Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40726

Найдите значение суммы

( 1)2 ( 1)2 ( 1 )2 2+ 2 + 4+ 4 +...+ 22025+ 22025

в замкнутом виде (без знаков многоточия).

Показать ответ и решение

Так как для любого натурального $k$ верно $(2k+ 1)2 =22k+ 2+ -1- 2k 22k$ , то, обозначив $n= 2025,$ получаем

( 1)2 ( 1 )2 ( 1 )2 21+ 21 + 22+ 22 + ...+ 2n+ 2n =

= 22+ 24 +...+22n+ 2n + 12-+...+ 12n-=2n +Sn, 2 2

где $Sn$ — сумма геометрической прогресии с первым членом $22 +212n$ и знаменателем $22,$ которая считается по формуле

S =(22 +-1-) ⋅ 22n-− 1. n 22n 4− 1

В итоге при $n= 2025$ получаем

42026+ 1 42025− 1 2⋅2025+ S2025 = 4050+--42025--⋅---3---.

Ответ:

$4050+ 42026+1-⋅ 42025− 1 42025 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47166

В строчку выписаны 2025 единиц; между каждыми двумя соседними единицами оставлено место для знака арифметического действия. На все свободные места всеми способами вписываются знаки $+$ , $−$ , $×$ и $:$ , и для каждого способа подсчитывается результат. Найдите сумму всех полученных результатов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что сначала нужно посчитать кол-во способов. Их 4^2020. Понятно, что считать каждый способ не представляется возможным. Значит, если бы могли как-то разбить их на группы, сумма в которых как-то явным образом связана с кол-вом чисел в этой группе, то было бы хорошо и удобно. Попробуйте как-то удачно разбить эти числа на группы.

Подсказка 2

«Разбить на группы», беее… Звучит даже как-то страшно. А вот «разбить на пары» уже интереснее. Вопрос только по какому критерию разбивать. Наверное, вы решали на информатике задачу из ЕГЭ, когда берут число, потом инвертируют в нем все разряды(то есть ноль меняют на единицу и наоборот), и складывают, а потом что-то просят найти. Так вот, эта задача решалась тем, что сумма начального числа и «инвертированного» равна 255(там было сказано, что число 8 значное). Попробуйте здесь также инвертировать знаки и посмотреть на сумму начального числа и инвертированного.

Подсказка 3

Не ТрУдНо ЗаМеТиТь, что сумма инвестированного и начального чисел равна 2, так как от замены деления на умножения ничего не происходит, а от замены минуса на плюса, просто все числа, что после первой единицы сократятся попарно. Поэтому сумма начального числа и инвестированного равна 2. Но и кол-во чисел в этой группе тоже 2. Ого! Значит сумма чисел равна…

Показать ответ и решение

Всего способов расставить знаки $42024$ .

Поделим их на пары, сопоставляя минусам плюсы, а делению — умножение. Последняя замена ничего не меняет, а первая делает из числа $x$ число $2− x$ (знак минус появится везде, кроме первого унарного плюса). Отсюда в каждой паре сумма равна двум. Например,

(1 +1− 1∗1∕1∗...1)+ (1 − 1+ 1∕1∗1∕...∕1)=2

Причём пары различны и числа внутри пары различны. Так что в итоге сумма всех полученных чисел равна количеству способов, то есть $42024$ .

Ответ:

$42024$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#107056

Ненулевые числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ таковы, что $abcd= 1,$ и

1 1 1 1 a+ a + b+ b + c+ c + d+ d = 0

Докажите, что одно из чисел $ab,$ $ac$ и $ad$ равно $− 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы хотим доказать, что одно из трёх выражений равно -1. Тогда, если добавить к ним по 1, нужно доказывать, что какое-то из них 0.

Подсказка 2

Чтобы доказать, что одно из чисел 0, нужно доказать, что их произведение 0. Полезно вспомнить про тождества из условия и как-то их применить. Глобальная идея в том, чтобы удачно заменить в нужных местах 1 на abcd.

