Тема АЛГЕБРА

Системы уравнений и неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Замены переменных

Оценки в системах

Симметрия или цикличность в системе

Однородные и сводящиеся к ним

Сведение системы к квадратному

Системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79602

Про действительные числа $a,b,c$ известно, что

{ ac− 2= 9b2; 3bc− 2= a2

Найдите все значения, чему может быть равно $ab$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, система не кажется достаточно приятной, чтобы работать с ней в её начальном виде. Как же преобразовать? Свободные коэффициенты и соответствующие коэффициенты перед a и b равны! Значит, надо…

Подсказка 2

Надо вычесть из первого уравнения второе — полученное выражение будет раскладываться на скобки. Достаточно ли нам этого? Давайте проверим, может ли каждая из скобок быть равна 0. Лучше начать с подстановки самой неприятной скобки, ведь вдруг она не может быть равна 0 и с ней не надо разбираться. Чему тогда равно произведение ab, и что может его ограничивать?

Подсказка 3

Одна из скобок не равна 0, а значит, a = 3b, а тогда ab = 3b². Теперь понятно, как ограничено выражение ab. Как тогда понять, достигается ли каждое из предполагаемых нами значений, или же существуют некоторые выколотые точки или даже удалённые интервалы? Верно, предъявить значения параметров, при которых достигается любой элемент из предполагаемого множества значений!

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе:

c(a− 3b)= (3b− a)(3b+ a)

(a− 3b)(a +3b+ c)= 0

Если $a+ 3b+ c= 0$ , то $a= −3b− c$ и первое уравнение системы

27b2- (3b )2 4 + 2 +c = −2,

не имеет решений. Значит, $a= 3b$ и система сводится к одному уравнению

3bc= 9b2 +2,

которое имеет решение относительно $c$ при всех $b⁄= 0:$

2 c= 9b-+-2 3b

Таким образом, $ab= 3b2 > 0$ , при этом любое положительное значение $d> 0$ произведение $ab$ может принять: достаточно взять

∘ -- d 9b2+2- b = 3,a= 3b,c= 3b

Ответ:

$(0,+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80763

Решите систему уравнений

{ √x+-3− √4−-x−-z+5 =2∘y-+-x−-x2-+z; |y+ 1|+ 3|y − 12|=√169-− z2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое уравнение выглядит не очень приятным, так что попробуем разобраться со вторым уравнением. Тут у нас ограниченный корень и сумма модулей. Чем можно воспользоваться?

Подсказка 2

Правильно, оценкой. Аккуратно оценим обе части уравнения и подумаем при каких условиях достигается равенство.

Подсказка 3

Отлично, у нас получилась единственная пара (y,z), которую можно подставить в первое уравнение и найти x.

Подсказка 4

Чтобы не возводить в много раз в квадрат уравнение, сделаем замену корней на a и b. Тогда можно записать систему и найти x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

∘------2 √--- 169− z ≤ 169=13

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим $|y+ 1|+ |y − 12|,$ которое не меньше $13,$ так как $|a|+|b|≥ a+ b,$ где $a =y+ 1, b= 12− y.$ В итоге имеем

|y+ 1|+|y− 12|≥ 13

Прибавим к последнему неравенству $2|y− 12|,$ тогда получим

|y+1|+ 3|y− 12|≥ 13+ 2|y− 12|

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше $13.$ В итоге, получили, что левая часть не меньше $13,$ а правая часть не больше $13.$ Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы $y = 12, z = 0.$ Подставим полученные значения $y$ и $z$ в первое уравнения системы для нахождения $x.$

√x+-3− √4−-x−-0+ 5= 2∘12-+-x−-x2+0

---------- √x-+-3− √4-−-x+5 − 2∘ (x +3)(4− x)= 0

Сделаем замену

{ √ ---- a =√-x+-3, a≥ 0, b= 4 − x, b ≥0

Заметим, что $2 2 a + b =7.$ Запишем систему

{ a−2 b+25− 2ab= 0 a + b =7

(| b−-5- ||{ a= 1− 2b || ( )2 |( 1b−− 52b + b2 =74x4− 4x3− 26x2+18x+ 18

4 3 2 4b-− 4b-−-26b-+2-18b-+18= 0 (1 − 2b)

