Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Тема Тождественные преобразования

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#97655Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству

-x-- --y--- x+ y + 2(x − y) = 1.

Найдите все возможные значения выражения

5x+-y, x− 2y

в ответ запишите их сумму.

Показать ответ и решение

Приведём дроби к общему знаменателю:

2x(x−-y)+y-(x+-y) 2(x− y)(x +y) = 1

2x2 − 2xy+ xy+y2 =2x2− 2y2

3y2− xy =0

y(3y− x)= 0

Получается, либо $y = 0,$ либо $3y− x= 0.$ Рассмотрим оба случая:

1) $y = 0.$ Тогда

5x-+y-= 5x= 5 x− 2y x

2) $3y− x= 0.$ То есть $x= 3y,$ откуда

5x+-y= 15y+y-= 16y= 16 x− 2y 3y− 2y y

Итак, сумма всех возможных значий искомого выражения равна $5+ 16 =21.$

Ответ: 21

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#42114Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

1- 2- --3-- 3a + 3b = a+ 2b.

Докажите, что $a= b$ .

Источники: Муниципальный этап, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Умножьте все выражение на знаменатели, и приведите подобные слагаемые. Что в конце выйдет?

Подсказка 2

Должно выйти a² + b² - 2ab = 0, если еще сократить на какое-то число. А на какое выражение это похоже?)

Показать доказательство

Преобразуем данное равенство, умножив обе его части на $3ab(a+ 2b)$ . Получим: $b(a+ 2b)+ 2a(a +2b)= 9ab.$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых равенство примет вид: $2 2 2b + 2a − 4ab= 0.$ Следовательно, $2 2(a − b) =0$ , откуда $a =b$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#48745Максимум баллов за задание: 7

Что больше: число $3∘5√13-+18− 3∘5-√13−-18-$ или наибольший корень уравнения $x2+$ $2020x− 6069 =0$ ?

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем просто найти второе число! Например, по теореме Виета можно найти наибольший корень этого квадратного уравнения.

Подсказка 2

Давайте обозначим первый страшный корень за а, а второй за б. Тогда заметим, что мы можем найти аб и а³-б³! А нам как раз надо найти а-б, а мы можем попробовать найти (а-б)³!

Подсказка 3

Если обозначить а-б за х, то мы можем получить кубическое уравнение, которое у вас получится решить и сравнить два числа!

Показать ответ и решение

Наибольший корень уравнения $x2+ 2020x− 6069= 0$ равен $3$ ( $− 2023+3 =− 2020,−2023⋅3= −6069 =⇒$ по обратной теореме Виета числа $3$ и $− 2023$ являются корнями уравнения $2 x +2020x − 6069= 0).$

Обозначим $∘3-√------ 3∘ -√------ a = 5 13+ 18,b= 5 13− 18.$

Отметим, что $3 3 3∘--√--2----2 3√------- a − b = 18− (−18)=36,a⋅b= (5 13) − 18 = 325− 324 =1.$ Тогда имеем:

(a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 = (a3− b3)− 3ab(a− b)=36− 3(a − b)

Получается, что число $a− b$ является одним из корней уравнения

3 t = 36− 3t

которое равносильно

t3− 3t2+ 3t2− 9t+12t− 36 =0 ⇐ ⇒ (t− 3)(t2+ 3t+12)= 0

Так как $t2+3t+ 12= 0$ не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является $t= 3.$

В итоге $a− b=3.$

Ответ:

ничего, эти числа равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#64519Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

--x- 1−-x -1 f(x)= 1+ x + x −24

Найдите $(3) f 5.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как мы вычисляем значение функции при конкретном значении переменной и найдите ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подставим и упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю

3∕5 1− 3∕5 1 3 2 1 9+ 16 − 1 24 f(3∕5)= 1+3∕5 +--3∕5--− 24 = 8 + 3 − 24-=--24----= 24-= 1

Второе решение.

