Правила сложения и умножения

Распределение делаем в два шага: сначала раздадим торты, а тем, кому их не досталось, выделим по пирожному; затем распределим среди всех оставшихся пирожные.

Будем рассматривать два случая. На каждом шаге число вариантов второго шага не зависит от результата первого шага, поэтому эти числа перемножаются.

Случай 1. Оба торта достались одному участнику — вариантов. Остальным участникам надо выделить пирожных. Остаётся распределить пирожных среди всех участников — это равносильно расстановке шаров и перегородок, что даёт способов. Итого получается способов.

Случай 2. Торты достались двум разным участникам — вариантов. Остальным участникам надо выделить пирожных. Остаётся распределить пирожных среди всех участников — это можно сделать способами. Всего в этом случае имеется способов.

Раскладываем пароль "по слоям": цифра + заглавная + строчная и смотрим, какие ограничения есть по замене в каждой позиции. Цифр две, поэтому одну из них можно заменить произвольно на любой знак из . Если менять заглавную T, то только на заглавную: вариантов. Строчные можно на любые, это ещё вариантов. Итого вариантов.

Число способов рассадки, когда Андрей и Боря сидят рядом, равно (достаточно объединить их в одного человека двумя способами). Способов рассадки, при которых и Андрей-Боря, и Вася-Гриша окажутся рядом, равно Поэтому они могут сесть способами.

Найдём сначала количество троек натуральных чисел. Пусть

где — целые неотрицательные числа. Тогда получаем

Числа составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда , откуда

Из полученных уравнений получаем систему

Посчитаем количество решений этой системы. Есть способ выбрать пару чисел . Действительно, можно взять любым целым числом из отрезка , после чего определяется однозначно. Аналогично, пару можно выбрать способом. Перемножая, получаем способ.

Если рассматривать также отрицательные значения переменных, то можно заметить, что подходят все тройки чисел вида , где положительны и составляют геометрическую прогрессию. Таких троек ровно столько, сколько и в первом случае, поэтому окончательно имеем тройки.

Цифры и уже участвуют в номере года, поэтому из всех месяцев нужно рассмотреть только и В каждом из этих номеров есть поэтому в красивой дате не будет дня с номером, начинающимся с и а также не будет дней и — остаются только дней, с по Но тогда в каждом месяце красивая дата начинается с и подходят только месяцев, с по Остаётся заметить, что для каждого подходящего месяца ровно один день, оканчивающийся на ту же цифру, не будет красивым — значит, в каждом из месяцев по красивых дат, а всего в году —

а) Каждый день есть вариантов, кто пойдет дежурить, поэтому вариантов на дней ровно .

б) В первый день есть вариантов для дежурного, во второй день уже только варианта, так как нельзя выбрать того же человека, который дежурил в первый день, аналогично варианта есть для третьего, четвертого и пятого дня. Значит всего (Здесь числа умножаются, так как нам нужно выбрать одновременно дежурного на первый день, на второй, третий, четвертый и пятый).

в) Если мальчиков станет четверо, то на каждый из дней будет варианта для дежурного и всего получится вариантов.

г) Все графики с Алексеем можно получить если сначала взять все графики, а потом убрать из них те, в которых нет Алексея. Таким образом в итоге будет для рабочей недели.

д) В первый день есть 5 вариантов для дежурного, во второй день уже только 4 варианта, так как нельзя выбрать того же человека, который дежурил в первый день, для третьего дня только варианта, так как нельзя брать тех мальчиков, что дежурили в первый и второй день, для четвертого дня аналогично есть варианта, а для пятого дня только вариант, значит всего .

е) Если Василий дежурит в первый день, то Юрий может дежурит только в - день. Для следующего человека останется дня и варианта, для четвертого дня, а для последнего останется последний день. Итого: .

Аналогично, вариантов, если Василий дежурит в пятый день.

Теперь предположим, что Василий дежурит в , или день. Тогда у Юры будет варианта, так как Юра не может дежурить в тот же день, что и Василий или в день до или после. Третий мальчик может дежурить в любой из оставшихся дней, четвертый в любой из оставшихся дней и тогда пятый мальчик будет дежурить в последний день. В этом случае получается вариантов.

Итого:

Для начала посчитаем, сколько существует всего шестизначных чисел. В качестве первой цифры можно выбрать любую из цифр (без нуля), а на остальные места подходят цифр. Значит, получается чисел.

Теперь посчитаем, сколько чисел не содержат ни цифры , ни цифры . В таких числах на каждом месте может стоять любая из восьми цифр. Всего мест , и выбираются цифры последовательно и независимо. Получается числа.

