Количество, сумма, произведение делителей

— точный квадрат, такое значение пойдет в ответ.

Покажем, что для простых на доске не появится точный квадрат. Действительно, если — простое, то у него всего два делителя, то есть на доске через минуту заменят на а двойку будут всё время заменять саму на себя. Так как ни ни не точные квадраты, то простые числа не подходят.

Далее докажем, что для составных на доске появится точный квадрат. Пусть — наименьшее составное число, для которого это не так. Разложим его на простые множители и получим Так как составное, либо либо и

Тогда у будет ровно делителей. Если все числа — четные, тогда будет точным квадратом, так как и такое подойдет.

Иначе число делителей — четное число, при этом оно не равно так как либо либо Значит, — составное число.

Также для так как количество делителей числа не больше, чем количество чисел от до И при этом все числа от до не могут быть делителями числа иначе для некоторого натурального тогда либо не делится на либо и тогда оно не делится на

В итоге, количество делителей числа — какое-то составное число меньшее но — наименьшее составное число не дающее точного квадрата. После появления на доске через некоторое время на доске будет точный квадрат. Противоречие. Значит, не существует составных чисел, от которых на доске не появляется точный квадрат.