + a2 = 0 ⇒ a1 − a2 = 2g,

где $a1$ – проекция ускорения 1 блока, $a2$ – проекция ускорения 2 блока, $a3$ – проекция ускорения нижнего блока (ось направлена вниз).
У нас получается одно уравнение и две неизвестных. Как же разрешить возникшую проблему? Необходимо вспомнить, что хоть блоки в системе и очень лёгкие, все же они имеют некоторую массу, а, значит, и натяжение в системе не совсем равно нулю. Тогда запишем 2-й закон Ньютона для 1 и 2 блоков:

( {mg +T = ma1 ( mg − T = ma2

где $m$ – массы 1 и 2 блоков (блоки по условию задачи одинаковые, а, значит, массы у них равны), $T$ – натяжение нити (нить невесома, трения нет, следовательно, натяжение во всей нити одинаково). Решая систему из трёх уравнений, получаем:

a = 2g, a = 0 1 2

(Официальное решение МОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан второй закон Ньютона	3

Записана связь между ускорениями	3

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#30918

В системе двух тел с массами $m$ и $2m$ , связанных нерастяжимой и невесомой нитью, второй конец которой прикреплён к потолку, и двух невесомых блоков (см. рисунок), ускорения блоков известны и равны $a$ и $2a$ . Какими силами нужно действовать на блоки?
(«Росатом», 2017, 11)

Источники: Росатом, 2017, 11

Показать ответ и решение

Пусть сила натяжения верхней нити (охватывающей блок, движущийся с ускорением $2a$ ) , равна $T 1$ , второй нити – $T 2$ . Тогда второй закон Ньютона для грузов дает

( { 2ma1 = T1 − 2mg (1) ( ma2 = T1 − T2 − mg

Найдем связь ускорений грузов с ускорением блоков. Пусть нижний блок опустился на $Δl$ . Тогда верхний блок поднимется на $2 Δl$ (его ускорение в два раза больше). Очевидно, что тело массой $m$ переместится на $2Δl$ , тело массой $2m$ поднимется на $6Δl$ . Поэтому ускорение тела $m$ равно $2a$ и направлено вниз, тела $2m$ – $6a$ и направлено вверх. Поэтому система уравнений (1) принимает вид

( { 12ma = T1 − 2mg ( 2ma = T + mg − T 2 1

Отсюда

( { T1 = 12ma + 2mg ( T2 = 14ma + mg

Ну а поскольку блоки невесомы, то силы, которым нужно действовать на блоки, равны удвоенным силам натяжения нитей:

F1 = 2T1 = 24ma + 4mg F2 = 2T2 = 28ma + 2mg.

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#30919

С каким и в какую сторону направленным ускорением нужно двигать средний блок, чтобы левый груз, имеющий массу $2 кг$ , оставался неподвижным? Массой нити и блоков можно пренебречь. Нить нерастяжима, трение отсутствует. $g = 10 м/ с2$ .
(МОШ, 2018, 10 )

Источники: МОШ, 2018, 10

Показать ответ и решение

Пусть $m$ – масса правого груза. Чтобы левый груз оставался в покое, натяжение нити должно равняться $T = 2mg$ . Тогда из второго закона Ньютона для правого груза найдём с каким ускорением он будет двигаться:

ma1 = T − mg

2mg − mg a1 = ---m-----= g.

Ускорение блока равно полусумме ускорений частей нити слева и справа от него. Поскольку левый конец нити неподвижен, средний блок должен двигаться вниз с ускорением

a = g. 2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия груза $2m$	1

Учет постоянства силы натяжения нити вдоль всей нити	1

Уравнение второго закона Ньютона для тела $m$	3

Найдено ускорение тела $m$	2

Кинематическая связь для ускорений тела $m$ и среднего блока	2

Найдено ускорение среднего блока	1

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#30920

Если приложить силу $F$ к телу массой $m$ (рис. 1), то оно начнёт двигаться с ускорением $2 a1 = 0,20 м/с$ . С каким ускорением $a2$ придёт в движение это же тело, если силу $F$ приложить к телу массой $3m$ (рис. 2)? Тела находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Массой блока и нерастяжимых нитей можно пренебречь.
(МОШ, 2017, 10)

