Разложение на множители, основная теорема арифметики
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
а
— все натуральные делители числа 
Оказалось, что ровно для одного индекса 
число 
не делится на 
Может ли число 
быть квадратом натурального числа?
Подсказка 1:
Обратите внимание на то, что если dᵢ₊₁ является простым числом, то dᵢ₋₁ должно делиться на dᵢ, чего не может быть. Подумайте над этим.
Подсказка 2:
Рассуждения из предыдущей подсказки должны вызывать резонный вопрос: сколько может быть простых делителей в разложении n?
Подсказка 3:
Их ровно 2. То есть n = p₁ˣp₂ʸ, p₂ > p₁. Попробуйте рассмотреть какую-нибудь удобную тройку делителей dᵢ₋₁, dᵢ, dᵢ₊₁ и применить к ней условие.
Подсказка 4:
Давайте возьмём такое i, что dᵢ = p₂, тогда d = p₁ᵏ, где k — некоторое натуральное число. Чему может быть равно dᵢ₊₁?
Подсказка 5:
dᵢ₊₁ = p₁p₂ и x = k. Если вы к этому ещё не пришли, обязательно обоснуйте эти равенства на основании предыдущих подсказок. Попробуйте теперь подобрать ещё какую-нибудь тройку делителей, для которых не выполняется делимость из условия.
Предположим, что 
является квадратом натурального числа. Пусть 
Рассмотрим произвольное 
Пусть
понятно, что 
Тогда, если 
делит 
то 
делит и 
так как 
Но 
—
противоречие. Значит, если у 
есть хотя бы три разных простых делителя, то есть хотя бы два индекса 
для которых число
не делится на 
— противоречие. Также понятно, что у 
должно быть хотя бы два простых делителя, иначе таких индексов
бы не было, поскольку 
было бы степенью простого числа.
Осталось разобрать случай, когда у 
ровно два различных простых делителя 
Если 
то 
Как мы знаем, для 
число 
не делится на 
Поэтому для всех остальных индексов должна быть выполнена делимость.
Это в частности означает, что она выполнена для 
то есть 
делится на 
Тогда он равен 
и это больше 
А значит,
у 
нет делителя 
то есть 
Теперь пусть 
Тогда 
То есть 
не
делит 
— противоречие!
нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