Осталось заметить, что все шестизначные числа делятся на две группы: те, в которых есть хотя бы одна из цифр и , и те, в которых этих цифр нет. Мы уже знаем, сколько всего шестизначных чисел, и сколько те, в которых нет и . Чтобы найти те, в которых есть одна из цифр и , нужно из общего количества шестизначных чисел отнять те, в которых нет ни , ни :

В каждом ряду должно быть по одной ладье. Будем расставлять их по очереди в каждый ряд. В верхний ряд ладью можно поставить только одним способом. Во втором сверху ряд всего три клетки, но одну из них бьет ладья сверху, поэтому для ладьи во втором ряду остается две клетки. В третьем сверху ряду всего пять клеток, но две из них бьют ладьи сверху, поэтому для ладьи в третьем ряду остаётся три клетки и т. д. В -ом ряду клетки, верхние ладьи бьют клетку, и значит, для ладьи в -ом ряду останутся вариантов. Итого, для всех десяти ладей будет вариантов.

Поставим в каждой из клеток , если ладья сходила на эту клетку, и в ином случае. Рассмотрим, какие могут быть наборы из нулей и единиц после передвижений ладьи. Понятно, что первая и последняя клетка точно должны быть помечены , потому что по условию изначально ладья стоит в первой клетке и заканчивает всегда на последней. Всего способов добраться до правой клетки столько же, сколько и способов расставить нули и единицы на позиций, причём набор единиц обязательно содержит первую и последнюю клетку. Тогда количество различных расстановок равно .

Нас интересуют только однозначные, двухзначные и трехзначные числа. Давайте сделаем их всех трехзначными, дописав в начале нули. На делимость на влияют только последние цифры, поэтому на первом месте может стоять любая цифра, кроме и . Наше число делится на , поэтому третья цифра должна быть четной. Пусть на втором месте , на третьем . Для у нас есть варианты . Если или , то может быть только . Если или , то может быть равно . Итого для пары и всего вариантов и тогда для всего числа вариантов, но среди этих вариантов есть случай . Он нам не подходит, так как число должно быть натуральным.

Рассмотрим два случая того, какую сладость могла выбрать Нюша.

Случай 1. Предположим, что Нюша взяла печеньку. Сделать это она могла тремя способами. После чего перед Крошем остаются 2 печеньки, из которых надо выбрать одну. Это можно сделать двумя способами. Получается, что если Нюша выбрала первую печеньку, то Крош может выбрать вторую или третью, если Нюша выбрала вторую печеньку, то Крош может выбрать первую или третью, и если Нюша выбрала третью печеньку, то Крош может выбрать первую или вторую печеньку. Таким образом, мы получаем способов выбрать Нюше и Крошу по одной печеньке.

Случай 2. Предположим, что Нюша взяла пряничек. Тогда в любом случае перед Крошем остаются три пряничка на выбор, значит, он сможет свой пряничек взять 3 способами. Итак, если Нюша берет себе первый пряничек, то у Ника 3 способа выбрать себе пряник, если Нюша берет себе второй пряничек, то снова 3 способа выбрать пряничек у Кроша, аналогично если Нюша берет себе третий пряничек, то у Кроша опять 3 способа выбрать пряничек, и наконец если Нюша берет себе четвертый пряничек, то у Кроша 3 способа выбрать себе пряничек. При этом это все разные случаи того, какой пряничек выбирала Нюша, и в зависимости от ее выбора мы посчитали, сколько способов выбрать пряничек есть у Кроша. Поэтому теперь осталось все способы сложить, так как все это были разные случаи выбора пряничка Нюшей. Получаем способов выбрать по одному пряничку Нюше и Крошу.

Эти количества способов, 6 и 12, представляют собой разные случаи того, какие же именно сладости берут друзья — печеньки или прянички. А так как они могут выбрать любой тип сладости, то чтобы получить все способы выбрать две сладости, эти количества способов, 6 и 12, надо сложить: , это и есть суммарное количество способов выбрать по одной сладости Нюше и Крошу одинакового вида.

Длина отрезка равна разнице между числами. Поэтому чтобы длина отрезка была нечетной, числа в концах отрезка должны быть разной четности. Четных чисел от до  — штук, а нечетных — . Значит, количество способов выбрать четное число равно , а нечетное — . Эти способы перемножаются, так как производится последовательный выбор, а также количество способов выбрать нечетное число не зависит от выбора четное числа. Поэтому пар четное-нечетное всего , и столько же отрезков нечетной длины.

Всего нечетных цифр : , , , и . На первом месте может стоять любая из пяти цифр, и на втором месте независимо от того, какую цифру мы поставили на первое место, может стоять пять цифр. По правилу умножения мы получаем способов составить двузначное число из нечетных цифр. Значит, именно столько чисел выпишет на доску Совунья.

Сначала способами выбираем курсанта, который будет выписывать штрафы. После этого независимо от того, кого мы выбрали, остаются курсантов, из которых надо выбрать того, кто будет патрулировать северный район. Это можно сделать способами. Полученные способы перемножаются, так как количество способов выбрать второго курсанта не зависит от того, кого мы выбрали первым.

