Тема Количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Правила сложения и умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36173

Сколько существует 5-значных чисел, в которых есть хотя бы одна цифра 5?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, как же удобнее всего учитывать условие на 5? Удобно ли считать конкретно те способы, которые нам нужны, или можно поступить хитрее с помощью тех чисел, которые мы умеем искать?

Подсказка 2

Мы умеем искать количество всех пятизначных чисел, а еще умеем учитывать те числа, в которых нет пятёрки) Для этого просто исключим её из "возможных вариантов" для каждой позиции пятизначного числа! Осталось лишь понять, что же делать с полученными количествами)

Показать ответ и решение

В данном случае проще сначала посчитать количество пятизначных чисел, в записи которых нет цифры $5$ , а затем вычесть их из $90000$ , то есть количества пятизначных чисел.

Итак, считаем пятизначные числа, в которых нет $5$ . На первом месте может стоять любая из $8$ цифр (кроме $0$ и $5$ ), на втором, третьем, четвёртом и пятом местах — любая из $9$ цифр (кроме $5$ ). Так как цифры выбираются последовательно и выбор очередной цифры не зависит от выбора предыдущих, то эти способы перемножаются. Значит, всего есть $8⋅9⋅9⋅9⋅9= 52488$ пятизначных чисел без $5$ в записи. Тогда пятизначных чисел с цифрой $5$ в записи всего $90000 − 52488 =37512.$

Замечание. Если бы мы считали сразу количество чисел с цифрой $5$ , то у нас возникло бы две проблемы. Во-первых, пятерка может стоять на любом из $5$ мест, и все эти способы надо учесть. Во-вторых, пятерок может быть несколько, и такие числа, как, например, $53552$ мы можем посчитать несколько раз. Поэтому-то, чтобы решить эти две проблемы одним махом, мы считаем числа, в записи которых нет $5$ .

Ответ:

$9⋅104− 8⋅94 =37512$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82691

В азбуке Морзе любой символ (буква или цифра) зашифрован последовательностью точек и тире.

(a) Сколько различных символов можно зашифровать, если использовать последовательность, содержащую ровно пять символов?

(b) А если использовать последовательность, содержащую не более пяти символов?

Показать ответ и решение

$(a)$ Каждый из 5 элементов последовательности точек и тире можно выбрать двумя способами, поэтому количество символов, которые можно закодировать, равно $5 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 =2 = 32.$

$(b)$ Символ может кодироваться последовательностью из одного, двух, трех, четырех или пяти элементов. В каждом случае ответ считается аналогично предыдущему пункту и равны соответственно $2 3 4 5 2,2 ,2 ,2,2 .$ Осталось сложить все эти числа: $2 3 4 5 2+ 2 + 2 +2 + 2 = 2+4 +8+ 16+ 32 =62.$

Ответ:

$(a) 32;$

$(b) 62.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82692

Будем называть номером последовательность из 6 цифр.

(a) Сколько всего существует различных номеров? А номеров, все цифры которых чётны?

(b) Сколько номеров, в которых любые две соседние цифры различны?

(d) Сколько номеров, все цифры которых имеют одинаковую четность?

(e) Сколько номеров, у которых есть хоть одна нечетная цифра?

(f) Сколько номеров, содержащих цифру 7 и не содержащих цифры 0?

Показать ответ и решение

(a) На каждую позицию номера можно выбрать одну из $10$ цифр, поэтому всего номеров $106.$ Так как четных цифр всего $5$ , то, выбирая на каждую позицию одну из пяти четных цифр, получаем, что номеров с четными цифрами всего $6 5 .$

(b) Пусть первая цифра выбирается произвольным образом - для нее есть $10$ вариантов. Тогда следующая цифра может быть выбрана девятью способами, так как нельзя использовать ту цифру, которая была выбрана первой. Аналогичными рассуждениями приходим к тому, что на каждой из позиций цифра может быть выбрана произвольным образом из некоторых девяти цифр. Тогда число номеров, в которых соседние цифры различны, равно $5 10×9 .$