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

4b4− 4b3− 26b2+18b+ 18 =0 ⇐ ⇒ 2(b2+b− 3)(2b2− 4b− 3)=0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

√-- ⌊ b= −1±--13- || 2 |⌈ 2± √10 b= --2---

С учетом ограничений получаем следующие $b$

⌊ √-- b= −1+--13- ||| 2 ⌈ 2+-√10 b= 2

Тогда сделаем обратную замену

⌊ √-- √4-− x-=-13−-1 ||| 2 ⌈ √ ---- 2+√10- 4− x = 2

⌊ √-- √-- | x= 4− 7−2-13= 1+-213 ||⌈ √-- √-- x= 4− 7+-2-10= 1−-2-10 2 2

Ответ:

$(1+ √13 ) (1− 2√10 ) ---2--;12;0 , ---2---;12;0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#81371

Каким наибольшим может быть значение выражения $A +B$ , если $A$ и $B$ – числа, удовлетворяющие следующей системе неравенств

( 3A +5B ≤11 |{ |( 4A +3B ≤10 7A +4B ≤18

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.2 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала поймём, что нам неудобно работать с величинами A и B. Так как нам нужно максимизировать не их, а их сумму (это не всегда одно и то же, если мы максимизируем каждое по отдельности, у нас может получиться оценка, которая не достигается), то давайте обозначим за S = A + B сумму этих чисел и заменим везде в неравенствах, чтобы в них фигурировало только S и A (система с тремя переменная - это совсем грустно). Тогда чтобы решить задачу, нам остаётся дать оценку на A снизу через S, так как тогда два вторых получившихся неравенства дадут нам выбор из минимумов

Подсказка 2

Подставляя оценку A >= (5S - 11) / 2. в два оставшихся неравенства, у нас получается оценка на S сверху. Значит, остаётся выбрать то, что даёт минимальную. И всё?

Подсказка 3

Конечно, нет. Нам нужно привести пример. Однако здесь, чтобы привести пример, достаточно просто «развернуть» наши действия, посмотреть в какой точке достигается равенство и так найти, чему должно быть равно А.

Показать ответ и решение

Обозначим за $S =A +B$ , тогда систему можно переписать в виде:

( 5S − 2A ≤11 |{ |( 3S +A ≤10 4S +3A ≤18

Представим первое неравенство, как $A ≥ 5S−11, 2$ тогда получаем

(| 5S−-11-≤A { 11S2−11≤ 3S+ A≤ 10 |( 23S2−33≤ 4S+ 3A≤ 18 2

Откуда получаем оценку

( ) S ≤min 2⋅10-+11,18⋅2+-33- = 31 11 23 11

При этом равенство достигается в точке области

17 14 A= 11,B =11

(являющейся точкой пересечения прямых $3A +5B = 11,4A+ 3B =10$ ).

Ответ:

$31 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82780

Решите систему уравнений

{ (xy+ 3x− y − 3)|y− x− 9|=(x− 4)|xy+3x − y− 3|; √y-−-x+9-=y − 4.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо понять, какие есть возможности выполнения 1-го уравнения. Имеется одинаковая скобка справа и слева, на неё можно сократить (не забывая про модуль), когда она не равна нулю. Следовательно, можно отдельно рассмотреть случаи равенства и неравенства нулю этой скобки, также не забывая про ОДЗ.

