Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Тема Тождественные преобразования

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107056

Ненулевые числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ таковы, что $abcd= 1,$ и

1 1 1 1 a+ a + b+ b + c+ c + d+ d = 0

Докажите, что одно из чисел $ab,$ $ac$ и $ad$ равно $− 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы хотим доказать, что одно из трёх выражений равно -1. Тогда, если добавить к ним по 1, нужно доказывать, что какое-то из них 0.

Подсказка 2

Чтобы доказать, что одно из чисел 0, нужно доказать, что их произведение 0. Полезно вспомнить про тождества из условия и как-то их применить. Глобальная идея в том, чтобы удачно заменить в нужных местах 1 на abcd.

Показать доказательство

Давайте рассмотрим выражение $(ab +1)(ac+ 1)(ad+1)$ и попробуем доказать, что оно равно $0.$

3 (ab+ 1)(ac+ 1)(ad+1)= (ab +abcd)(ac+ abcd)(ad+ abcd)= a bcd(cd+ 1)(bd+ 1)(bc+ 1)=

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = a(cd+1)(bd+ 1)(bc+1)= a bc d +a bcd + a bc d+ ab cd +a cd+a bd+ abc+ a =

=1 +ad+ ac+ab+ a2+ a2cd+ a2bd+ a2bc= 1+ a(a +b+ c+ d)+ a2cd+ a2bd +a2bc

Теперь поработаем с равенством из условия. Если там в числителях дробей вместо единиц написать $abcd,$ получится равенство $a+ b+ c+d =− (bcd+ acd+ abd +abc).$ Подставим это в выражение, полученное выше:

1+ a(a +b+ c+ d)+ a2cd +a2bd+a2bc= 1− a(bcd+ acd+abd+ abc)+ a2cd+ a2bd+ a2bc =

= 1− abcd− a2cd− a2bd− a2bc+ a2cd+ a2bd+ a2bc =0

Получили требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107058

Пусть $a,$ $b,$ $c$ — ненулевые действительные числа такие, что

a2+-b2-− c2 a2−-b2-+c2 −a2+-b2+c2 2ab + 2ac + 2bc =1

Докажите, что одна из этих дробей равна $− 1,$ а две другие равны $1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Данные выражения очень похожи на теорему косинусов. Причём мы хотим доказать, что два косинуса по 1, а один -1. Что бы это могло значить?

Подсказка 2

На самом деле это означает вырожденный треугольник, то есть два числа в сумме равны третьему. Числа из условия могут быть какими угодно, но зато мы нашли какой-то хороший случай, из которого будет следовать задача.

Подсказка 3

Давайте тогда доказывать, что какие-то два числа в сумме равны третьему. Снова запишем тождество из условия, ясно, к какому виду его нужно привести.

Показать доказательство

Допустим, $a+b =c.$ Тогда как раз две дроби будут $1,$ а третья $− 1.$ Значит, давайте доказывать, что из условия следует, что два числа в сумме дают третье. Домножим выражение из условия на знаменатели:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (a + b − c )cab+ (a − b +c )cab +(−a + b +c )ca b= 2ab c

а мы хотим из этого получить выражение

abc(a+ b− c)(a − b+ c)(−a+ b+ c)= 0

поскольку нам пообещали ненулевые числа в условии. Выражение из условия можно сразу сократить на $abc,$ тогда

(a2+ b2− c2)c+ (a2 − b2+ c2)b+(−a2+ b2+c2)a= 2abc

Действительно, слагаемые вида $a3$ с минусом, $a2b$ с плюсом, а коэффициент при $abc$ как раз $− 2.$ Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125092

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $a2b+ b2c+ c2a =2$ и $ab2+bc2+ ca2 = 4.$ Докажите, что из чисел $a,b,c$ какие-то два отличаются более чем на 2.

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 10.3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Обратите внимание на слагаемые из левой части равенств? Они вам не встречались ни в каких известных разложениях?

Подсказка 2:

Рассмотрите выражение (a − b)(b − c)(c − a). Кажется, вы можете вычислить его значение.

Подсказка 3:

Пусть, не умаляя общности, c — наибольшее. Кажется, вы сможете упорядочить все три числа. Давайте заметим, что задача свелась к доказательству того, что c − a > 2.

Подсказка 4:

Давайте для удобства обозначим c − a = z, x = b − a, y = c − b. Используя равенство xyz = 2, нужно показать, что z > 2. А есть ли ещё какая-то связь между x, y и z?