(c) Первую цифру можно выбрать $10−$ ю способами. Вторую цифру - $9−$ ю, так как нельзя использовать цифру, стоящую на первом месте. Третья цифра может быть выбрана $8−$ ю способами, так как теперь не могут быть использованы цифры с первого и второго мест. Рассуждая аналогично, получаем, что для оставшихся мест имеется $7,$ $6$ и $5$ способов соответственно. Получаем, что искомое число равно $10× 9×8 ×7× 6× 5.$

(d) Выберем первую цифру произвольным образом (есть $10$ способов.) После того, как первая цифра была выбрана, была выбрана и четность оставшихся пяти цифр, и для каждой из них остается ровно $5$ вариантов выбора. Тогда количество номеров с четными или нечетными цифрами равно $10× 55.$

(e) Если из общего числа номеров вычесть число номеров, в которых все цифры четны, получим число номеров, в которых есть хотя бы одна нечетная цифра. Тогда число номеров с нечетной цифрой равно $106 − 56.$

f Вычтем из числа номеров, не содержащих $0$ , число номеров, не содержащих цифр $7$ и $0.$ Ясно, что это и будет искомым числом, так как тогда останутся номера, не содержащие $0,$ но в которых есть $7.$ Номеров без нулей всего $96,$ так как каждую цифру можно выбрать девятью способами. Число цифр, в которых нет еще и цифры $7$ равно $86,$ так как каждая из цифр может быть выбрана восьмью способами. Таким образом, искомое число номеров равно $96 − 86.$

Ответ:

$(a)$ $106,$ $56;$

$(b)$ $5 10⋅9;$

$(c)$ $151200;$

$(d)$ $5 10⋅5 ;$

$(e)$ $6 6 10 − 5;$

$(f)$ $6 6 9 − 8 .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82693

Сколько десятизначных чисел, в которых все цифры различны, и при этом цифры 4 и 5 стоят рядом?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82694

Сколько существует пятизначных чисел, сумма цифр которых делится на 5?

Показать ответ и решение

Будем последовательно выбирать цифры от первого места к последнему.

На первом месте могла оказаться любая цифра, кроме $0.$ На втором, третьем и четвертом местах могла оказаться любая цифра. Осталось выбрать цифру на последнее место. Для этого рассмотрим, какие могли быть остатки у суммы первых четырех выбранных цифр. Обозначим этот остаток через $s,$ а последнюю цифру через $r.$

Если $s =0,$ то $r =0$ или $r= 5$
Если $s =1,$ то $r =4$ или $r= 9$
Если $s =2,$ то $r =3$ или $r= 8$
Если $s =3,$ то $r =2$ или $r= 7$
Если $s =4,$ то $r =1$ или $r= 6$

Заметим, что для каждого $s$ можно выбрать последнюю цифру двумя способами. Это значит, что последнюю цифру нашего числа можно выбрать двумя способами. Тогда количество чисел, сумма цифр которых делится на 5, равно

9× 10× 10 ×10× 2= 18000

Ответ: 18000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#82700

Человек-Паук и Человек-Муравей поспорили о том, кто из них раньше получит новый костюм. За костюмом выстроились $10$ мстителей, включая этих двоих. Известно, что в споре победил Человек-Паук. Сколько всего существует очередей, в которых побеждает Человек-Паук?

Показать ответ и решение

Рассмотрим любую очередь, в которой побеждает человек-паук. Тогда, поменяв местами человека-паука и человека-муравья, получим очередь, в которой победителем выходит человек-муравей. Получается, что все возможные очереди разбиваются на пары, в одной из которых побеждает человек паук, а в другой - человек-муравей. Значит, ровно половина всех очередей - те, в которых побеждает человек паук.

Всего возможных очередей имеется

10⋅9⋅...⋅2⋅1= 10!

Тогда победных очередей для человека-паука ровно $10!. 2$

Ответ:

$10! 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91045

Сколько существует 6-значных чисел, в которых любые две соседние цифры различны?