Показать доказательство

Давайте рассмотрим выражение $(ab +1)(ac+ 1)(ad+1)$ и попробуем доказать, что оно равно $0.$

3 (ab+ 1)(ac+ 1)(ad+1)= (ab +abcd)(ac+ abcd)(ad+ abcd)= a bcd(cd+ 1)(bd+ 1)(bc+ 1)=

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = a(cd+1)(bd+ 1)(bc+1)= a bc d +a bcd + a bc d+ ab cd +a cd+a bd+ abc+ a =

=1 +ad+ ac+ab+ a2+ a2cd+ a2bd+ a2bc= 1+ a(a +b+ c+ d)+ a2cd+ a2bd +a2bc

Теперь поработаем с равенством из условия. Если там в числителях дробей вместо единиц написать $abcd,$ получится равенство $a+ b+ c+d =− (bcd+ acd+ abd +abc).$ Подставим это в выражение, полученное выше:

1+ a(a +b+ c+ d)+ a2cd +a2bd+a2bc= 1− a(bcd+ acd+abd+ abc)+ a2cd+ a2bd+ a2bc =

= 1− abcd− a2cd− a2bd− a2bc+ a2cd+ a2bd+ a2bc =0

Получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#107058

Пусть $a,$ $b,$ $c$ — ненулевые действительные числа такие, что

a2+-b2-− c2 a2−-b2-+c2 −a2+-b2+c2 2ab + 2ac + 2bc =1

Докажите, что одна из этих дробей равна $− 1,$ а две другие равны $1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Данные выражения очень похожи на теорему косинусов. Причём мы хотим доказать, что два косинуса по 1, а один -1. Что бы это могло значить?

Подсказка 2

На самом деле это означает вырожденный треугольник, то есть два числа в сумме равны третьему. Числа из условия могут быть какими угодно, но зато мы нашли какой-то хороший случай, из которого будет следовать задача.

Подсказка 3

Давайте тогда доказывать, что какие-то два числа в сумме равны третьему. Снова запишем тождество из условия, ясно, к какому виду его нужно привести.

Показать доказательство

Допустим, $a+b =c.$ Тогда как раз две дроби будут $1,$ а третья $− 1.$ Значит, давайте доказывать, что из условия следует, что два числа в сумме дают третье. Домножим выражение из условия на знаменатели:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (a + b − c )cab+ (a − b +c )cab +(−a + b +c )ca b= 2ab c

а мы хотим из этого получить выражение

abc(a+ b− c)(a − b+ c)(−a+ b+ c)= 0

поскольку нам пообещали ненулевые числа в условии. Выражение из условия можно сразу сократить на $abc,$ тогда

(a2+ b2− c2)c+ (a2 − b2+ c2)b+(−a2+ b2+c2)a= 2abc

Действительно, слагаемые вида $a3$ с минусом, $a2b$ с плюсом, а коэффициент при $abc$ как раз $− 2.$ Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#107194

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения

1 1 2- K = x +y + xy

не изменяется, если $x$ уменьшить на 1 , а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения

M =x3− y3− 3xy.

Источники: Физтех - 2025, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте честно уменьшим x на 1, а y увеличим на 1. Какое выражение получится? Запишем уравнение!

Подсказка 2

Имеет смысл попробовать перенести все в одну часть и попробовать разложить на множители, чтобы как-то связать x и y.

Подсказка 3

Отлично, x = y + 1. Как тогда выглядит выражение из условия?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что выполняется равенство

1 1 2 1 1 2 x + y + xy-= x−-1 + y+-1 + (x−-1)(y+-1)

Преобразуя, получаем:

( ) ( ) ( ) -1--− 1 + --1- − 1 + 2 -----1---- − 1- = 0 x− 1 x y +1 y (x− 1)(y+ 1) xy