Подсказка 2

Когда ни одна из скобок первого уравнения не равна нулю, учесть модули можно довольно просто — их наличие равносильно тому, что произведение всех скобок без модулей положительно (поскольку, если оставить все модули в одной стороне, а скобки без модулей перенести в другую, то дробь без модулей обязана быть положительной). Далее уже сложностей не остается — нужно лишь аккуратно поделить всё на случаи и довести их до конца, учитывая ОДЗ.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения следует, что $y ≥ 4$ , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что $(xy+ 3x − y− 3)= 0$ . Условие равносильно $(x− 1)(y +3)= 0$ . Решение $y = −3$ не подходит, а при $x= 1$ получаем:

({ ∘y+-8= y− 4 ⇐⇒ y ≥ 4, ⇐⇒ y = 8 (y2− 9y+8 =0.

Пусть теперь $(xy +3x− y− 3)⁄=0$ , но $(x− 4)= 0$ , и $(y − x − 9)= 0$ . Тогда $x= 4,y = 13$ , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных $x,y$ система равносильна системе:

( ( |||{ (x − 1)(y +3)(x − 4)> 0, |||{(x− 1)(y+ 3)(x− 4)>0, y− x− 9= ±(x − 4), ⇐⇒ y =13 или y = 2x+ 5, |||( √y−-x+-9= y− 4 |||(√y-−-x+-9= y− 4

При $y = 13$ решением будет $x= −59$ , при $y = 2x+ 5$ получим уравнение:

√----- ({ x≥ 0.5, x+ 14= 2x +1 ⇐ ⇒ ( 2 4x +3x− 13= 0

Откуда $−3+√217- x= 8$ , тогда $17+√217- y = 4$ . Последняя пара не удовлетворяет условию $(x − 1)(y +3)(x − 4)> 0$ .

Ответ:

$(1,8),(−59,13)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88246

Решите систему

{ 6x − 2⋅3y = 2; 6x ⋅3y =12.

Показать ответ и решение

Обозначим $6x = a, 3y = b$ . Тогда

{ a− 2⋅b=2 a⋅b= 12

Выразив $a= 2+2b$ и подставив во второе уравнение, получим

b(2 +b)= 12 ⇐ ⇒ (b− 2)(b+3)= 0

Причем $b= −3$ не подходит, так как $b= 3y > 0$ . Итого, $b= 2, a= 6$ . Делая обратную замену, получаем $6x = 6, 3y = 2 =⇒ x =1, y = log32$

Ответ:

$(1,log 3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92117

Найдите все тройки положительных чисел $x,y,z$ удовлетворяющие системе уравнений

{ (x2+ xy +y2)(y2+yz+ z2)(z2+ zx+ x2) =xyz (x4+ x2y2+ y4) (y4+ y2z2+ z4)(z4+ z2x2+x4)= x3y3z3

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнения в системе довольно схожие, правая часть второго делится на правую часть первого. А можно ли что-то такое отметить и для левых частей?

Подсказка 2

Попробуйте разделить второе уравнение на первое!

Подсказка 3

(x⁴ + x²y²+ y⁴) = (x² + xy + y²)(x²- xy + y²)

Подсказка 4

Теперь мы умеем представлять x²y²z² в виде произведения трёх скобок. Давайте подумаем, а на что похожи выражения в скобках? Как можно оценить каждую из них?

Подсказка 5

Вспомните, что a² + b² ≥ 2ab!

Показать ответ и решение

Поделим второе уравнение на первое (так как обе части первого уравнения положительны). Отношение первых скобок равно

x4+x2y2+ y4 (x4+ x2y2+y4)(x2− y2) x2-+xy+-y2-= (x2-+xy+-y2)(x−-y)(x+-y) =

6 6 = ---x-−-y----= x2− xy+y2 (x +y)(x3− y3)

Аналогичное равенство имеет место для второй и третьей скобок, тогда после деления получим:

( 2 2) (2 2) ( 2 2) 2 22 x − xy +y ⋅ y − yz+ z ⋅ z − zx +x = x yz

С учетом того, что $a2+ b2 ≥2ab, ∀a,b ∈ℝ$ и того, что все числа положительные (тогда мы можем перемножать неравенства), получим:

2 22 ( 2 2) ( 2 2) (2 2) x y z = x − xy+ y ⋅ y − yz+ z ⋅z − zx+ x ≥

≥ xy⋅yz⋅zx= x2y2z2

А значит, наше равенство выполняется только в случае $a2 +b2 = 2ab,$ то есть в случае равенства всех переменных. Тогда подставляя $y =x,z = x$ в первое уравнение, получим

( ) 3x23 = x3

1 x3 = 27-

x = 1= y = z 3

Ответ:

$(1,1,1) 3 3 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92166

Решить систему уравнений

{ xy+ 2x− 3y+2 =0 2x2y− 3xy2− 12x+18y = 16

Показать ответ и решение

({ xy +2x− 3y+ 2= 0 ( 2x2y− 3xy2 − 12x+ 18y =16

Преобразуем второе уравнение:

xy(2x− 3y)− 6(2x − 3y)= 16

(2x− 3y)(xy− 6)= 16

Заметим, что в первом уравнении тоже можно выделить похожие выражения:

(2x− 3y)+(xy+ 2)=0

Пусть $a= 2x − 3y,$ $b= xy,$ тогда изначальная система будет выглядеть:

( { a+b+ 2= 0 ( a(b− 6)=16

Выразим $b$ из первого уравнения:

a+ b+2 =0 =⇒ b =− a− 2

Подставим выражение для $b$ во второе уравнение:

a((−a − 2)− 6) =16

Упростим выражение:

a(−a− 8) =16

2 − a − 8a= 16

a2 +8a+ 16= 0

(a+ 4)2 = 0

Откуда получаем, что $a= −4$ . Используя выражение $b= −a− 2$ , находим $b=2.$

Тогда получаем, что

( {2x − 3y = −4 (xy =2

( {2x= 3y− 4 (2xy = 4

Подставляем первое уравнение во второе:

(3y− 4)y =4

Откуда получаем, что

⌊ y = 2 |⌈ y = − 23

Тогда решениями являются

( ( { x =1 |{ x =−3 ( и |( 2 y = 2 y = − 3

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Ответ:

$(1,2),(−3,− 2) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92167

Решить систему

{ x3+ y3 = 19 (xy+8)(x+y)= 2

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В системах уравнений, содержащих симметрические функции, часто удобнее решать относительно переменных $u= x+ y$ и $v = xy$ .

Выразим $3 3 x +y$ через $u и v$ :

3 3 2 2 2 2 x +y =(x+ y)(x − xy+y )= (x +y)((x+ y) − 3xy)= u(u − 3v)

Тогда изначальная система в $u и v$ будет выглядеть:

({ 2 u(u − 3v)=19 ( (v+ 8)u = 2

( { u(u2− 3v)=19 ( uv = 2− 8u

Подставим второе уравнение в первое:

u3− 3⋅(2− 8u)=19

u3+ 24u − 25= 0

(u − 1)(u2+ u+ 25)=0

Единственный корень $u =1$ . Тогда $v =− 6$ .

Остаётся решить систему $({ 1− x= y ( −6= xy$

Подставляя первое уравнение во второе, получаем $y2− y − 6 =0$ , откуда выходит два решения:

( ( { y = 3 { y = −2 ( x= −2 и( x= 3

Ответ:

$(−2,3),(3,−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92168

Решите систему

{ 2x2− x − 3y =0 2y2+y +3x= 0

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе:

2(x− y)(x+ y)− 4(x+ y)=0

2(x+ y)(x− y− 2)= 0

Случай 1: $x = −y$

Подставляем в $(2)$ : $2y2− 2y = 0$ . Тогда получаем два решения:

{ y =0 { y =1 x =0 и x =− 1

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Случай 2: $x = y+2$

Подставляем в $(2)$ :

2y2+ y+ 3(y+ 2)= 0

2y2+ 4y+ 6= 0

Так как $D < 0$ , то здесь нет решений.