Подсказка 5:

Давайте заметим, что x + y = z. Значит, можно оценить xy сверху, используя неравенство о средних. Не забывайте, что нас интересует строгая оценка z > 2.

Показать доказательство

Вычтем из второго равенства первое и разложим левую часть на множители, получим:

(a − b)(b− c)(c− a)= 2. (∗)

Не умаляя общности (в условии имеется циклическая симметрия переменных $a,b,c$ ), будем считать, что $c$ —– наибольшее из данных чисел. Тогда $c− a≥ 0,$ но из (*) видим, что $c− a⁄= 0.$ Значит, $c− a> 0.$ Аналогично $b− c< 0.$ Тогда из (*) следует $a − b< 0.$ Получается $a <b <c.$

Обозначим $z = c− a,$ $x= b− a,$ $y =c − b,$ так что $x> 0,$ $y > 0,$ $z = x+ y;$ тогда (*) принимает вид $xyz = 2.$ Нам нужно доказать, что $z >2.$

Заметим, что $2 4xy ≤ (x +y),$ так как это неравенство преобразуется к виду $2 (x− y) ≥0$ (или следует из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом). Отсюда $2 4xy ≤ z$ и далее

z z z3 2= xyz =4xy⋅4 ≤ z2⋅ 4 = 4-.

Получаем $3 2 ≤ z4 ,$ откуда $z3 ≥ 8$ и поэтому $z ≥ 2.$

Остаётся показать, что $z =2$ невозможно. Если $x⁄= y,$ то $(x− y)2 > 0,$ и тогда в предыдущем рассуждении мы получим строгое неравенство $z > 2.$ Значит, $z = 2$ возможно лишь при $x= y = 1.$ Рассмотрим этот случай отдельно.

В этом случае $b=a +1 >1,$ и $c=a +2 >2.$ Тогда

a2b+ b2c+ c2a >b2c> 12 ⋅2 =2,

что противоречит первому равенству из условия задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126938

Дано натуральное число $k.$ Найдите какое-нибудь натуральное $n,$ для которого число $k+ n+ 1$ является точным квадратом, а $nk+ 1$ — точным кубом.

Показать доказательство

Положим $n= k2+ 3k +3.$ Тогда

2 2 2 k+ n+ 1= k+ k +3k+ 3+ 1= k +4k +4= (k+ 2)

2 3 3 3 nk+ 1= (k + 3k+ 3)k+ 1= k + 3k +3k+ 1= (k +1) .

То есть $n= k2+3k +3$ — подходит.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#127254

Числа $x$ и $y$ таковы, что $x3+ y3+3xy =1.$ Докажите, что или $x+ y = 1,$ или $x= y = −1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Само условие диктует алгоритм решения. Просят показать, что если многочлен x³ + y³ + 3xy - 1 = 0, то либо x + y - 1 = 0, либо x + 1 = y + 1 = 0. Значит, он должен делиться на скобку x + y - 1. Сделайте разложение на множители.

Подсказка 2:

Итак, вероятно, вы получили разложение (x + y - 1)(x² - xy + y² + x + y + 1) = 0. Значит, теперь нужно показать, что вторая скобочка зануляется тогда и только тогда, когда x + 1 = y + 1 = 0.

Подсказка 3:

Сходу неочевидно, почему это так. Значит, нужно преобразовать выражение во второй скобке. Чтобы это было проще, давайте обозначим x + 1 через a, y + 1 через b. Теперь нужно показать, что это выражение зануляется тогда и только тогда, когда a = b = 0.

Показать доказательство

Для начала попробуем разложить на множители выражение из условия на множители. Поскольку от нас хотят $x+ y = 1,$ то должно вынестись $x +y− 1:$

3 3 2 2 x +y + 3xy− 1= (x+ y− 1)(x − xy+y + x+ y+ 1)

Итак, если $x+ y ⁄= 1,$ то вторая скобка 0, сделаем замену $a= x+ 1, b=y +1.$ Тогда $a= 0$ и $b= 0$ при $x =− 1$ и $y = −1.$ Тогда вторая скобка превращается в

2 2 (a− 1) − (a − 1)(b− 1)+(b− 1) + (a − 1)+ (b− 1)+1 =

= a2 +b2− ab =0

Если $ab>0,$ вычтем $ab,$ получим $(a − b)2 < 0.$ Если $ab <0,$ добавим $3ab$ и получим $(a+ b)2 < 0.$ Значит, $ab= 0,$ тогда $a2+ b2 = 0$ и $a =b =0,$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#79859

Неотрицательные числа $x,x ,x ,x ,x 1 2 3 4 5$ таковы, что их сумма равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма кубов этих чисел не больше суммы их четвёртых степеней.