---1-- − --1---+ 2⋅--y-− x-+1-- x(x− 1) y(y+ 1) xy(x − 1)(y+ 1)

y(y +1)− x(x− 1)+2(y− x+ 1) =0

(y+ x+ 2)(y− x +1)= 0

Так как $x$ и $y$ — положительные числа, первый множитель положителен, поэтому второй множитель равен нулю, т.е. $x =y +1$ . Значит,

x3− y3 − 3xy = (y +1)3− y3 − 3y(y +1)= 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119819

Про действительные числа $a,b,c,d$ известно, что

ab =cd= 2025, a+c =b+ d, a+ b⁄= c+ d

Чему может быть равно значение $a +b+ c+d?$

Источники: Турнир Ломоносова - 2025, 11.1(см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем сделать какое-то преобразование, чтобы объединить все данные из условия. С помощью чего мы можем связать сумму и произведение чисел?

Подсказка 2

Верно, с помощью возведения в квадрат! Кстати, что нам известно про числа a-b и d-c?

Подсказка 3

Да, они равны! А значит, равны и их квадраты! Попробуйте из этого равенства вывести равенство квадратов a+b и c+d.

Показать ответ и решение

Поскольку $a+ c=b+ d,$ то $a− b= d− c.$ Отсюда

2 2 (a − b) = (d− c)

2 2 2 2 a + b− 2ab= c+ d − 2cd

Так как $ab= cd,$ добавим к обеим частям равенства $4ab:$

a2+b2− 2ab+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4cd

a2+ b2+ 2ab= c2+ d2+ 2cd

(a +b)2 = (d+ c)2

|a +b|= |d+ c|

По условию $a+ b⁄= c+d,$ поэтому

a+ b= −c− d

Итак,

a+ b+ c+d =− c− d +c+ d= 0

Ответ:

Только $0$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#123689

Найти минимальное натуральное $k> 2025,$ при котором число

-----1---- -----1------ -----------1----------- 1 +√32 + 3√4 + √34-+ 3√6+ 3√9-+ ...+ 3√k2−-2k+1-+√3k2-− k-+ 3√k2

является рациональным.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Глобальная идея решения такая: нужно некоторым образом преобразовать каждое слагаемое так, чтобы большинство слагаемых взаимно уничтожились.

Подсказка 2

Если не понимаете, как преобразовать, то вот над чем стоит задуматься: в знаменателе присутствуют кубические корни. От них было бы хорошо избавиться, вероятно, возведением в куб.

Подсказка 3

Ещё каждый знаменатель является неполным квадратом. Было бы неплохо домножить и поделить каждую дробь на скобочку, которой не хватает до разности кубов в знаменателе.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение, перемножив каждую дробь на числовое выражение для получения разности кубов в знаменателях дробей:

1 1− 3√2 1 √32-− 3√3 1 3√k−-1− 3√k ---3√---√3-2 ⋅1−-3√2-+ 3√-2-3√-3√----3√-2 ⋅√32-−-3√3 + ...+ √3-2--√3----3√---3√-2 ⋅3√k−-1−-3√k-= 1+ 2 + 2 2 + 2 3+ 3 k− 1+ k− 1 k+ k

- - - ---- √ - 1-−√32 3√-2−√33 3√k-− 1-−-3k = 1− 2 + 2− 3 + ...+ (k − 1)− k =

√ - √- √- √---- √- =− (1− 3 2)− (32− 33)− ...− (3k− 1− 3k)=

√3- 3√- 3√- √3---- 3√- = −1 + 2− 2+ 3 − ...− k− 1+ k=

- = 3√k − 1

Это число будет рациональным, когда $k$ является полным кубом. Итак,

k= 133 = 2197> 2025.

Ответ:

$2197$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125092

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $a2b+ b2c+ c2a =2$ и $ab2+bc2+ ca2 = 4.$ Докажите, что из чисел $a,b,c$ какие-то два отличаются более чем на 2.

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 10.3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Обратите внимание на слагаемые из левой части равенств? Они вам не встречались ни в каких известных разложениях?

Подсказка 2:

Рассмотрите выражение (a − b)(b − c)(c − a). Кажется, вы можете вычислить его значение.