Ответ:

$(0,0),(−1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92169

Решите систему уравнений

{ 6x+ 2y− 5= 4xy 7yx x4y y + x − 10= 3xy

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется однородным многочленом второй степени, если она имеет вид $f(x,y)= ax2+ bxy+ cy2.$ Для решения системы из однородных уравнений надо сложить уравнения с такими коэффициентами, чтобы получить в правой части 0.

( 6x 2y ||{ y + x − 5= 4xy (1) || 7x 4y ( y + x − 10= 3xy (2)

Сразу отметим, что $x,y ⁄=0$

Запишем уравнение $3⋅(1)− 4⋅(2)$ :

10x +10y − 25= 0 y x

Заменим $x y$ на $t$ $(t⁄=0),$ получим:

10t+ 10 − 25= 0 t

2 2t− 5t+2 =0

⌊ ⌈ t= 2 t= 1 2

Случай 1: $x = 2y$

Перепишем $(1):$ $12+ 1− 5= 8y2.$ Откуда получаем два решения:

{ { y =1 y =− 1 x =2 и x =− 2

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Случай 2: $2x =y$

Перепишем $(1):$ $3+ 4− 5= 8x2.$ Откуда получаем два решения:

( ( |{ x= 1 |{ x =− 1 | 2 и | 2 ( y = 1 ( y =− 1

Прямая подстановка в условие показывает, что и эти решения подходят.

Ответ:

$(2,1),(−2,−1),( 1,1) ,(− 1,−1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92170

Решить систему

{ x2y3 = 16 x3y2 = 2

Показать ответ и решение

Поделим первое уравнение на второе

y x = 8

y = 8x

Теперь перемножим уравнения исходной системы

55 x y =32

xy = 2

Воспользуемся, что $y = 8x$

8x2 =2

1 x2 = 4

⌊ | x= 12 |⌈ 1 x= − 2

Тогда

⌊ ( | |{ x= 12 || |( ||| y = 4 || (|{ x= − 1 |⌈ 2 |( y = −4

Проверив, получаем, что решение — $(1 ) 2;4 .$

Ответ:

$(1;4) 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92171

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x9− x8− 2y2 = 0 7 y3 2 3 x + x4 = y +yx

Показать ответ и решение

Заметим, что $x⁄= 0.$ Домножим второе уравнение на $2x4$

({ 2y2 = x9− x8 ( 2x11+ 2y3 =2x4y2+2yx7

Теперь подставим первое равенство во второе

2x11+y(x9− x8)= x4(x9− x8)+2yx7

2x4+ y(x2− x)= x4(x2− x)+ 2y

2 4 2 y(x − x− 2)= x (x − x− 2)

⌊ ⌈ y = x4 x2− x − 2 =0

Рассмотрим два случая:

1) Пусть $y = x4,$ тогда

x9− x8− 2x8 = 0

x= 3

Проверив, получаем, что $(3;81)$ — решение.

2) Пусть $x2 − x− 2= 0,$ тогда $x∈{−1;2}.$

При $x= −1$

−2y2 = 2

y2 =− 1

Значит, такого быть не может. При $x= 2$

29− 28− 2y2 = 0

y2 = 27

[ y =8√2 y =−8√2-

Проверив, получаем, что $(2,8√2),(2,− 8√2-)$ — решения.

Ответ:

$(3,81),(2,8√2-),(2,−8√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#63598

Решите систему уравнений

(| 6x +y2− z2 = 6 { x2− y − 4z = −4, |( 2 2 2 21x − 2y +3y =22z

Показать ответ и решение

Несмотря на то, что при виде условия хочется плакать, можно домножить первое уравнение на $2$ , второе на $3$ и сложить все три уравнения, чтобы избавиться от $y$ и выделить $x − z$

2 2 2 2 12x− 2z − 12+ 3x − 12z+ 12 +21x − 22z = 0

(x − z)(12+ 24x +24z)= 0 ⇐ ⇒ x = z или 1+ 2x+ 2z = 0

В первом случае получаем систему

(|{ 6x+ y2− x2 =6 { 2 2 x2− y− 4x = −4 =⇒ y =2 x −2 4x +4= (x− 2)≥2 0 √- |( x2 = −2y2+ 3y y = x − 6x+ 6= (x− 2) − 2x+2 =y ±2 y − 2

