Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Давайте рассмотрим выражение и попробуем доказать, что оно равно

Теперь поработаем с равенством из условия. Если там в числителях дробей вместо единиц написать получится равенство Подставим это в выражение, полученное выше:

Получили требуемое.

Допустим, Тогда как раз две дроби будут а третья Значит, давайте доказывать, что из условия следует, что два числа в сумме дают третье. Домножим выражение из условия на знаменатели:

а мы хотим из этого получить выражение

поскольку нам пообещали ненулевые числа в условии. Выражение из условия можно сразу сократить на тогда

Действительно, слагаемые вида с минусом, с плюсом, а коэффициент при как раз Что и требовалось доказать.

Введём обозначения:

Нам дано, что и нужно доказать, что т. е. что

Выделим в этой разности слагаемые, относящиеся к переменным с одинаковыми индексами: и преобразуем полученное выражение: Утверждение задачи теперь следует из того, что каждый множитель в этом произведении неотрицательный.

Пусть — площадь треугольника, а — высоты к сторонам соответственно.

Из формулы площади треугольника имеем, что

Без ограничения общности будем считать, что . Тогда

Откуда . Но тогда и можно сказать, что

Выделим в исходном выражении полный квадрат: прибавим и вычтем :

Так как используем формулу разности квадратов:

В каждой скобке тоже выделим полный квадрат:

Найдем, при каких значение выражения - простое число. Заметим, что хотя бы одна из полученных скобок должна быть равна а иначе произведение не будет простым. Решим отдельно два уравнения. Для первой скобки:

Для второй скобки:

Теперь проверим, что при и получаются простые числа:

• При имеем
• При имеем

Итак, получили, что для выражение будет принимать простое значение. Тогда для всех остальных целых выражение будет составным.

Предположим противное: пусть

Докажем, что

Раскрываем скобки и группируем:

Таким образом, какие-то два из чисел равны, что противоречит условию.

Значит,

Преобразуем дробь, используя условие

Преобразуем ещё одну дробь, используя то же самое условие

Применим условие для дроби выше ещё раз и заменим число в знаменателе

Теперь преобразуем исходное выражение, с учетом всех предыдущих преобразований

Случай противоречит, например, условию Поэтому среди чисел есть пара различных. Не умаляя общности (можно переобозначить переменные),

Преобразуем равенство из условия:

Так как то Получаем, что сумма любых двух переменных противоположна третьей, можно изящно подставить всё в искомую дробь:

Пусть Саша загадал числа После операций Саши получатся числа и По условию они обратные, то есть

Откуда — целые, не равные нулю, поэтому они должны быть разного знака, чтобы их сумма равнялась

Если Тогда

Если же Тогда

Из условия следует, что

Аналогично разложив на множители и получим

Вспомним, что

Тогда

Сумма квадратов может равняться только если каждый из них равен то есть

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие о равенстве трех чисел эквивалентно выполнению следующей системы:

Переносим в каждом уравнении правую часть влево и раскладываем на множители:

Тогда возможны случая:

1.

и В этом случае, если то остается выбрать значение ( способа), если то ( способа) и ( способ), то есть всего способов;

2.

и В этом случае имеем Тогда поэтому С другой стороны, поэтому Тогда или и и равны или Если то и и этот случай мы учли выше. Если же то тут всего два случая: и или Таким образом, имеем варианта;

3.

и Этот случай симметричен предыдущему, но в нем возможны только случаи (который нас не интересует, так как — наибольшее число) и и в которых что тоже нас не интересует;

4.

и Сложим два этих равенства и получим, что что невозможно, поскольку

Таким образом, получаем упорядоченных четверок.

Выделим куб суммы в подкоренном выражении первого слагаемого скобки:

Тогда:

Первое решение.

Так как и , то . Значит, (делим на ).

Второе решение.

По теореме Виета (которая не гарантирует существование вещественных корней, но по условию уже сказали про существование двух из них, откуда следует и существование третьего, ведь кубический многочлен может иметь только один или три вещественных корня): . Поэтому

Обозначим эти числа По условию

Так как

то сумма кубов чисел равна

и является фиксированным числом, не зависящим от только при откуда

Обозначим эти числа через и Выражение имеет вид Перемножим первую скобку с четвёртой, вторую — с третьей: Заменим на и преобразуем выражение:

Условие намекает нам, что нужно вынести попарные разности, сделаем это, получим

Итак, если какая-то из первых трёх скобок равна нулю, то числа нам не подходят, а когда же равна нулю последняя скобка? Выделим в ней полные квадраты

Равенство же достигается только в случае . Чтобы все три равенства были выполнены, нужно , откуда хотя бы какие-то две переменные принимают нулевые значения. Значит, таких не существует.

Имеет место равенство

следовательно,

Наконец, сократив обе части равенства на получим откуда явно следует требуемое.

Пусть представимо в виде суммы квадратов чисел и то есть Попробуем в явном виде получить нужное нам представление.

Заметим, что Как придумать такое представление? После недолгих попыток станет ясно, что в виде суммы квадратов двух слагаемых представить не получится, значит надо представлять в виде суммы квадратов трёх слагаемых. Далее удобно разбить на (с другими аналогично) и распихать их по квадратам, при этом подобрав знаки так, чтобы попарные произведения при раскрытии квадратов посокращались.

Далее необходимо перебрать все варианты остатков и при делении на Если все они делятся на то кратно противоречие. Все остальные варианты легко перебираются вручную.

(a) Если то

Что и требовалось.

(b) Если и то

Что и требовалось.