Подсказка 3:

Пусть, не умаляя общности, c — наибольшее. Кажется, вы сможете упорядочить все три числа. Давайте заметим, что задача свелась к доказательству того, что c − a > 2.

Подсказка 4:

Давайте для удобства обозначим c − a = z, x = b − a, y = c − b. Используя равенство xyz = 2, нужно показать, что z > 2. А есть ли ещё какая-то связь между x, y и z?

Подсказка 5:

Давайте заметим, что x + y = z. Значит, можно оценить xy сверху, используя неравенство о средних. Не забывайте, что нас интересует строгая оценка z > 2.

Показать доказательство

Вычтем из второго равенства первое и разложим левую часть на множители, получим:

(a − b)(b− c)(c− a)= 2. (∗)

Не умаляя общности (в условии имеется циклическая симметрия переменных $a,b,c$ ), будем считать, что $c$ —– наибольшее из данных чисел. Тогда $c− a≥ 0,$ но из (*) видим, что $c− a⁄= 0.$ Значит, $c− a> 0.$ Аналогично $b− c< 0.$ Тогда из (*) следует $a − b< 0.$ Получается $a <b <c.$

Обозначим $z = c− a,$ $x= b− a,$ $y =c − b,$ так что $x> 0,$ $y > 0,$ $z = x+ y;$ тогда (*) принимает вид $xyz = 2.$ Нам нужно доказать, что $z >2.$

Заметим, что $2 4xy ≤ (x +y),$ так как это неравенство преобразуется к виду $2 (x− y) ≥0$ (или следует из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом). Отсюда $2 4xy ≤ z$ и далее

z z z3 2= xyz =4xy⋅4 ≤ z2⋅ 4 = 4-.

Получаем $3 2 ≤ z4 ,$ откуда $z3 ≥ 8$ и поэтому $z ≥ 2.$

Остаётся показать, что $z =2$ невозможно. Если $x⁄= y,$ то $(x− y)2 > 0,$ и тогда в предыдущем рассуждении мы получим строгое неравенство $z > 2.$ Значит, $z = 2$ возможно лишь при $x= y = 1.$ Рассмотрим этот случай отдельно.

В этом случае $b=a +1 >1,$ и $c=a +2 >2.$ Тогда

a2b+ b2c+ c2a >b2c> 12 ⋅2 =2,

что противоречит первому равенству из условия задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126938

Дано натуральное число $k.$ Найдите какое-нибудь натуральное $n,$ для которого число $k+ n+ 1$ является точным квадратом, а $nk+ 1$ — точным кубом.

Показать доказательство

Положим $n= k2+ 3k +3.$ Тогда

2 2 2 k+ n+ 1= k+ k +3k+ 3+ 1= k +4k +4= (k+ 2)

2 3 3 3 nk+ 1= (k + 3k+ 3)k+ 1= k + 3k +3k+ 1= (k +1) .

То есть $n= k2+3k +3$ — подходит.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126963

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a + b= 2+ 16, b a c$ причём все дроби нескоратимы. Найдите $|a − b|.$

Источники: ИТМО - 2025, 10.2 ( см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Удобно ли нам работать с такой суммой? Что хочется сделать в самом начале, когда мы видим сумму дробей, с которой не очень ясно как взаимодействовать?

Подсказка 2

Ну конечно же привести всё к общему знаменателю! Но не бросайтесь в омут с головой: надо ли все дроби переносить в одну сторону или удобно оставить a и b отдельным от с?

Подсказка 3

На что нам намекает модуль? Вероятно, он появился из квадрата... Осталось лишь придумать, как сделать с обеих сторон точные квадраты в числителе и применить условие о несократимости исходных дробей!