В зависимости от знака $x− 2$ оно принимает значения $∘------ ± (x− 2)2$ , откуда и получаем второе уравнение. Рассмотрим оба случая

$y2 = y− 2√y− 2 =⇒ y2 ≤y =⇒ y ∈ [0,1]$ . Но тогда левая часть неотрицательная, а правая — отрицательна, решений нет.
$y2 = y+ 2√y− 2 =⇒ y(√y − 1)(√y +1)= 2(√y-− 1)$ . Получаем решение $y = 1$ , далее сократим на скобку $√y-− 1$ , получим $y(√y+ 1)= 2$ . Заметим, что в левой части монотонная функция, поэтому решений не более одного. Нетрудно угадать, что подойдёт только $y = 1$ .

Итак, $y =(x− 2)2 =1$ , при этом $x − 2= −∘ (x−-2)2$ (нам подошёл второй случай), откуда $x− 2= −1,x= z = 1$ .

Вернёмся к случаю $2x +2z+ 1= 0,2z = −1 − 2x$ . Отсюда получаем

{ 24x+4y2− 4x2− 4x− 1= 24 { 4y2 = 4x2− 20x+ 25= (2x− 5)2 x2− y+4x+ 2= −4 ⇐⇒ y = x2+ 4x+ 6

Из первого уравнения $2y =± (2x− 5)$ , подставляем

$2x2+ 8x+12 =2x− 5 ⇐⇒ 2x2+6x+ 17= 0$ , в этом случае решений нет.
$2x2+ 8x+12 =− 2x +5 ⇐⇒ 2x2+ 10x +7= 0$ , здесь $x = −-5±√11 2$ . Отсюда сразу же находим $z = −1∕2− x =2 ∓ √11 2$ . Наконец, найдём $y =− x+ 5∕2= 5∓ √11 2$ .

Ответ:

$(1,1,1),(−5+√11,5− √11,2− √11),(−5−√11,5 + √11,2+ √11) 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#63741

Решите систему уравнений

{ x10+ x10+ ...+ x10=310 x133+ x233+ ...+ x9323=333 1 2 92

Источники: ОММО-2023, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу понимаем, что, скорее всего, эта система "нормально" не решается. У нас два уравнения с кучей неизвестных. Но одно из решений мы сразу угадываем — это один из x равен 3, а остальные 0. Давайте поделим обе части первого уравнения на 3¹⁰. Как тогда можно оценить каждое из слагаемых?

Подсказка 2

Ага, тогда понятно, что каждое из слагаемых не превосходит единицы, так как степень у них чётная. Значит, для любого 1≤k≤92 получаем, что |x_k/3|≤1. Не забываем про модуль, так как извлекаем корень из чётной степени. Но раз у нас число меньше 1 то, что можно сказать о нём при возведении в степень?

Подсказка 3

Верно, тогда это число в 33 степени меньше, чем в 10. Теперь, учитывая это, попробуйте записать неравенство для второго и первого уравнения, используя неравенство с модулем. Выходит, что возможен только случай равенства |x_k/3|³³ = |x_k/3|¹⁰ для данных k.

Показать ответ и решение

Заметим, что

( x1)10 (x2)10 ( x92)10 3 + 3 +...+ 3 = 1

Тогда для каждого $1≤k ≤92$ имеем $|xk| |3-|≤1,$ откуда

|x |33 |x |10 ||k3|| ≤ ||k3||

Окончательно получим

|( ) ( ) ( ) | 1= ||| x1 33+ x2 33+ ...+ x92-33|||≤ 3 3 3

≤ |||x1|||33+ |||x2|||33+ ...+|||x92|||33 ≤ 3 3 3

| | | | | | ≤ ||x1||10+ ||x2||10+ ...+||x92||10 = 3 3 3

= (x1)10+ (x2)10+ ...+ (x92)10 =1. 3 3 3

Значит, для каждого $k$ выполнено

||xk||33 ||xk||10 |3| = |3|

откуда

xk ∈ {−3,0,3}

Отсюда несложно получаем, что тогда один из $x k$ равен $3,$ а все остальные равны $0.$

Ответ: одна из переменных равна 3, все остальные равны 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#64443

Решите систему уравнений

{ xy+ 3y2− x +4y− 7= 0; 2xy+ y2− 2x− 2y+ 1= 0.

