Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— ненулевые действительные числа такие, что
Докажите, что числа 
в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию.
Подсказка 1
Справа куб суммы, слева один из множителей это тоже куб суммы, раскрывать такое даже врагу не пожелаешь. Вот если бы можно было извлечь корень третьей степени из обеих частей равенства...может стоит как-нибудь красиво заменить a, b и c?
Подсказка 2
Сделайте такую замену: a = x³, b = y³, c = z³. Получите некоторое выражение через x, y, z. Оно раскладывается на множители, но как их увидеть. Надо вспомнить ради чего мы вообще делаем какие-то преобразования. В задаче просят показать, что a, b и c образуют в некотором порядке геометрическую прогрессию, а какое свойство у неё есть для трёх последовательных членов?..
Подсказка 3
Квадрат члена равен произведению предыдущего и последующего членов геометрической прогрессии! То есть хотим, чтобы выполнилось одно из равенств, вида a² - bc, но выполнение этого свойства можно проверить и для x, y, z. Попробуйте полученное выражения для x, y, z разложить на множители упомянутого вида.
Подсказка 4
Добавьте и вычтите квадрат произведения чисел x,y,z. Разложите на множители и получите выполнение желаемого свойства для членов геометрической прогрессии.
Первое решение.
При замене 
получаем уравнение
Добавим и вычтем квадрат произведения чисел 
Затем после вынесения за скобки общих множителей получаем
Для тройки 
в каком-то порядке выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии (для положительных это
было бы условие, что одно из чисел равно среднему геометрическому двух других, но так как про знак чисел в условии задачи не сказано, то
сразу так говорить будет неаккуратно).
Итак, числа 
образуют геометрическую прогрессию, в свою очередь то же можно сказать про их кубы — числа
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Нам дано однородное уравнение и сказано, что числа ненулевые, поэтому при домножении всех переменных 
на ненулевой
коэффициент 
то есть при замене 
и 
уравнение будет иметь такой же вид:
Заметим, что теперь нам достаточно доказать, что числа 
образуют геометрическую прогрессию, потому что они все получены из
исходных чисел умножением на ненулевой коэффициент.
При этом мы можем взять такое 
чтобы 
было равно 
(надо взять 
).
Получаем уравнение 
откуда сразу 
то есть
Левая часть уравнения очень похожа на 
и отличается от этого выражения на 
при этом мы сами
обеспечили замену так, чтобы выражение 
было равно нулю, так что можем добавить его в левую часть и получить уравнение:
Отсюда, не умаляя общности, 
и при подстановке в уравнение 
получаем 
Итак, число 
равно среднему геометрическому из чисел 
и 
так что числа 
являются членами геометрической
прогрессии.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