Правило умножения в данном случае не работает: в зависимости от того, куда мы поставим белого короля, он “запрещает” разное число клеток, куда нельзя поставить черного короля. Поэтому разберем три возможных варианта расположения короля, в которых он бьет разное число клеток.

Случай 1. Белый король стоит в углу. Выбрать угол для белого короля можно способами. После этого черного короля нельзя ставить на клетки: ту, в которой уже стоит белый король, и еще соседние. Поэтому черного короля в этом случае можно поставить способами. И сейчас правило умножения уже работает: вне зависимости от того, в какой угол мы поставим белого короля, он запретит клетки, и черного короля можно будет поставить способами. Значит, в этом случае поставить белого и черного королей можно способами.

Случай 2. Белый король стоит с краю, но не в углу. Место белого короля можно выбрать способами: подходят по 6 клеток возле каждой стороны шахматной доски. В этом случае белый король бьет клеток, да еще занимают ту, на которой стоит. Значит, черному королю запрещены клеток, и поставить черного короля мы можем способами. Также, как и в предыдущем случае, работает правило умножения, поэтому способов поставить белого короля и черного короля, не бьющих друг друга, в данном случае .

Случай 3. Белый король стоит не у края. Место белого короля можно выбрать способами: подходит любая клетка центрального квадрата . В этом случае белый король бьет клеток, и также занимает ту, на которой стоит. Поэтому для черного короля осталось возможных клеток. Как и в двух предыдущих случаях, так как королей мы ставим последовательно, и в данном случае независимо от того, в какую из центральных клеток мы поставили короля, черного можно поставить способами, работает правило умножения, то есть способы можно перемножить: способами можно поставить белого и черного королей в этом случае.

Итак, мы разобрали все три случая того, сколько клеток может бить белый король, и в каждом посчитали количество способов поставить белого и черного королей. Полученные числа надо сложить, так как это разбор разных случаев, и чтобы получить все случаи сразу, мы складываем способы из разных случаев. Значит, итоговый ответ равен .

Перед Нюшей лежит 10 различных пряничков, 7 различных печенек и 20 разных пончиков, то есть всего различных предметов. Она может выбрать любой один из этих 37 предметов. Значит, у нее 37 способов выбрать себе вкусняшку.

Какую бы сладость Нюша ни выбрала, она тем самым “запрещает” привередливому Крошу один из видов вкусняшек. У Кроша остаются еще два вида, и сладостей каждого из этих двух видов осталось по 15 штук, так как их еще никто не ел. Значит, Крош выбирает одну сладость из , поэтому у него 30 способов сделать выбор.

Представим себе раскраску шара в виде таблицы . Каждую из 4 строк этой таблицы мы раскрасим в один из 4 цветов шариков: красный, синий, зеленый и желтый. Каждую из 3 строк этой таблицы мы посыплем одним из трех видов блесток: в форме снежинок, в форме сердечек и в форме кружочков. Заметим, что тогда каждая клетка этой таблицы покрашена в один из 4 цветов и посыпана одним из 3 видов блесток. При этом каждая комбинация цвет-вид блесток в этой таблице встречается, и ровно один раз: на пересечении соответствующих строки и столбца. Значит, клеток в таблице столько же, сколько возможных вариантов раскрасок. А клеток . Значит, возможных раскрасок шаров столько же, то есть 12.

Пронумеруем дни и по очереди выберем патрулирующего территорию. В первый день можно выбрать любого из пятерых. Во второй день уже любого из четверых, так как нельзя выбирать того, кто был выбран в первый день. В третий день остается выбор из трех, в четвертый — из двух смешариков, и наконец в последний день остается единственный смешарик, еще не дежуривший. Полученные способы необходимо перемножить, так как выбор последовательный, и количество вариантов выбрать очередного дежурного не зависит от того, кого мы выбрали ранее. Получается .

Комментарий. Число (читается эн факториал) обозначает произведение чисел от до .

По условию сказано, что в графике дежурств Крош должен идти после Ёжика. Давайте склеим их в одного супер-смешарика, и будем расставлять уже не пятерых смешариков на мест, а четырех смешариков на места. Это можно сделать способами, так как на первое можно выбрать любого из четырех (включая ЁжикаКроша), на второе место — любого из трех (исключая того, кто был выбран в первый день), на третье — любого из двух, и на четвертое только оставшегося Мстителя. Выбор последовательный и независимый, значит, работает правило умножения.

Итак, мы получили, что упорядоченных четверок смешариков, один из которых ЁжикоКрош, штуки. Чтобы из каждой такой четверки получить упорядоченную пятерку, в которой Крош идет после Ёжика, нам достаточно их расклеить и поставить друг за другом. Это можно сделать единственным способом для каждой четверки. Значит, из каждой подходящей четверки мы получаем ровно одну пятерку, в которой Крош идет после Ёжика. Таким образом, графиков, в которых каждый дежурит по разу и Крош дежурит на следующий день после Ёжика, штуки.