Преобразуем функцию

2 -x--+ 1− x-− 1-= x-+-(1-− x)(1+-x)− 1-= 1+x x 24 (1+x)x 24

x2+-1− x2 1- --1--- -1 = (1+ x)x − 24 = (1 +x)x − 24

Подставим $x =3∕5$ :

1 1 25 1 3∕5-⋅8∕5 − 24 = 24-− 24-= 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#83209Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество пар натуральных чисел $a$ и $b$ , не превосходящих 100 000, удовлетворяющих равенству

a3−-b b2−-a2 a3+ b = b2+ a2

Источники: КМО - 2020, первая задача второго дня для 8-9 классов, автор Белов Д.А. (cmo.adygmath.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение, домножив дроби на произведение знаменателей:

32 5 3 2 3 2 5 3 2 ab + a − b− a b= ab − a +b − ab

После приведения подобных и сокращения на 2 получаем

a5 = b3

Так как преобразования равносильны (знаменатели исходных дробей при натуральных числах ненулевые), то достаточно найти количество пар натуральных $a$ и $b$ , для которых $a5 = b3$ . При таком условии $b$ является пятой степенью, а число $a$ точным кубом.

Пятых степеней до 100000 всего 10 штук, и каждой будет соответствовать куб, не превосходящий 100000. Значит, подходящих пар всего 10 штук.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#58562Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения

( --3-- --2-- --1--) --y2--- 2x− y − 2x+ y − 2x− 5y :4x2− y2

при

x= 4,y = 7 3 3

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не теряемся и приводим к общему знаменателю, объединяем нужное, сокращаем ненужное, а затем в уже красивое выражение подставляем значения!

Показать ответ и решение

Приведём к общему знаменателю в скобках, получим

4x2-− y2-3(2x+-y)(2x− 5y)−-2(2x−-y)(2x−-5y)−-(2x-+y)(2x−-y) y2 ⋅ (4x2− y2)(2x − 5y) =

2 2 2 2 2 2 = 12x-−-24xy− 15y-−28x-+-24xy− 10y-−-4x-+y-=− --24---= −24= 8 y (2x− 5y) 2x− 5y −9 3

Ответ:

$8 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#70347Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют условиям $x2+ y2 = 1$ и $20x3− 15x =3.$ Найдите $|20y3− 15y|.$

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не напоминает ли нам первое условие какую-нибудь теорему из области тригонометрии? Возможно, это даст нам неплохую идею для замены!

Подсказка 2

Итак, первое уравнение позволяет нам заменить одну из переменных на синус, а вторую — на косинус. Но что же делать дальше? Какую формулу напоминает второе условие, после вынесение общего множителя слева за скобки?

Подсказка 3

Удивительно! Второе условие и неизвестное выражение очень напоминают нам тригонометрические формулы для тройных углов, с точностью до умножения на коэффициент. Осталось лишь чуть-чуть повычислять, снова вспомнить об ОТТ и задача решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подберём $α$ таким образом, чтобы выполнялось равенства $x= sin(α),y = cos(α).$ Тогда $3 3 sin(3α)= 3sin(α)− 4sin (α)=3x− 4x = −3∕5.$ Следовательно,

3 3 |20y − 15y|= |20cos(α)− 15cos(α)|=

∘-----2--- = |5cos(3α)|= 5 1 − sin (3α) =4

Второе решение.

Найдём значение выражения $|4y3− 3y|.$ Для этого достаточно найти значение его квадрата, а потом извлечь корень. Но квадрат этого выражения равен

3 2 2 2 2 4 2 |4y − 3y|= y (4y− 3) =y (16y − 24y + 9).

Подставим $1− x2$ вместо $y2,$ преобразуем и получим выражение

6 4 2 2 2 (3)2 16 − 16x + 24x − 9x + 1= 1− x(4x− 3) = 1− 5 = 25-

Следовательно, $()2 |4y3− 3y|2 = 45 ,$ откуда и находим ответ.