Показать доказательство

Введём обозначения:

A = x +x +x + x +x , B = x2+ x2+x2+ x2+ x2 C = x13+x23 +x33+ x43+ 5x3, D= x14+ x24+x34 +x44+ x54 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Нам дано, что $A= B,$ и нужно доказать, что $C ≤D,$ т. е. что

D − C +(A − B )≥0

Выделим в этой разности слагаемые, относящиеся к переменным с одинаковыми индексами: $S =a4− a3+ (a − a2),$ и преобразуем полученное выражение: $S = a3(a− 1)− a(a− 1)= a(a− 1)2(a +1).$ Утверждение задачи теперь следует из того, что каждый множитель в этом произведении неотрицательный.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80746

Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами $a,b,c$ , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число $2 2 2 a + b+ c$ является точным квадратом (натурального числа).

Источники: Всесиб-2024, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то записать условие на то, что одна высота равна сумме двух других. Через что тогда можно выразить высоту, чтобы равенство не хотелось сразу стереть из-за его громоздкого вида?

Подсказка 2

Верно, через площадь треугольника и сторону. Тогда наше равенство будет выглядеть как 2S/a = 2S/b + 2S/c => 1/a = 1/b + 1/c => bc = ab + ac. Если мы хотим сказать, что сумма квадратов сторон равна точному квадрату, то давайте подумаем какому конкретно квадрату это может быть равно(квадрат, который выражен через a,b,c).

Подсказка 3

Действительно, подходит квадрат (b + c - a)^2, ведь раскрывая скобки, мы получим, что a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac = a^2 + b^2 + c^2, так как bc = ab + ac. Что и требовалось доказать.

Показать доказательство

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $h,h ,h a b c$ — высоты к сторонам $a,b,c$ соответственно.

Из формулы площади треугольника имеем, что

2S 2S 2S ha = a-,hb = b-,hc =-c

Без ограничения общности будем считать, что $ha = hb+hc$ . Тогда

1 1 1 a = b +c

Откуда $bc= ac+ ab$ . Но тогда $2bc= 2ac+2ab$ и можно сказать, что

a2+ b2 +c2 = a2+ b2+ c2+2bc− 2ac− 2ab= (b+ c− a)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#82686

При каких целых $m$ число $m4+ 4$ является составным (то есть имеет хотя бы 3 натуральных делителя)?

Показать ответ и решение

Выделим в исходном выражении полный квадрат: прибавим и вычтем $4m2$ :

4 22 2 2 2 2 2 2 m + 4= (m ) +4m +2 − 4m = (m + 2)− 4m

Так как $4m2 =(2m)2,$ используем формулу разности квадратов:

2 2 2 2 2 (m + 2) − (2m) = (m + 2− 2m )(m + 2+ 2m)

В каждой скобке тоже выделим полный квадрат:

2 2 2 2 (m +2 − 2m)(m + 2+ 2m)= ((m − 1) + 1)((m + 1)+ 1)

Найдем, при каких $m$ значение выражения - простое число. Заметим, что хотя бы одна из полученных скобок должна быть равна $1,$ а иначе произведение не будет простым. Решим отдельно два уравнения. Для первой скобки:

(m − 1)2+ 1= 1

(m − 1)2 =0

m = 1

Для второй скобки:

2 (m + 1) + 1= 1

2 (m + 1) =0

m =−1

Теперь проверим, что при $m= 1$ и $m = −1$ получаются простые числа:

При $m =1$ имеем $14+ 4=5$
При $m =− 1$ имеем $(−1)4+4 =5$

Итак, получили, что для $m= ±1$ выражение будет принимать простое значение. Тогда для всех остальных целых $m$ выражение будет составным.

