Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тройку положительных чисел 
назовём загадочной, если
Докажите, что если тройка 
— загадочная, то тройка 
— тоже загадочная.
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрите условие загадочности. Попробуйте свести сложное равенство к более простому условию на a, b, c.
Подсказка 2
Проанализируйте первое подкоренное выражение: a² + 1/(a²c²) + 2ab. Заметьте: если бы 1/(a²c²) равнялось b², то получился бы полный квадрат. Что в этом случае можно сказать о загадочности тройки?
Подсказка 3
Если abc = 1, то b = 1/(ac) ⇒ b² = 1/(a²c²). Тогда, сворачивая полные квадраты в подкоренных выражениях, получаем загадочное равенство. Можно ли похожие преобразования провести в случаях неравенства?
Подсказка 4
Если abc < 1, то b < 1/(ac) ⇒ b² < 1/(a²c²). Можно ли и дальше проводить преобразования аналогично случаю для равенства, меняя "=" на знак неравенства?
Подсказка 5
Если abc > 1, то b > 1/(ac) ⇒ b² > 1/(a²c²). Получим: √(a² + 1/(a²c²) + 2ab) < √(a² + b² + 2ab) = a + b. Как это повлияет на всю сумму?
Подсказка 6
Загадочное равенство достигается только при abc = 1. Почему это доказывает, что (c, b, a) тоже загадочная тройка?
Покажем, что тройка 
— загадочная в том и только в том случае, когда 
из этого немедленно последует требуемое в
задаче.
Пусть 
тогда 
ведь 
положительны. Аналогично
из этого следует, что тройка замечательная.
Предположим, что 
Тогда 
и аналогично случаю для равенства, получаем неравенство:
аналогично
Итого, в этом случае левая часть равенства из условия больше правой. Рассуждая аналогично, в случае 
имеем, что правая
часть больше левой, и только в случае 
достигается равенство, что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
