Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Первое решение.

Пусть Для простоты перейдём к рассмотрению квадратного трёхчлена

Для него верно

При этом, все его коэффициенты являются целыми. Скажем, что

Заметим, что и различны и не совпадают с иначе мы бы получили противоречие с условием Так как для натуральных и выполнено то поэтому

Так как и получим, что

Так как получим, что

Так как и делятся на получаем, что — общий делитель и Обозначим

Для них верны делимости, аналогичные записанным в системе. Заметим, что из следует делимость на Обозначим Это наблюдение позволяет сократить числа на в следующем смысле: введём многочлен

Его коэффициенты целы, а также

При этом не могло оказаться чётным: в таком случае как соседнее с число, будет нечётным. Тогда либо и либо что в любом случае лает противоречие. Тогда рассмотрим в качестве степень двойки.

Пусть Тогда в силу написанного выше а Так как и соседствует с то тогда из следует, что по модулю равно либо 1, либо 2. Первый вариант не годится, так как иначе или Во втором случае или и с учетом подходит только Но такому набору соответствует единственный набор коэффициентов многочлена при котором выполнены равенства так как парабола задаётся тремя точками. С другой стороны, его старший коэффициент обязан делится на которое может быть сколь угодно большим, и он ненулевой, так как три полученные точки не лежат на одной прямой. Таким образом, достаточно большие степени двойки не будут сильно кубическими, а значит, не все числа, большие такие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть и Из теоремы Безу находим, что

Знаем, что

Отсюда

Поскольку числа и взаимно просты, число делится на иными словами, для Также знаем, что

Отсюда

Число делится на другими словами,

Поскольку числа и взаимно просты, число делится на иными словами, для Отсюда следовательно, делится на Напишем где Далее Подставим в (2) и получим Наконец, подставляя в (1), находим

Существует бесконечно много натуральных чисел не представимых в таком виде, например, при

Замечание. Можно показать, что любое число вида является сильно кубическим при условии, что числа и не равны 0.