Ответ:

при любых целых, кроме 1 и -1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#82697

Пусть $a$ , $b$ , $c$ — попарно различные числа. Докажите, что выражение

2 2 2 a (c− b)+b (a − c)+ c(b− a)

не равно нулю.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Возможный способ решения, исходя из условия — показать, что если выражение равно 0, то не выполняется условия попарной различности a, b, c

Подсказка 2:

Чтобы показать, что не выполняется условие попарной различности, достаточно доказать, что (a − b)(b − c)(c − a) = 0.

Подсказка 3:

Попробуйте сравнить (a − b)(b − c)(c − a) с выражением из условия.

Показать доказательство

Предположим противное: пусть

2 2 2 a(c− b)+ b(a− c)+ c (b− a)= 0

Докажем, что

(a− b)(b− c)(c− a) =0

Раскрываем скобки и группируем:

(a− b)(b− c)(c− a)= abc− ac2 − bc2+c2b− a2b+ a2c+ba2− abc= a2(c− b)+b2(a − c)+c2(b− a)= 0

Таким образом, какие-то два из чисел $a,b,c$ равны, что противоречит условию.

Значит,

a2(c− b)+ b2(a− c)+ c2(b− a)⁄= 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#82704

Числа $x,y,z$ таковы, что $xyz = 1.$ Вычислите значение выражения

---1---- ---1---- ---1---- 1+ x+ xy + 1+ y+ yz + 1+z +xz

Показать ответ и решение

Преобразуем дробь, используя условие $xyz = 1$

1 xyz xyz xz 1-+y+-yz = xyz+-y+-z = y(xz+1-+z) = 1+-z+-xz

Преобразуем ещё одну дробь, используя то же самое условие

---1----= ---xyz----= ---xyz----= ---yz---- 1+ x+ xy xyz+x +xy x(yz+ 1+ y) 1+ y+yz

Применим условие $xyz = 1$ для дроби выше ещё раз и заменим число $1$ в знаменателе

---yz--- ----yz----- ---yz----- ---z---- 1+ y+ yz = xyz+y +yz = y(xz+ 1+ z) = 1+z +xz

Теперь преобразуем исходное выражение, с учетом всех предыдущих преобразований

1 1 1 z xz 1 1+ z+xz 1+-x+-xy-+ 1+-y+yz-+1-+z+-xz = 1-+z+-xz + 1+-z+-xz + 1+-z+xz-= 1+-z+xz-= 1

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#82835

Известно, что

2 2 2 a − bc=b − ac= c − ab⁄= 0

Какие значения может принимать выражение

(a+b)(b+-c)(c+-a) abc ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать, это поработать с данными в условии равенствами. Возьмём, например, a^2-bc = b^2 - ac. Как хорошо его можно преобразовать?

Показать ответ и решение

Случай $a =b= c$ противоречит, например, условию $a2− bc⁄=0.$ Поэтому среди чисел есть пара различных. Не умаляя общности (можно переобозначить переменные), $a⁄= b.$

Преобразуем равенство $2 2 a − bc= b − ac$ из условия:

2 2 a − b = bc− ac

(a − b)(a +b)= c(b− a)

(a − b)(a +b+ c) =0

Так как $a⁄= b,$ то $a+ b+c =0.$ Получаем, что сумма любых двух переменных противоположна третьей, можно изящно подставить всё в искомую дробь:

(a-+b)(b+-c)(c+-a)-= (−-c)⋅(−a)⋅(−-b)-=− 1 abc abc

Ответ: -1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89661

Саша придумал два целых числа и перемножил их. Затем взял числа, обратные придуманным, и сложил. Полученные сумма и произведение оказались обратными числами. Найдите разность модулей Сашиных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С самого начала давайте, конечно, запишем условие в алгебраическом виде. Что, учитывая одз, сразу можно тогда сказать?

Подсказка 2

Верно, x+y=1. Нас же спрашивают про разность модулей. Единственная проблема, которая может у нас возникнуть, это в раскрытии модулей. Что же можно сказать про знак x и y?

Подсказка 3

Да, они будут разного знака, так как являются целыми числами, и их сумма равна 1. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть Саша загадал числа $x,y ⁄= 0.$ После операций Саши получатся числа $xy$ и $1+ 1. x y$ По условию они обратные, то есть

1 1 1 xy = x + y

-1 = y+-x xy xy

Откуда $x+ y = 1.$ $x,y$ — целые, не равные нулю, поэтому они должны быть разного знака, чтобы их сумма равнялась $1.$

Если $x> 0,y <0.$ Тогда

|x|− |y|= x+ y = 1

Если же $x <0,y > 0.$ Тогда

|x|− |y|= −(x+ y)= −1

Ответ:

$±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89662

Целые числа $x,y,z$ таковы, что $xy+ yz+ zx= 1.$ Докажите, что число $(1 +x2)(1+ y2)(1+ z2)$ является полным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, о чём хочется задуматься, зачем же нам дали равенство с переменными и единицей. Выразить оттуда что-то вряд ли получится. Но связь с произведением нужно находить. Что есть общего из равенства в условии и с одной из скобок?