Показать ответ и решение

Разложим каждое уравнение в произведение скобок

{ (y− 1)(x+3y+ 7)= 0 { x+ 3y +7 =0 (y− 1)(2x +y− 1)= 0 =⇒ y =1 или 2x+y − 1 =0

Решение последней системы: $(2,−3).$

Ответ:

$(2;− 3),(c;1), где c ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#68022

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

(| x5 =y3+ 2z |||{ | y5 =z3+ 2x |||( z5 =x3+ 2y

Источники: Всесиб-2023, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на нашу систему, что можно сказать о ней? Верно, уравнения в ней циклические! Поэтому можно упорядочить наши переменные, не умаляя общности: x ≥ y ≥ z.

Подсказка 2

Вычтем из первого уравнения третье: x⁵-z⁵ = y³+2z-x³-2y. Заметим, что левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая не больше нуля! Какой вывод можно сделать из этого?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если тройка $(x,y,z)$ является решением, то решениями являются $(y,z,x),(z,x,y)$ . В силу этой цикличности системы мы можем не умаляя общности считать $x$ наибольшим.

Вычтем из первого уравнения второе и третье:

5 5 3 3 x − z = (y − x )+ 2(z− y)

5 5 3 3 x − y = (y − z )+ 2(z− x)

Если $z ≤ y,$ то $0≤x5 − z5 = (y3 − x3)+ 2(z− y)≤0+ 2⋅0= 0,$ поэтому должно достигаться равенство $0= x− z = y− x = z− y =0.$

Если $y ≤ z,$ то $0≤x5 − y5 = (y3 − z3)+2(z− x)≤0+ 2⋅0= 0,$ поэтому должно достигаться равенство $0= x− y = y− z =z − x =0.$

Таким образом, система может иметь решение только при $x= y = z.$ При подстановке в любое из уравнений системы получаем

5 3 x − x − 2x= 0

x =0 или x2 = 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что в любой тройке, являющейся решением, все переменные одного знака: они либо все неотрицательны, либо все неположительны. Это следует из того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна $0,$ то левая часть соответствующего уравнения равна $0,$ значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна $0,$ поэтому каждое из этих чисел равно $0.$

Внесём эту тройку в ответ. Тогда дальше можно считать, что все переменные не равны $0.$ При умножении решения системы на $− 1$ снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что $x,y,z >0,$ а потом внести в ответ тройку с противоположными знаками.

Сложим все три уравнения и перенесем правую часть в левую:

(x5− x3− 2x)+ (y5− y3− 2y)+ (z5 − z3− 2z)= 0.

Теперь рассмотрим функцию $5 3 4 2 2 2 f(x) =x − x − 2x =x(x − x − 2)= x(x +1)(x − 2).$ Нетрудно понять, что при $√ - 0 <x < 2$ значении функции отрицательно, а при $√ - x > 2$ положительно, а также при $√- x∈{0; 2}$ оно равно $0.$ Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше $√ - 2.$ Так как иначе $f(x)+f(y)+f(z)⁄=0,$ ведь в левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться $0,$ откуда следует, что при этом $√ - x =y =z = 2.$

Итак, остались два случая, $√ - x > 2≥ y,z$ и $√- x,y ≥ 2> z.$

Если $√- x> 2≥ y,z,$ тогда $x5− y3− 2z ≥ x5− x3− 2x >0$ — это не решение.

