Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске записаны 10 различных чисел. Профессор Odd вычислил всевозможные произведения нескольких записанных чисел, взятых в нечетном количестве (по 1, по 3, по 5, по 7, по 9), сложил все эти произведения и полученную сумму записал на листок. Аналогично профессор Even вычислил все возможные произведения нескольких чисел, записанных на доске, взятых в четном количестве (по 2, по 4, по 6, по 8, по 10), сложил все эти произведения и полученную сумму записал на свой листок. Оказалось, что сумма на листке профессора Odd на 1 больше, чем сумма на листке профессора Even. Докажите, что одно из чисел, выписанных на доске, равно 1.
Источники:
Пусть 
- числа на доске.
Сумма чисел у профессора Odd равна
Сумма чисел у профессора Even равна
По условию 
Попробуем доказать, что
Из каждой скобки мы выбираем число из нашего набора или 
и перемножаем, а результат - слагаемое после раскрытия скобок. Если
выбрано нечетное количество чисел из набора, то нечетное число раз выбрана 
так как всего у нас 10 скобок. Таким
образом, все слагаемые, в произведении которых нечетное количество чисел из набора, имеют знак минус после раскрытия
скобок.
Аналогичным рассуждением получаем, что все слагаемые с произведением четного количества чисел с доски имеют знак плюс, в том
числе и слагаемое 1, которое получается выбором 
из каждой скобки.
Тогда получается, что наша сумма равна 
Но по условию это выражение равно нулю. Тогда верно
равенство
откуда следует, что на доске написано число 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