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#79880Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $x,y,z$ выбираются так, что выполняются равенства

xy+ yz+ zx= 4,xyz = 6

Докажите, что при любом таком выборе значение выражения

( 3 )( 3 ) ( 3 ) xy− 2(x+y) yz −2 (y+ z) zx− 2(z+x)

является одним и тем же числом, и найдите это число.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать каждую из скобок по отдельности. Какие слагаемые участвуют в первой скобке? Как их найти из условия?

Подсказка 2

xy = 6/z, x+y = (4-xy)/z. Тогда чему равна первая скобка?

Подсказка 3

Каждую скобку можно записать как 3/2 от частного произведения двух переменных и третьей переменной. Осталось красиво преобразовать две другие скобки. Теперь понятно, как снова применить условие!

Показать ответ и решение

Решение №1

Из условия следует, что $x, y, z$ — ненулевые числа. Из данных равенств получаем

6 4− xy 4 xy xy = z, x+ y =--z--= z − z-

Подставляя это в первую скобку, получаем

3 6 3( 4 xy) 3xy xy −2(x+ y)= z − 2 z −-z = 2z-

Аналогично со второй и третьей скобкой. В итоге данное выражение преобразуется в

3xy-⋅ 3yz-⋅ 3zx-= 27xyz-= 81 2z 2x 2y 8 4

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение №2

Домножим числитель и знаменатель на $xyz$ и получим

(xy− 3(x+ y))⋅z⋅(yz− 3(y+ z)) ⋅x ⋅(zx− 3(z+x))⋅y -----2--------------2xyz-----------2--------=

( 3 ) ( 3 )( 3 ) = -xyz−-2(xz-+yz)-⋅xyz−-2(xy-+xz)-⋅xyz−-2(yz-+xy) 6

Из условия получаем, что $xz +yz = 4− xy,$ $xy+ xz = 4− yz,$ $yz+ xy =4 − xz.$ Подставляя это в последнее выражение, получаем

(6− 32(4− xy))⋅(6− 32(4 − yz))⋅(xyz− 32(4− xz)) ------------------6-------------------=

( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 3 3 = 6-− 6+-2xy-⋅6-− 6+-2yz-⋅-6− 6-+2xz-=-2xy-⋅2yz-⋅2xz= 6 6

= 9-⋅x2y2z2 =-9⋅62 = 81 16 16 4

Ответ:

$81 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#68636Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

( 1 1)2 (x y) x + y − 3⋅ y + x + (x+ y)2

при условии, что

1+ 1 =3. x y

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, с дробями такого вида работать не очень удобно, да и вообще не особо понятно, что тут делать. Самый первый и очевидный шаг это привести всё к общему знаменателю.

Подсказка 2

Если всё правильно привести к общему знаменателю, то из условия мы можем найти, что x+y = 3xy. Что теперь хочется сделать с этим равенством?

Подсказка 3

Подставим в наше исследуемое выражение 3xy вместо x+y. Теперь мы получили многочлен, который зависит от переменной xy. Исследуйте его на минимальное значение и получите возможный ответ. Осталось проверить, что такие неизвестные-минимизаторы удовлетворяют заданному условию

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение: $(x+y)2− 3⋅ (x+y)2−2xy+ (x+y)2 xy xy$ .

Из условия следует, что $x+ y = 3xy$ , подставляя, получим

(3xy)2 (3xy)2− 2xy -xy- − 3⋅----xy----+ (3xy)2 =9− 3⋅(9xy − 2)+ 9(xy)2 =9 ⋅(xy)2 − 27xy+ 15

Это квадратный трехчлен относительно $xy$ , принимает минимальное значение $− 5,25$ при $xy = 32$ . Можно показать, что такие $x,y$ существуют, решив соответствующую систему уравнений:

{ { 1x + 1y = 3 x+yx−y3xy = 0 xy = 32 ⇐⇒ xy = 32 ⇐⇒

⌊ { √-- { | x= 9+4√57 ⇐⇒ x+ y = 92 ⇐ ⇒ || { y = 9−4√57 xy = 32 |⌈ x= 9−4√57 y = 9+457

Ответ: -5,25