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение:

a b 16 b + a − 2 = c

a2 +b2− 2ab 16 ----ab-----= c-

2 2 (a−-b)-= 4- ab c

По условию дробь $a b$ — несократима, то есть числа $a$ и $b$ не имеют общих делителей. Значит $|a− b|$ также не имеет с ними общих делителей. Несократимые дроби, с натуральными числителем и знаменателем, могут быть равны только в том случае, если равны их числители и их знаменатели. То есть:

(a − b)2 = 42

Отсюда, $|a− b|= 4.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#127168

Найдите значения числового выражения, выполнив соответствующие преобразования: $(2− 1)(2+ 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1)− 216.$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $(a− b)(a +b)= a2 − b2:$

2 4 8 16 2 2 4 8 16 (2− 1)(2+ 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 = (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 =

4 4 8 16 8 8 16 16 16 = (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)− 2 =(2 − 1)(2 +1)− 2 = 2 − 1 − 2 = −1

Ответ:

$− 1$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#127169

Известно, что $x⁄= y,x2− 2019x= y2− 2019y.$ Чему может быть равно $x+ y?$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 2 x − 2019x= y − 2019y

2 2 x − y = 2019x − 2019y

(x− y)(x+ y)=2019(x − y)

Так как $x⁄= y,$ $x− y ⁄= 0.$ Поделим уравнение на $x − y,$ получим $x+ y = 2019.$

Ответ:

$2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#127172

Простым или составным является число $200002− 39999?$

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

2 2 2 2 20000 − 39999= 20000 − 2⋅20000+ 1= (20000− 1) = 19000

Ответ:

Составным

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#127173

Решите уравнение

2 2 2 x y + 17 +x − 8xy+2x =0.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты

2 2 2 xy + 17+x − 8xy+ 2x= 0

2 2 2 2 (xy) − 2⋅xy⋅4+ 4 +x +2⋅x⋅1+ 1 = 0

(xy − 4)2+(x+ 1)2 =0

Так как квадраты неотрицательны, то выражение равно 0, тогда и только, когда каждое из слагаемых равно 0, то есть

{ (xy− 4)2 = 0 (x+ 1)2 = 0

{ x = −1 y =− 4

Ответ:

$(−1;−4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#127174

Два различных числа таковы, что квадрат разности их кубов равен кубу разности их квадратов. Докажите, что одно из чисел равно $0.$

Показать доказательство

Пусть даны различные числа $a$ и $b$ :

3 3 2 2 23 (a − b ) = (a − b)

2 2 2 3 ((a− b)(a +ab+ b )) − ((a− b)(a+b)) =0

(a− b)2((a2+ ab+ b2)2− (a− b)(a +b)3)= 0

Поделим уравнение на $(a− b)2 ⁄= 0$ :

(a2+ ab+b2)2 − (a− b)(a+b)3 = 0

a4+3a2b2+b4+ 2a3b+ 2ab3− (a2− b2)(a2+ 2ab+ b2)=0

3a2b2 +2b4+ 4ab3 = 0

2 2 2 b (3a + 4ab+ 2b)= 0

2 2 2 b(a +2(a+ b) )= 0

[ b2 = 0 a2+ 2(a +b)2 = 0

По условию $a$ и $b$ различны, так что $a2+ 2(a +b)2 ⁄= 0.$ Получаем $b= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#127178

Пусть $a$ и $b$ — целые числа. Докажите, что если $a2+ 9ab+b2$ делится на $11,$ то и $a2− b2$ делится на $11.$

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

2 2 2 2 2 a + 9ab+ b = a − 2ab+ b+ 11ab =(a− b) + 11ab

По условию

2 (a− b) + 11ab

кратно 11, кроме того и $11ab$ тоже кратно 11. Значит, $(a− b)2$ тоже обязано быть кратно 11. Так как 11 — это простое число, то это означает, что $a− b$ кратно 11.

Теперь распишем $a2− b2$ как разность квадратов и получим $(a− b)(a+ b)$ , а, так как ранее определили, что множитель $a− b$ кратен 11, то и все произведение тоже будет делиться на 11.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#127249

(a) Для любых $x$ , $y$ , $z$ справедливо

3 3 3 2 2 2 x + y +z − 3xyz =(x+ y+ z)(x +y + z − xy− xz− yz)=

1 2 2 2 = 2(x+ y+ z)((x− y) + (y − z) +(z− x)).