Если $√ - x,y ≥ 2> z,z5− x3− 2y <z5− z3− 2z < 0$ — это тоже не решение.

Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.

Ответ:

$(−√2,−√2,−√2-),(0,0,0),(√2,√2,√2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#68031

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что

5 3 x +y = y+ x = 23

Какое наибольшее значение может принимать произведение $xy?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем наше условие как системку, что два левых выражения равны 23. Понятно, что x, y не нули. Поэтому что можно сделать в системе, чтобы получить где-то xy?

Подсказка 2

Домножить одно из уравнений на x, а другое на y! И выйдет что-то вида xy+3 = 23x, xy+5 = 23y. А что стоит сделать теперь, чтобы вообще все было только через xy?

Подсказка 3

Перемножить два этих уравнения) Дальше делаем замену и решаем задачу окончательно!

Показать ответ и решение

При условии того, что обе переменные не равны нулю, имеем:

{ xy+ 5= 23y xy+ 3= 23x.

Значит:

(xy+ 5)(xy+ 3) =232xy

Пусть $t=xy :$

t2+ 8t+15 =529t

t2− 521t+15= 0

Тогда получим:

√ ------ t= 521±--271-381. 2

Докажем, что наибольший корень реализуется. Действительно, из обоих уравнений получаем $x,y,$ подставляя $xy.$ Они подходят, так как наши преобразования были равносильны с учетом того, что $x⁄= 0,y ⁄=0.$

Ответ:

$521+√271381 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#77203

Решите систему уравнений

{ x2 − 4x− 12y− 18= 0; y2 +x+ 6y+ 6,75= 0.

Показать ответ и решение

Домножим второе уравнение на $4$ и сложим с первым, тогда получим:

2 2 x − 4x− 12y− 18 +4(y +x+ 6y+ 6,75)=0

2 2 2 2 x +4y + 12y+ 9= 0⇒ x + (2y +3) = 0

Тогда из последнего уравнения следует, что $x= 0,y = − 3. 2$ Проверяем полученный ответ:

{ 02− 4⋅0− 12⋅(− 32)− 18= 0;− верно (− 3)2+ 0+ 6⋅(− 3)+6,75 =0.− верно 2 2

Ответ:

$x =0,y = − 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#97664

Различные положительные числа $a,b,c$ таковы, что

(| a2+ bc =115; { b2+ ac =127; |( 2 c + ab =115.

Найдите $a +b+ c.$

Если ответов несколько, введите их через пробел.

Показать ответ и решение

Вычтем последнее уравнение системы из первого:

2 2 a + bc− c − ab= 115− 115

(a− c)(a+ c)− b(a− c)= 0

(a − c)(a − b+ c)=0

По условию все числа различны, значит скобка $(a − c)$ не равна нулю. Отсюда $(a− b+ c)= 0,$ то есть $b=a +c.$ Получается, наша система равносильна следующей:

{ a2+ c(a+ c)= 115 (a+c)2+ ac =127

{ a2+ c2+ ac= 115 a2+ c2+ 3ac= 127

{ 2ac= 122 (a+ c) + ac=127

{ ac= 62 (a+c) = 121

Так как числа $a$ и $c$ положительны, то $(a+ c)=11.$ Тогда $a+ b+ c=2 (a+ c)=22.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#99220

Решить систему уравнений:

( x2+ 25y+ 19z = −471 |{ 2 |( y2+23x+ 21z = −397 z +21x+ 21y = −545

Источники: Газпром - 2023, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с уравнениями по отдельности, поэтому попробуем их как-то связать. Что можно сказать о коэффциеинтах при каждой переменной?

Подсказка 2

Все коэффициенты нечётны, так что просто выделить полный квадрат вряд ли получится (и будет полезным). Но что можно сделать, чтобы всё-таки их собрать?

Подсказка 3

Сложите три уравнения! Тогда в выражении у нас будут и удвоенные произведения, и квадраты!

Показать ответ и решение

Прибавим к первому уравнению два других и выделим полные квадраты по каждой переменной: