Первое решение.

Если мы возьмём три карточки с числами подряд по возрастанию, то среди них будут по одной карточке с остатками $0,1$ и $2$ при делении на $3.$ Значит, среди карточек $502,504,506,...,758$ по $43$ карточки с каждым остатком (разобьём на $43$ тройки подряд идущих) и ещё есть карточка с числом $760,$ которое дает остаток $1.$

Давайте подумаем, какие есть варианты для остатков трёх карточек, чтобы их сумма делилась на $3:$ либо все три числа должны давать разные остатки (способов выбрать так карточки $43 ⋅44⋅43,$ так как выбрать карточку с остатком $0$ — $43$ способа, способов выбрать карточку с остатком $1$ — $44$ и способов выбрать карточку с остатком $2$ — $43$ ), либо все три остатка $0$ (тогда способов $3 C 43),$ либо все три остатка 1 (тогда способов $3 C44),$ либо все три остатка $2$ (тогда способов $3 C43).$ Итого всего

43⋅44⋅43+C343+ C344+ C343 = 81356+ 12341+ 13244+ 12341= 119282

Второе решение.

Данные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию с разностью $2≡3 −1.$ Следовательно, остатки от деления на $3$ у этих чисел чередуются (идут по убыванию с шагом $1,$ то есть $0→ 2→ 1→ 0→ ...$ ).

Среди данных нам чисел есть $44,$ дающие остаток $1$ от деления на $3$ (они образуют множество $A ={502;508;514;...;760}$ ), $43$ числа, делящихся на $3$ (образуют $B = {504;510;516;...;756}$ ) и $43$ числа, дающих остаток $2$ от деления на $3$ ( $C ={506;512;518;...;758}$ ).

Сумма трёх чисел может делиться на $3$ в следующих случаях.

1.: Все три числа дают одинаковые остатки от деления на $3.$ Есть $C344$ способов выбрать $3$ числа из множества $A$ и по $C343$ способов выбрать $3$ числа из множеств $B$ и $C.$ В сумме получаем $44⋅436⋅42+ 2⋅ 43⋅462⋅41-=13244+2 ⋅12341= 37926$ способов.
2.: Если не все остатки одинаковы, то подходит только случай, когда все три остатка разные, т.е. мы должны выбрать по одному числу из каждого из множеств $A,B,C.$ Получаем $44 ⋅43⋅43= 81356$ способов. Если есть два равных остатка, то для кратности их суммы трём третий должен быть таким же.

В сумме выходит $119282$ способов.

Числа сочетаний (цэ изэн пока)