Показать ответ и решение

Первой цифрой числа может быть любая из $1,2,...,9,$ потому что число не может начинаться с $0.$ Вторую цифру можно выбрать $9$ способами, так как всего цифр $10$ , при этом вторая цифра должна отличаться от соседней первой. Аналогично третью цифру можно выбрать $9$ способами, потом четвертую $9$ способами и так далее. Получаем ответ:

6 9⋅9⋅9⋅9⋅9⋅9= 9

Ответ:

$96$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91046

Сколько существует 6-значных чисел, в которых есть цифра “5”?

Показать ответ и решение

Посчитаем количество всех шестизначных чисел: первую цифру можно выбрать любым из $9$ способов (любая кроме $0$ ), а последующие любым из $10.$ Всего шестизначных чисел:

5 9⋅10

Посчитаем количество шестизначных чисел, не содержащих “5”: первую цифру можно выбрать любым из $8$ способов (любая кроме $0,5$ ), а последующие любым из $9.$ Всего шестизначных чисел, не содержащих “5”:

8⋅95

Тогда чисел, содержащих в своей записи “5” будет:

9⋅105− 8 ⋅95 = 427608

Ответ:

$427608$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91047

В школе проводится чемпионат по игре в шахматы. В турнире участвуют 20 человек, по правилам каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одному разу. Сколько партий будет сыграно на этом турнире?

Показать ответ и решение

Число партий будет равно количеству способов выбрать неупорядоченную пару человек. Всего человек 20, поэтому количество способов выбрать пару с учётом порядка будет равна $20⋅19 =380.$ Чтобы убрать повторяющиеся пары, поделим это число на 2, в итоге получим $380∕2 =190$ способов.

Ответ:

190

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91053

В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из нее либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком случае Надя имеет большую свободу выбора: если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно посмотреть, сколько вариантов взять яблоко и апельсин у Нади в каждом случае. Тогда разберём их по отдельности. Пусть Ваня взял яблоко. Теперь у нас их 11 штук. Сколько тогда у Нади вариантов взять фрукты?

Подсказка 2

Верно! 11*10 = 110. Ведь для каждого из 11 способов выбрать яблоко у нас 10 способов выбрать апельсин. Теперь по аналогии выясните кол-во способов выбора у Нади в случае, когда Ваня взял апельсин.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая:

1) Если Ваня взял яблоко, то в корзине осталось 11 яблок и 10 апельсинов. Получается, у Нади есть 11 способов выбрать яблоко и 10 способов выбрать апельсин, при этом на каждый из 11 способов выбрать яблоко есть 10 способов выбрать апельсин, то есть всего $11⋅10= 110$ спобов выбрать фрукты.

2) Если Ваня взял апельсин, то в корзине осталось 12 яблок и 9 апельсинов. Аналогично предыдущему случаю, воспользуемся правилом умножения и получим, что у Нади есть $12⋅9= 108$ способов выбрать апельсин и яблоко.

Поскольку $110> 108$ , Надя имеет большую свободу выбора, если Ваня взял яблоко.

Ответ: яблоко

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91054

Сколько существует 5-значных натуральных чисел, делящихся на $2$ и не содержащих в десятичной записи ни одной из цифр $3$ , $4$ , $5$ , $7$ и $9$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что наше число делится на 2. Тогда что можно сказать про последнюю цифру числа?

Подсказка 2

Точно! Это либо 0, либо 2, либо 6, либо 8. То есть для последней цифры у нас 4 варианта. Теперь подумайте, сколько же вариантов для цифр на остальных разрядах числа? Учтите: число не может начинаться с нуля!

Показать ответ и решение

Так как число чётное, то его последняя цифра чётная, то есть она может быть равна 0, 2, 6, 8 (в списке нет 4, так как по условию десятичная запись числа не содержит 4). Получается, существует 4 способа выбрать последнюю цифру.

Первой цифрой числа могут быть все цифры, кроме 0 и тех, что не содержатся в записи числа по условию, то есть это 1, 2, 6, 8. Получается, есть 4 способа выбрать первую цифру. А способов выбрать каждую из оставшихся цифр на один больше, так как они могут равняться и нулю.

Воспользуемся правилом умножения, чтобы посчитать общее количество чисел, так как цифры мы выбираем независимо друг от друга. Итак, искомых чисел $4⋅5⋅5⋅5⋅4= 2000.$

Ответ: 2000

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91056

Сколько существует 6-значных чисел, в которых любые две цифры различны?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу разберёмся с первой цифрой. Всего 9 способов выбрать её (не берём 0). Сколько тогда вариантов для второй цифры с учётом того, что цифры различны?

Подсказка 2

Верно! Тоже 9. Так как 0 мы уже поставить можем, а цифру, которая была на 1ой позиции не можем. А как же тогда будет меняться кол-во способов выбрать цифру на 3, 4, 5 позиции?

Подсказка 3

Точно! С каждым разом оно будет уменьшаться на 1. Теперь осталось воспользоваться правилом умножения.

Показать ответ и решение

Первой цифрой такого числа могут быть все цифры, кроме 0, то есть существует 9 способов её выбрать.

Способов выбрать вторую цифру так же 9, так как ей могут быть все цифры, кроме той, что была первой.

Третья цифра должна быть не равна первой и второй, поэтому способов выбрать ее уже 8. Аналогично, способов выбрать четвёртую цифру 7, пятую — 6, шестую — 5.

Так как цифры мы выбираем последовательно друг за другом, и количество способов выбрать следующую цифру не зависит от того, что именно мы выбрали ранее, то воспользуемся правилом умножения для подсчёта всех нужных чисел. Итак, искомых чисел $9⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5= 136080.$

Ответ: 136080

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#91057

Сколько существует 6-значных чисел, в которых есть цифра 7, но нет цифры 9?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Просто найти числа, в которых нет 9, но есть 7, не очень удобно, так как придётся рассматривать случаи. Тогда можно попробовать посчитать обратную величину и её вычесть из общего количества случаев.

Подсказка 2

Но сразу подсчитать обратную величину тоже не получится. Попробуйте сначала рассмотреть числа без цифры 9, а уже потом найти кол-во чисел, в которых нет ни 7, ни 9. Так мы сможем из всего количества чисел без цифры 9 вычесть ненужные.

Показать ответ и решение

Для начала подсчитаем количество шестизначных чисел, в которых нет цифры 9. Способов выбрать первую цифру такого числа восемь(все цифры, кроме 0 и 9), а способов выбрать каждую из остальных цифр — девять(без 9). Получается, всего этих чисел $5 8⋅9 .$

Теперь аналогично посчитаем количество шестизначных чисел, в которых нет 7 и нет 9. Способов выбрать первую цифру такого числа семь, а способов выбрать каждую из остальных цифр — восемь. Получается, всего этих чисел $5 7⋅8.$

Чтобы найти количество чисел, в которых есть хотя бы одна 7 и нет 9, нужно из чисел, в которых нет 9, вычесть числа, в которых нет ни одной 7 и нет 9. Получается, искомых чисел $5 5 8⋅9 − 7⋅8 =243016.$

Ответ: 243016

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91167

У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого — 8, все книги различны. Сколькими способами они могут обменять две книги одного на две книги другого?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что значит, что два школьника обмениваются двумя книгами? Каждый из них выбирает из своих книг по две, которые он отдаст второму, и затем они меняются. Как теперь записать это в комбинаторном виде?

Подсказка 2

Мы знаем, как посчитать количество способов выбрать 2 книги из 6 для первого школьника и количество способов выбрать 2 книги из 8 для второго школьника. Теперь нужно понять, как скомбинировать эти два числа. Зависит ли как-то выбор второго школьника от выбора первого и наоборот?

Подсказка 3

Эти два выбора никак не зависят друг от друга, значит два полученных числа нужно перемножить!

Показать ответ и решение

Давайте сначала выберем $2$ книги на обмен от первого школьника. Первую книгу мы можем выбрать $6$ способами, затем, для каждого такого выбора мы можем выбрать вторую $5$ способами. По правилу умножения получаем $6⋅5= 30$ способов, но при таком подсчёте мы посчитали каждую пару дважды, итого $15$ . Аналогично, есть $8⋅7 2 = 28$ способов выбрать $2$ книги на обмен второму школьнику. Для каждой из $15$ пар книг первого школьника есть $28$ пар второго школьника, по правилу произведения получим $15⋅28= 420.$

Ответ: 420

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#94338

Петя хочет выписать в порядке возрастания $5$ различных двузначных чисел, делящихся на $3,$ в десятичной записи которых встречается каждая цифра от $0$ до $9$ (включительно). Сколькими способами он может осуществить свой план?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ясно, что каждая цифра встречается ровно 1 раз. Попробуем объединять цифры в числа. Какие цифры можно объединять с какими?

Подсказка 2

Верно! Вместе с цифрами 1, 4, 7 можно поставить любую из цифр 2, 5, 8, а цифры 0, 3, 6, 9 должны стоять вместе в одном числе. Сколько способов составить числа из цифр 1, 2, 4, 5, 7, 8?

Подсказка 3

Конечно, 48! А сколько существует способов составить числа из цифр 0, 3, 6, 9?

Подсказка 4

Верно! Всего 6 способов. Заметим, что порядок при любом составлении двузначных чисел однозначен. Каково тогда требуемое число способов?

Показать ответ и решение

Заметим, что каждая цифра должна встречаться ровно $1$ раз. Заметим, что каждая из цифр $1,4,7$ должна стоять в одном числе с одной из цифр $2,5,8$ (следует из признака делимости на $3),$ а оставшиеся цифры $0,3,6,9$ должны стоять в одном числе друг с другом. Способов разбить на пары цифры $1,4,7$ и $2,5,8$ ровно $3!= 6,$ и в каждой паре цифры можно поставить в любом порядке. Итого $3 3!⋅2 =48$ способов. Оставшиеся $4$ цифры разбиваются на пары $3$ способами. В одной из пар будет число $0,$ оно обязано стоять в разряде единиц, так как все числа двузначные. То есть нам надо выбрать порядок только у одной пары. Итого $3⋅2= 6$ способов. То есть всего способов составить $5$ двузначных чисел $6⋅48 =288.$ Причем эти числа выстраиваются по возрастанию однозначно, то есть на ответ это не повлияет.

Ответ:

$288$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#94340

Сколькими способами можно в некоторые клетки доски $n× n$ положить по одной фишке, так, чтобы количества фишек в столбцах были равны $1,2,3,...,n$ (в некотором порядке) и количества фишек в строках были равны $1,2,3,...,n?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие простые преобразования можно делать с доской, сохраняя количества фишек в строках и столбцах?

Подсказка 2

Верно, можно переставлять столбцы и строки. Тогда логично выбрать какой-нибудь "удобный" нам порядок и привести произвольную таблицу к нему. ("Удобный" для того чтобы подсчитать количество расстановок фишек)

Подсказка 3

Так, например, можно любую доску свести к такой, в которой в первом столбце и первой строке по одной фишке, во втором столбце и второй строке по две и т.д. Такая существует единственная. Значит, количество возможных досок соответствует количеству перестановок строк и столбцов. Чему оно равно?

Показать ответ и решение

Заметим, что в любой искомой доске мы можем переставлять столбцы и строки, и нужное свойство доски от этого не поменяется. Значит, мы можем любую доску свести перестановками строк и столбцов к “красивой” доске, где в первой строке будет только одна фишка на первой клетке, на второй строке ровно $2$ фишки на первых $2$ клетках и т.д. (такая доска тоже удовлетворяет условию). Тогда любая искомая доска получается из “красивой” перестановкой строк и столбцов, причем единственной. Столбцы мы можем переставлять $n!$ способами, строки — $n!.$ Значит, всего возможных досок $n!⋅n!.$

Ответ:

$(n!)2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#94341

Жук находится в левой нижней клетке квадрата $10× 10.$ За один ход он может перемещаться на одну клетку вверх, на одну клетку вниз или на одну клетку вправо. Запрещено посещать одну и ту же клетку дважды. Сколькими способами жук сможет добраться до правой верхней клетки квадрата?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Жук может перемещаться по строкам в любую сторону, а в столбцах только вправо. Можно ли тогда для некоторых столбцов или для некоторых строк зафиксировать какую-нибудь информацию, по которой путь можно восстановить однозначно?

Подсказка 2

Верно! Для каждого из первых 9 столбцов зафиксируем строку, в которую жук переходит. Тогда пусть восстанавливается однозначно. Чему равно количество путей?

Показать ответ и решение

Заметим, что путь однозначно восстанавливается, если мы для $9$ первых столбцов обозначим строку, в которой жук переходит из этого столбца в следующий. Тогда для каждого из $9$ столбцов мы можем выбрать любую из $10$ строк для перехода. И тогда мы получаем всего $9 10$ вариантов.

Ответ:

$109$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#98015

Сколько в $2024$ году дат, где год делится и на день, и на месяц?

Показать ответ и решение

Число $2024$ делится на следующие числа:

1,2,4,8,11,22,23,44,46,88,92,184,253,506,1012,2024

Месяц — это число от $1$ до $12.$ Из всех этих чисел на $2024$ делятся только: $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $11.$

День — это число от $1$ до $29,$ $30,$ или $31$ в зависимости от месяца. Из всех этих чисел на $2024$ делятся только: $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $11,$ $22,$ $23.$

Тогда для каждого месяца есть по $7$ дней, для которых год делится и на день, и на месяц. Итого получаем $35$ вариантов.

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#68240

Пароли в системе составляются из букв английского алфавита (26 букв) и цифр. При этом требуется, чтобы в пароле содержались цифра и заглавная буква. Пользователь допускается в систему, если предъявленный им пароль отличается от установленного не более чем в одном символе. Сколько паролей, соответствующих требованиям составления, позволят войти в систему, если для пользователя был установлен пароль Tw38dttf (не совпадающих с установленным паролем)?

Источники: Верченко-2023 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите, сколько способов есть заменить маленький символ в пароле? А цифру? А заглавную букву? И помните про условие, что обязательно должна быть заглавная буква и цифра)

Показать ответ и решение

Раскладываем пароль "по слоям": цифра + заглавная + строчная и смотрим, какие ограничения есть по замене в каждой позиции. Цифр две, поэтому одну из них можно заменить произвольно на любой знак из $26+ 26+ 10 − 1= 61$ . Если менять заглавную T, то только на заглавную: $26− 1= 25$ вариантов. Строчные можно на любые, это ещё $5⋅61= 305$ вариантов. Итого $2⋅61+ 25+5 ⋅61 =452$ вариантов.

Ответ: 452

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#69404

Андрей, Боря, Вася, Гриша, Денис и Женя после олимпиады собрались в кинотеатр. Они купили билеты на 6 мест подряд в одном ряду. Андрей и Боря хотят сидеть рядом, а Вася и Гриша не хотят. Сколькими способами они могут сесть на свои места с учётом их пожеланий?

Источники: Бельчонок-2023, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Реализовать условие, когда Андрей и Боря сидят рядом, несложно (посчитаем количество способов рассадки двоих, а затем рассадим остальным). Осталось лишь реализовать условие на то, что Вася и Гриша не сидят рядом... считать варианты, когда они действительно сидят не рядом, с учётом первого условия сложно. Как тогда сделать лучше?

Подсказка 2

Посчитать варианты, когда в обеих парах мальчики сидят рядом! Осталось лишь понять, как прийти к тому, что нас просят в задаче)

Показать ответ и решение

Число способов рассадки, когда Андрей и Боря сидят рядом, равно $2 ⋅5!= 240$ (достаточно объединить их в одного человека двумя способами). Способов рассадки, при которых и Андрей-Боря, и Вася-Гриша окажутся рядом, равно $2 ⋅2 ⋅4!= 96.$ Поэтому они могут сесть $240− 96 =144$ способами.

Ответ: 144

Предыдущий раздел

Следующий раздел