(b) Пусть $a$ , $b$ , $c$ — действительные числа. Докажите, что если

√3---- 3√---- √ ---- a− b+ b− c+ 3c− a =0,

то какие-то два из чисел $a$ , $b$ , $c$ равны.

Показать доказательство

(a) Заметим, что все три выражения симметричны относительно $x,y,z,$ так что нам достаточно посмотреть на коэффициенты при $3 2 x , x y, xyz$ (все выражения получаются степени ровно 3, поэтому меньших степеней не будет). При $3 x$ во втором выражении получаем коэффициент 1 (берём $x$ и $2 x$ ), в третьем выражении получаем во второй скобке $2 2x ,$ а всего $1 2 3 2 ⋅x⋅2x =x ,$ тоже коэффициент 1. Теперь коэффициент при $2 xy :$ во втором выражении есть 2 подходящих слагаемых $x ⋅(−xy)$ и $2 yx.$ В третьем выражении есть $2 y⋅(2x )$ и $x⋅(− 2xy),$ что действительно сокращается в 0. Остался коэффициент при $xyz.$ Во втором выражении три раза мы берем из первой скобки переменную, а из второй две другие с минусом. В третьем выражении во второй скобке появляются выражения вида $− 2xy,$ которых три штуки, при этом 2 сократится. Получается, при всех слагаемых правильные коэффициенты, что и требовалось.

(b) Заменим слагаемые в сумме на $x,y,$ и $z.$ Тогда получаем $x+y +z =0.$ Используя первое равенство из предыдущего пункта, получаем $0+ 3xyz = 0.$ Тогда $xyz = 0,$ то есть какие-то два числа из исходных равны, что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#127251

Существуют ли различные вещественные числа $a,b,c$ и $d,$ удовлетворяющие условиям $1− ab-= 1− bc-= 1-− cd? a+ b b+ c c+ d$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Попробуйте поработать с какими-то из этих равенств. Избавьтесь от знаменателей, проведите некоторые тождественные преобразования.

Подсказка 2:

Попробуйте привести равенство к такому виду, чтобы справа был 0, а слева — произведение скобочек. Это позволит понять, какие соотношения должны выполняться между переменными.

Показать ответ и решение

Сначала поработаем с первым равенством:

1−-ab- 1−-bc- 2 a+ b = b+ c =⇒ 0= (1− ab)(b+c)− (a +b)(1− bc)= (c− a)b

Поскольку $a⁄= c,$ получаем $b= 0,$ но из равенства второй и третьей дробей из условия аналогично следует $c=0,$ противоречие. Значит, таких $a,b,c,d$ не существует.

Ответ:

не существуют

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#127253

Попарно различные действительные числа $a,$ $b$ и $c$ удовлетворяют условию

2 2 2 a − b= b − c=c − a.

Чему может быть равно $(a+ b+1)(b+ c+ 1)(a+ c+1)?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте для удобства заменим a + b, b + c и a + c на x, y и z. Как теперь выглядят равенства из условия?

Подсказка 2:

Они имеют вид x(y - z) = x - y и аналогичные ему. Давайте заметим, что разность любых двух переменных есть как в левой части одного равенства, так и в правой какого-то другого. Что с этим можно сделать?

Подсказка 3:

Если их перемножить, то получится xyz = 1. Давайте запишем равенства из условия в виде x(z + 1) = y(x + 1) = z(y + 1). Заметим, что выражение, которое нужно найти, состоит из этих слагаемых.

Подсказка 4:

Давайте обозначим эти 3 равных выражения через A. Попробуйте найти какое-нибудь соотношение, связывающее A и какую-нибудь из переменных (опять же, используя эти 3 равенства).

Подсказка 5:

Имеет место следующее равенство (если не понимаете, как его получить, сначала разберитесь с этим):

Подсказка 6:

Обратите внимание на этот многочлен, у него вторая степень. А сколько у него корней?