Подсказка 2

Да, это самое банальное, но самое верное. У них общая единица, поэтому нам ничего не мешает вместо неё подставить нашу сумму попарных произведений. Но чем же на самом деле теперь является каждая из скобок?

Подсказка 3

Верно, это (x+y)(z+x), например, в первой скобке. С остальными получится аналогично. Осталось увидеть, что это решает задачу. Победа!

Показать доказательство

Из условия следует, что

2 2 1+x =xy+ yz+ zx+x =(x+ y)(z+ x)

Аналогично разложив на множители $1+ y2 =(y+ x)(y+ z)$ и $1 +z2 = (z+x)(z+y),$ получим

( 2)( 2)( 2) 2 1+x 1+ y 1+ z =((x+y)(y+z)(z +x))

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89663

Докажите, что если $a+b +c+ d= 0$ и $ab+cd+ ac+bc+ ad +bd= 0,$ то $a= b= c= d= 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда кажется, что нам дали какие-то непонятные условия. Но нам всё таки нужно осознать, как они связаны. Где может в принципе встретиться сумма попарных произведений?

Показать доказательство

Вспомним, что

2 2 2 2 2 (a+ b+c+ d) =a + b +c + d + 2(ab+ cd+ ac+ bc+ ad+ bd)

Тогда

2 2 2 2 2 a +b + c +d = (a+b +c+ d)− 2(ab+ cd+ ac+ bc+ad +bd)=0

Сумма квадратов может равняться $0,$ только если каждый из них равен $0,$ то есть $a= b= c= d= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#92362

Найдите количество всех упорядоченных четвёрок чисел $a,b,c,d$ , таких что числа

2 2 2 2 2 2 a − ab +b ,b − bc +c ,c − cd+d

равны друг другу, если известно, что каждое из чисел $a,b,c,d$ равно либо 1, либо 2, либо 3, а число $a$ является среди них максимальным.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если есть равные выражения, то что стоит попробовать сделать в первую очередь?

Подсказка 2

Да, приравниваем и смотрим, что получится. Например первое со вторым и второе с третьим. Если у нас есть некоторое равенство, то к какому виду стоит его привести, чтобы в дальнейшем было проще с ним работать?

Подсказка 3

Как и в самых обычных уравнениях — перенесем все влево, оставив справа 0, и попробуем разложить на множители.

Подсказка 4

Получили два произведения, равные нулю, то есть хотя бы один множитель из одного произведения и хотя бы один множитель из второго равны нулю, значит, нужно рассмотреть все возможные случаи, банально их перебрав.

Подсказка 5

Не забудьте, что а по условию — наибольшее число, и в ответ просят указать именно количество упорядоченных четвёрок, а не сами четвёрки.

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие о равенстве трех чисел эквивалентно выполнению следующей системы:

{ 2 2 2 2 a2− ab+ b2 =b2− bc+ c2 b − bc+c = c − cd+ d

Переносим в каждом уравнении правую часть влево и раскладываем на множители:

{ (a− c)(a+ c− b)= 0 (b− d)(b+d − c)= 0

Тогда возможны $4$ случая:

1.: $a =c$ и $b= d.$ В этом случае, если $a =3,$ то остается выбрать значение $b= 1,2,3$ ( $3$ способа), если $a =2,$ то $b=1,2$ ( $2$ способа) и $a= 1,$ $b =1$ ( $1$ способ), то есть всего $6$ способов;
2.: $a =c$ и $b+ d− c =0.$ В этом случае имеем $b+ d= c.$ Тогда $b+ d≥ 2,$ поэтому $c≥ 2.$ С другой стороны, $c≤ 3,$ поэтому $b+ d≤ 3.$ Тогда $b+d =2$ или $3$ и $a$ и $c$ равны $2$ или $3.$ Если $b+d =2,$ то $b=d =1,$ и $a= c,$ и этот случай мы учли выше. Если же $b+d =3,$ то тут всего два случая: $a =c= 3$ и $b= 1,$ $d =2$ или $b= 2,$ $d =1.$ Таким образом, имеем $2$ варианта;
3.: $a +c− b= 0$ и $b= d.$ Этот случай симметричен предыдущему, но в нем возможны только случаи $b= d= 2,$ $a= c= 1$ (который нас не интересует, так как $a$ — наибольшее число) и $b= d= 3$ и $a+ c= 3,$ в которых $a≤ 2,$ что тоже нас не интересует;
4.: $a +c− b= 0$ и $b+d − c= 0.$ Сложим два этих равенства и получим, что $a+ d= 0,$ что невозможно, поскольку $a≥1,$ $d ≥1.$

Таким образом, получаем $6 +2= 8$ упорядоченных четверок.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#99235

Вычислить:

√ ----6∘----√--------- ∘ √------- ∘ √------- 2023( 2027 2024 +6073+ 2024+ 1)⋅ 2024− 1.

Источники: Газпром - 2024, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим почти везде похожие числа, как будто построенные вокруг 2024 (всё-таки олимпиада проводилась в 2024 году). Понятно, что корень из 2023 почти нереально преобразовывать, используя как-то правую скобку. Значит, надо преобразовать сначала правую скобку, независимо от корня слева. Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что нам надо сначала преобразовать корень шестой степени, а значит, сначала подкоренное выражение. Как же это сделать?

Подсказка 2

6073 похоже на 2024, умноженное на 3, но только увеличенное на 1. А 2027 на что похоже? На 2024 + 3. Давайте тогда разложим на такую сумму, чтобы у нас были только маленькие числа и 2024 и посмотрим, на что это похоже. 2024 корня из 2024, 3 * 2024, 3 корня из 2024 и 1. Что это?

Подсказка 3

Это куб суммы корня из 2024 и 1. Доведите преобразование до конца, извлеките корень, а потом сверните по формуле разности квадратов и получите ответ!

Показать ответ и решение

Выделим куб суммы в подкоренном выражении первого слагаемого скобки:

2027√2024-+6073= 2024√2024+3√2024+ 6072+ 1= √ ----3 √ ---- 2 √ ---2 3 √---- 3 = ( 2024) +3 2024⋅1 + 3⋅( 2024) ⋅1 +1 = ( 2024 +1).

Тогда:

√ ---( 6∘-√-------- ∘√-------)∘ √------- √ ---- ∘ √-------∘ √------- 2023 ( 2024+1)3+ 2024+ 1 2024 − 1= 2023(2 ⋅ 2024+ 1) 2024 − 1= √---- ∘-√--------√------- √---√ ------- =2 2023⋅ ( 2024+ 1)( 2024 − 1)= 2 2023 2024− 1= 4046.

Ответ:

$4046$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#62509

Какие значения может принимать выражение $x2+ x x +x2 1 1 2 2$ , где $x 1$ и $x 2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $3 x − 2015x+ 2016 =0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем подставить корни x₁ и x₂ в наше уравнение, что можно получить из такой подстановки?

Подсказка 2

Да, при их подстановке уравнение равно нулю, поэтому мы можем выразить разность кубов x₁ и x₂, то есть x₁³ - x₂³. А что мы получим у правой части?

Подсказка 3

Да, в правой части мы можем вынести за скобки 2015. Тогда, вспомним формулу разности кубов! Чему равно выражение, которое нас просят найти?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как $3 x1− 2015x1+ 2016= 0$ и $3 x2− 2015x2+ 2016= 0$ , то $3 3 x1− x2 =2015⋅(x1 − x2)$ . Значит, $2 2 x1+x1x2+ x2 = 2015$ (делим на $x1− x2 ⁄= 0$ ).

Второе решение.

По теореме Виета (которая не гарантирует существование вещественных корней, но по условию уже сказали про существование двух из них, откуда следует и существование третьего, ведь кубический многочлен может иметь только один или три вещественных корня): $x1+ x2+ x3 =0,x1x2x3 =− 2016$ . Поэтому

2016 x21+ x1x2+x22 =(x1+ x2)2− x1x2 =(−x3)2 +-x3-= x33+2016 2015x3 = --x3---= --x3- = 2015.

Ответ:

2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#67572

Сумма трёх чисел равна $a,$ сумма обратных к этим числам равна $2a.$ Оказалось, что по этим данным можно однозначно найти сумму кубов чисел. Чему равно $1- a2?$

Показать ответ и решение

Обозначим эти числа $x,y,z.$ По условию

{ x+y +z =a xy+yz+zx xyz = 2a

Так как

3 3 3 3 ( 2 2 2 2 2 2 ) (x+ y+ z)= x + y +z + 3 x y+x z+ yx +y z+ zx +z y + 6xyz =

3 3 3 =x + y + z +3((x+ y+z)(xy +yz+ zx)− 3xyz)+6xyz =

=x3+ y3+ z3 +3⋅a⋅2a⋅xyz− 3xyz,

то сумма кубов чисел $x,y,z$ равна

a3− 3xyz(2a2− 1)

и является фиксированным числом, не зависящим от $x,y,z$ только при $2a2− 1= 0,$ откуда

a12 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#68246

Четыре подряд идущих числа перемножили и прибавили $1.$ Докажите, что получился точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот мы обозначили первое число за n и записали выражение n(n+1)(n+2)(n+3). Если мы хотим как-то его преобразовать для того, чтобы доказать, что это квадрат, то сначала было бы удобно разложить его на две какие-то скобки, где часть, зависящая от n, повторяется (тогда можно было бы сделать замену, относительно которой нашей выражение являлось бы квадратным трехчленом и про которое уже легче говорить и доказывать "квадратность"). То есть эти выражения отличаются на константу. Тогда в силу того, что у нас степень многочлена четвертая, эти скобки должны иметь вторую степень. Как тогда разложить правильно?

Подсказка 2

Если мы хотим сгруппировать наши скобки на два квадратных трехчлена, то n^2 там будет повторяться и так. Остаётся, чтобы повторялось слагаемое с n. Путём перебора (или через теорему Виета) мы можем понять, что надо группировать по таким парам: n(n+3) и (n+1)(n+2). Тогда квадратные трехчлены будут n²+3n и n²+3n+2. Осталось сделать замену, добавить к этому единицу (из условия), и задача будет решена!

Показать доказательство

Обозначим эти числа через $x,x+ 1,x+ 2$ и $x+ 3.$ Выражение имеет вид $x(x +1)(x +2)(x+ 3)+ 1.$ Перемножим первую скобку с четвёртой, вторую — с третьей: $2 2 (x + 3x +2)(x + 3x)+1.$ Заменим $2 x + 3x$ на $t$ и преобразуем выражение:

2 (t+ 2)t+ 1= t +2t+ 1=

2 2 2 =(t+ 1) = (x +3x+ 1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#71150

Существуют ли вещественные числа $x,y,z,$ разность никакой пары из которых не равна нулю таких, что

4 3 4 3 43 4 3 4 3 43 x y +y z + zx = y x + zy + xz ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, по условию разность никакой пары не равна нулю! Попробуйте разложить многочлен на множители, причем три из них — это попарные разности чисел.

Подсказка 2

Опять же, по условию разность никаких скобок не равна нулю, поэтому нулю равна оставшаяся скобка! А эта скобка раскладывается в сумму квадратов попарных сумм произведений двух чисел, деленную на два! Тогда, если эта скобка равна нулю и при этом она содержит только не отрицательные числа, то чему равно каждое слагаемое?

Подсказка 3

Да, каждое слагаемое равно нулю! То есть, все попарные произведения чисел равны нулю. Что тогда можно сказать про разности чисел x, y, z?

Показать ответ и решение

Условие намекает нам, что нужно вынести попарные разности, сделаем это, получим

2 2 22 2 2 2 2 2 (x− y)(y− z)(z − x)(x y + zx + y z +x yz+ yxz+ z xy)= 0

Итак, если какая-то из первых трёх скобок равна нулю, то числа нам не подходят, а когда же равна нулю последняя скобка? Выделим в ней полные квадраты

2 2 2 2 22 2 2 2 (xy+-yz)2 (xz+-xy)2 (xz+-yz)2 x y +z x + yz + x yz+y xz+ zxy = 2 + 2 + 2 ≥ 0

Равенство же достигается только в случае $xy = −yz,xz = −xy,xz = −yz$ . Чтобы все три равенства были выполнены, нужно $xy = yz =xz =0$ , откуда хотя бы какие-то две переменные принимают нулевые значения. Значит, таких $x,y,z$ не существует.

Ответ: нет