Числа сочетаний (цэ изэн пока)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На столе лежат 
различных карточек с числами 
(на каждой карточке написано ровно одно число, каждое
число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 
карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках
делилась на 
Подсказка 1
Так, нас просят выбрать три числа так, чтобы их сумма делилась на три. В таком случае, какие остатки должны быть у чисел при делении на 3?
Подсказка 2
Да, числа должны давать либо одинаковые остатки, либо наоборот различные(0, 1, 2). Можно ли посчитать, какие остатки при делении на 3 дают числа в условии задачи?
Подсказка 3
Да, можно, так 502 ≡ 1 (mod=3), 504 ≡ 0 (mod=3), 506 ≡ 2(mod=3), …, 760 ≡ 1(mod=3). То есть, по модулю 3: 44 числа сравнимы с единицей, 43 числа сравнимы с двойкой, 43 числа сравнимы с нулем. Как посчитать общее число способов?
Подсказка 4
Выбрать три числа с разными остатками, это просто 43*43*44. А если мы хотим выбрать три числа с одинаковым остатком, то нужно воспользоваться формулой числа сочетаний. И посчитать сумму всех этих способов!
Первое решение.
Если мы возьмём три карточки с числами подряд по возрастанию, то среди них будут по одной карточке с остатками 
и 
при
делении на 
Значит, среди карточек 
по 
карточки с каждым остатком (разобьём на 
тройки подряд идущих)
и ещё есть карточка с числом 
которое дает остаток 
Давайте подумаем, какие есть варианты для остатков трёх карточек, чтобы их сумма делилась на 
либо все три числа должны
давать разные остатки (способов выбрать так карточки 
так как выбрать карточку с остатком 
— 
способа,
способов выбрать карточку с остатком 
— 
и способов выбрать карточку с остатком 
— 
), либо все три остатка 
(тогда способов 
либо все три остатка 1 (тогда способов 
либо все три остатка 
(тогда способов 
Итого
всего
Второе решение.
Данные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию с разностью 
Следовательно,
остатки от деления на 
у этих чисел чередуются (идут по убыванию с шагом 
то есть 
).
Среди данных нам чисел есть 
дающие остаток 
от деления на 
(они образуют множество 
),
числа, делящихся на 
(образуют 
) и 
числа, дающих остаток 
от деления на 
(
).
Сумма трёх чисел может делиться на 
в следующих случаях.
- 1.
-
Все три числа дают одинаковые остатки от деления на
Есть 
способов выбрать 
числа из множества 
и по
способов выбрать 
числа из множеств 
и 
В сумме получаем 
способов.
- 2.
-
Если не все остатки одинаковы, то подходит только случай, когда все три остатка разные, т.е. мы должны выбрать по одному числу из каждого из множеств
Получаем 
способов. Если есть два равных остатка, то
для кратности их суммы трём третий должен быть таким же.
В сумме выходит 
способов.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