Источники: МОШ, 2017, 10

Показать ответ и решение

Ускорение блока равно полусумме ускорений частей нити слева и справа от него. Из условия нерастяжимости нити следует, что ускорение блока всегда в два раза меньше ускорения тела массой $3m$ . В первом случае второй закон Ньютона для тела $3m$ имеет вид:

T1 = 3m2a1,

где $a1$ – ускорение блока, $T1$ – сила натяжения переброшенной через блок нити.
Для тела массой $m$ второй закон Ньютона выглядит так:

ma = F − 2T 1 1

Отсюда

F = 13ma1

Аналогично для второго случая:

2T = ma 2 2

3m2a2 = F − T2

Откуда

F = 13ma2 2

Окончательно

a2 = 2a1 = 0,40 м/с2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Явно указано, что ускорения тел отличаются в два раза вследствие нерастяжимости нити	2

Записаны уравнения второго закона Ньютона для тел	4

Найдена связь ускорений	3

Получено численное значение искомого ускорения	1

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#30932

Изображённая на рисунке система состоит из грузов массами $m$ и $M$ , двух неподвижных и одного подвижного блока. Не лежащие на блоках участки нитей вертикальны. Определите ускорения грузов, считая, что груз массой $M$ при движении сохраняет горизонтальное положение, нити невесомы и нерастяжимы, блоки лёгкие, трения нет.
(МОШ, 2012, 9 )

Источники: МОШ, 2012, 9

Показать ответ и решение

Найдем длину нити

l = y3 − yн + 3(y1 − yн)+ y2 − y1

Продифференцируем

0 = vym + 3vy1 + vy2 − vy1

Так как груз массой $M$ сохраняет горизонтальное положение, то $vy2 = vy1$ . Откуда

0 = vym + 3vy1

Опять дифференцируем

0 = a + 3a ym yM

Перейдем от проекций к модулям

am = 3aM

Запишем второй закон Ньютона

( { mg − T = mam ⇔ 3mg − 3T = 9maM ( 3T − M g = M aM

Складываем

3mg − M g = aM(M + 9m) ⇒ aM = g3m-−-M-- M + 9m

А ускорение груза массой $m$ направлено противоположно и равно

3m-−-M-- am = − 3aM = − 3gM + 9m

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана связь перемещений грузов (отличаются по величине в три раза, направлены противоположно)	2

Записана связь ускорений грузов (отличаются по величине в три раза, направлены противоположно)	2

Записан второй закон Ньютона для груза массой $m$	2

Записан второй закон Ньютона для груза массой $M$	2

Получены правильные ответы для ускорений грузов массой $m$ и $M$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#30933

Найдите ускорение груза массой $3m$ в системе, изображённой на рисунке. Нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Чему равна реакция со стороны нити, действующая на неподвижный верхний блок?
(МОШ, 2017, 9)

Источники: МОШ, 2017, 9

Показать ответ и решение

Запишем 2-й закон Ньютона в проекциях на оси $x$ и $y$ :

(| |{ T = ma1x | T = 3ma2x |( mg − 2T = ma3y

где $T$ – силы реакции со стороны нити, $a1x$ – проекция ускорения верхнего груза массой $m$ , $a2x$ – проекция ускорения груза массой $3m,a3y−$ проекция ускорения нижнего груза массой $m$ . Запишем уравнение кинематической связи ускорений грузов:

2a3y − a1x − a2x = 0

Решая систему из 4-х уравнений, окончательно получаем:

1 a2x = -g 8

Соответственно

√ - √- 3--2mg-∼ R = 2T = 8 = 5,3 Н

(Официальное решение МОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан второй закон Ньютона для системы в проекции на ось $OX$ и $OY$	3

Верно записана кинематическая связь ускорений грузов	2

Верно выражено $a2x$	3

Получено верное выражение для $R$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#30934

В системе, изображённой на рисунке, массы всех трёх грузов одинаковы и равны $m$ . Нить, соединяющая грузы 1 и 2, невесома и нерастяжима; её участки, не лежащие на блоках, вертикальны или горизонтальны; блоки невесомы, трения нет. Груз 3 движется по горизонтальной плоскости, не опрокидываясь. Найдите ускорения всех трёх грузов. Ускорение свободного падения равно $g$ .
(МОШ, 2006, 10)

Источники: МОШ, 2006, 10

Показать ответ и решение

При условиях задачи сила натяжения нити везде одинакова и равна $T$ . Груз 1 будет двигаться по вертикали с ускорением $a1$ , груз 3 – по горизонтали с ускорением $a3$ , груз 2 – по вертикали с ускорением $a2y$ и вместе с грузом 3 по горизонтали с ускорением $a 2x$ = $a 3$ .