Подсказка 7:

Очевидно, что числа x, y и z являются его корнями. Значит, он тождественно равен 0. Осталось, используя всю полученную информацию, вычислить значение выражения и привести пример значений a, b, c, при которых оно реализуется.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x= a+ b, y =b+ c,z = c+a.$ Тогда исходные равенства превращаются в выражения вида $x(y − z)= x− y.$ Перемножив такие равенства, получаем

xyz(y − z)(z − x)(x − y)= (y − z)(z − x)(x − y)

откуда $xyz = 1.$ Также из равенств следует

x(z+ 1)= y(x+ 1)= z(y+ 1)

Попытаемся найти значение и этих выражений. Пусть $x(z +1)= A.$ Тогда

z =---A---- AA(+zz++1)1 + 1

откуда получаем квадратное уравнение на $z :$

z2(A+ 1)+z(A+ 1)− A(A +1)= 0

Аналогично можно получить уравнение на $x,z$ с такими же коэффициентами. Если уравнение невырожденное, то у него не более двух корней, поэтому можно считать $x= y,$ но из этого следует $a =c,$ чего по условию не бывает. Значит, уравнение вырожденное и $A =− 1.$ Теперь вспомним про исходное выражение:

(a+b+ 1)(b+ c+1)(a+c+ 1)= (x +1)(y+ 1)(z+ 1)=

= xyz +1+ (xz +x)+ (yx +y)+ (zy+ z)=1 +1− 3= −1

Теперь осталось показать, что $− 1$ достигается, то есть существуют такие $a,b,c.$ Возьмём $a =0.$ Тогда $2 2 2 − b= c, b− c= c,$ то есть $4 2 c − c =c .$ Ясно, что у этого уравнения есть решение с $c >0,$ тогда числа $a,b,c$ будут различны, а равенства выполнятся.

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#127254

Числа $x$ и $y$ таковы, что $x3+ y3+3xy =1.$ Докажите, что или $x+ y = 1,$ или $x= y = −1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Само условие диктует алгоритм решения. Просят показать, что если многочлен x³ + y³ + 3xy - 1 = 0, то либо x + y - 1 = 0, либо x + 1 = y + 1 = 0. Значит, он должен делиться на скобку x + y - 1. Сделайте разложение на множители.

Подсказка 2:

Итак, вероятно, вы получили разложение (x + y - 1)(x² - xy + y² + x + y + 1) = 0. Значит, теперь нужно показать, что вторая скобочка зануляется тогда и только тогда, когда x + 1 = y + 1 = 0.

Подсказка 3:

Сходу неочевидно, почему это так. Значит, нужно преобразовать выражение во второй скобке. Чтобы это было проще, давайте обозначим x + 1 через a, y + 1 через b. Теперь нужно показать, что это выражение зануляется тогда и только тогда, когда a = b = 0.

Показать доказательство

Для начала попробуем разложить на множители выражение из условия на множители. Поскольку от нас хотят $x+ y = 1,$ то должно вынестись $x +y− 1:$

3 3 2 2 x +y + 3xy− 1= (x+ y− 1)(x − xy+y + x+ y+ 1)

Итак, если $x+ y ⁄= 1,$ то вторая скобка 0, сделаем замену $a= x+ 1, b=y +1.$ Тогда $a= 0$ и $b= 0$ при $x =− 1$ и $y = −1.$ Тогда вторая скобка превращается в

2 2 (a− 1) − (a − 1)(b− 1)+(b− 1) + (a − 1)+ (b− 1)+1 =

= a2 +b2− ab =0

Если $ab>0,$ вычтем $ab,$ получим $(a − b)2 < 0.$ Если $ab <0,$ добавим $3ab$ и получим $(a+ b)2 < 0.$ Значит, $ab= 0,$ тогда $a2+ b2 = 0$ и $a =b =0,$ что и требовалось.

Следующая подтема