Введём систему координат, как показано на рисунке, и запишем

ma1 = mg − T (груз 1)

ma2y = mg − T (груз2) 2ma2x = − T (грузы 2 и 3)

При написании последнего уравнения мы учли, что силы давления грузов 2 и 3 друг на друга – внутренние для системы этих грузов, так что они движутся только под действием силы натяжения нити $T$ . Из условия нерастяжимости нити

y1 +y2 + x2 = const

Следует уравнение кинематической связи

a = a = g − (T ∕m) 1 2y

А из третьего уравнения системы – что

a2x = − T∕2m

Подставляя эти выражения в уравнение кинематической связи, получаем:

g− T-+ g − T-− -T- = 0, и ли T = 4 mg m m 2m 5

Следовательно

a1 = a2y = g∕5

a = a = − 2g∕5 2x 3

Отсюда находим величину ускорения второго груза

∘-------- a2 = a2 +a2 = √g- 2x 2y 5

Вектор ускорения второго груза направлен вниз под углом

φ = arctg |a2y∕a2x| = arctg(1∕2) к горизонту.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Представлен рисунок с верно расставленными силами	2

Верно записана система уравнений Ньютона для тел $1,$ $2$ и $3$	2

Из условия нерастяжимости нити и системы ур-ний Ньютона получены верные связи проекций ускорений тел $1,$ $2$ и $3$	2

Найдены величины $a1,$ $a2x,$ $a2y,$ $a3$	2

Получено верное значение угла $φ,$ правильно определено направление ускорения	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#30935

Блок склеен из двух дисков с радиусами $R$ и $2R$ , насаженных на одну и ту же горизонтальную ось, и подвешен к горизонтальному потолку. На блоки намотана невесомая нерастяжимая нить, к которой прикреплён груз массой $m$ , как это показано на рисунке. Нить охватывает также нижний блок, размеры которого подобраны так, что все отрезки нити вертикальны. Второй груз массой $3m$ прикреплён к оси нижнего блока. Найти ускорения тел. Блоки невесомы.
(«Росатом», 2017, 11 )

Источники: Росатом, 2017, 11

Показать ответ и решение

Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для обоих тел дает

3m ⃗a1 = 3m ⃗g + ⃗T1 + ⃗T2

⃗ m ⃗a2 = m ⃗g + T

где $⃗a1$ и $⃗a2$ – ускорения тел с массами $3m$ и $m$ соответственно (остальные обозначения очевидны из рисунка). Или в проекциях на ось $x$ , направленную вертикально вниз

3ma1x = 3mg + T1 − T2 (∗)

ma2x = mg − T

Установим условия связи между неизвестными. Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы $⃗T1$ , направленные вверх, и сила $⃗T$ , направленная вниз, то $T = 2T1$ . Верхний блок вращают силы $T2$ с плечом $R ∕2$ и сила $T1$ с плечом $R$ . А поскольку он также не имеет массы, то его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому

T1R = T2R ∕2 ⇒ T2 = 2T1

В результате система уравнений (*) принимает вид

3ma = 3mg − T (∗∗) 1x 1

ma2x = mg − 2T1

Найдем теперь связь ускорений. Во-первых, ясно, что ускорения тел будут направлены противоположно. Действительно, если тело $3m$ опускается, то нить сматывается с маленького блока, но одновременно наматывается на большой блок. А поскольку блоки склеены, они поворачиваются на один и тот же угол, и на большой блок намотается больше веревки, и нижний блок поднимется. Поэтому если тело $3m$ спустилось на $Δl$ , на большой блок намотается $2Δl$ , веревка станет короче на $Δl$ , нижний блок поднимется на $Δl∕2$ . Следовательно, если ускорение тела $3m$ равно $a$ и направлено вниз, ускорение тела $m$ равно $a∕2$ и направлено вверх. И наоборот. Поэтому